книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Расчет оптимальных систем автоматического управления при наличии помех

и тогда требуемая операция над входным сигналом сводится соответственно к дифференцированию, интегрированию или сме­ щению во времени на промежуток ±to.

Преобразующий оператор Н(р) может иметь и более слож­ ный вид, например

Исходная информация о воздействиях может быть самой раз­ личной, но все же можно указать на следующие три основных

ожидания, а также собственные и взаимные корреляционные мо­

к определенному классу функций. Так, например, о полезном сигнале может быть известно лишь то, что он принадлежит к

или что он принадлежит к классу полиномов:

|г=0

при этом относительно помехи может быть известно лишь то, что она принадлежит к классу стационарных случайных про­ цессов.

3. Даны менее полные сведения, чем в первом случае, и бо­ лее полные, чем во втором. Так, например, могут быть извест-

ны первые два момента функций распределения входного сиг­ нала и помехи, но неизвестны сами функции распределения.

Требования и ограничения к системе могут быть самые раз­ личные. Так, например, могут быть заданы значения (или верх­ ние пределы) для времени переходного процесса, перерегулиро­ вания, коэффициентов ошибки, перегрузки, мощности исполни­ тельного устройства и т. д. Однако общим ограничением для любой постановки задачи синтеза динамических характеристик является условие физической осуществимости, которое в случае линейных систем с постоянными параметрами сводится к усло­ вию равенства нулю импульсной переходной функции при от­ рицательных значениях /, т. е.

k (f) = О, t < 0.

Критерием оптимизации, часто применяемым при синтезе си­ стем для детерминированного входного воздействия в виде еди­ ничной ступенчатой функции, является минимум времени пере­ ходного процесса при условии его монотонности.

Критерии оптимизации при детерминированных воздействиях иногда выбираются в виде функционалов от ошибки вида

При случайных воздействиях наиболее широко распростра­ ненным в настоящее время показателем, применяемым для ха­ рактеристики динамической точности, является среднее значе­ ние квадрата ошибки

которое при стационарных случайных воздействиях можно так­ же представить в виде

г* = lim — Г є2 (t) dt,

где

є(і) = * « а ( 9 - * ( 0 -

В настоящей главе рассматривается синтез оптимальных дигнамических характеристик в классе линейных стационарных си­ стем.

Предположение о линейности оптимальной системы, вообще говоря, ограничивает общность решения. Это означает, что в классе нелинейных операторов (или систем) в общем случае можно найти оператор, который позволит получить меньшее значение показателя точности управления (например, среднего значения квадрата ошибки), чем линейный onepaTopJ Однако, если случайные воздействия являются нормальными, то решение в классе линейных систем обеспечивает абсолютный минимум среднего значения квадрата ошибки, т. е. оптимальная линейная система является наилучшей нз всех возможных.^ Более того, •если воздействия имеют не только нормальное распределение, но и являются стационарными случайными функциями, то наилуч­ шей из всех возможных является стационарная система, т. е., пользуясь критерием среднего значения квадрата ошибки, нель­ зя найти нелинейную систему, которая обеспечивала бы более высокую точность, чем линейная система с постоянными пара­ метрами.

Ниже мы увидим, что решение задачи синтеза линейной си­ стемы оптимальной по критерию среднего значения квадрата •ошибки требует задания первых двух моментов входного сиг­ нала, т. е. математического ожидания и корреляционной функ­ ции. Но если сигнал имеет нормальное распределение, то более полных сведений о нем, очевидно, получить уже нельзя, так как первые два момента его полностью определяют. Кроме того, взаимная корреляция между входным сигналом и ошибкой в оптимальной линейной системе отсутствует, и ошибка имеет нор­ мальное распределение. Другими словами, сигнал ошибки ста­ тистически не зависит от входного сигнала, и, следовательно,

применяемой в теории решающих функций. Назовем функцией веса

W(g, x) = W[<&(y), g]

некоторую неотрицательную функцию от полезного сигнала на входе и величины х(і)=Ф(у) на выходе системы. Функцией риска называется математическое ожидание функции веса:

со со

•со —со

где F(g) — интегральная функция распределения вероятности полезного сигнала;

После сделанных выше предварительных замечаний общая проблема синтеза динамических систем, обеспечивающих наи- '

3. Заданы ограничения на проектируемую систему. Пользуясь этими данными, найдем динамическую систему,

обеспечивающую наивысшую динамическую точность по мини­ муму выбранной функции риска. Динамические системы, удов­

динамических характеристик методом самосопряженных опера­ торов, когда воздействия приложены к двум точкам системы автоматического регулирования. К одному входу системы при­ ложено управляющее воздействие, содержащее составляющую в виде функции времени, заданной своим аналитическим выра­ жением, и составляющую в виде стационарной случайной функ-

цни. На управляющий сигнал накладывается стационарная слу­ чайная помеха. К другому входу системы приложено случайное возмущающее воздействие.

Неслучайная функция времени задается различными анали­ тическими выражениями. Она может быть представлена поли­ номом степени г, гармоническими и экспоненциальными функ­ циями, а также их сочетаниями. При этом дополнительными ус­ ловиями могут являться следующие требования: заданного вре­ мени переходного процесса, равенства нулю или ограничения сверху величины ошибки преобразования составляющей в виде заданной функции времени, а также требование к величине пе­ ререгулирования.

1.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА

Рассмотрим систему автоматического регулирования, имеющую две точки приложения воздействий. На основной вход поступает сигнал

щаяся стационарной случайной функцией времени. Кроме того,

которой, пользуясь известными методами, можно определить

нее значение квадрата ошибки воспроизведения полезного сиг. нала имело минимум.

Ошибку воспроизведения полезного сигнала определим пу­ тем сравнения выходного сигнала искомой системы с выходным сигналом некоторой идеальной системы. В реальной системе, находящейся под воздействием случайных и неслучайных сиг­ налов, динамическая точность системы характеризуется систе­ матической (средним значением или математическим ожида­ нием) и случайной составляющими ошибки. Ввиду линейности системы допустимо систематическую и случайную ошибки вы­ числять отдельно. При этом систематическая ошибка должна быть определенной или, по крайней мере, не должна превышать заданной величины, причем находят ее с помощью коэффициен­ тов ошибки.

Приводимые ниже результаты позволяют решать не только задачу, в которой время переходного процесса Т является задан­ ным, а минимальное совместимое с ним среднее значение квад­

Для расчета оптимальных динамических характеристик си­ стемы можно пользоваться схемой, показанной на рис. 2. Одна­ ко более целесообразно свести исследуемую систему к эквива­ лентной схеме, в которой все воздействия приложены в одной точке.

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ КВАДРАТА ОШИБКИ

Покажем, что все воздействия, приложенные к двум входам системы, можно свести к эквивалентным управляющему P(t) и возмущающему Q(t) воздействиям, приложенным к ее основному входу.

Возводя в квадрат выражение (17) и усреднив его, получим среднее значение квадрата ошибки системы

bb

3.ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ, ОПРЕДЕЛЯЮЩЕЕ УСЛОВИЕ МИНИМУМА СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ КВАДРАТА ОШИБКИ

Теперь задача состоит в том, чтобы найти импульс­ ную переходную функцию k(t), обращающую в минимум сред­ нее значение квадрата ошибки (18) и одновременно удовлетво­