книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Расчет оптимальных систем автоматического управления при наличии помех

+

\ RUla (t -

B)km

(t -

0) dO +

f Ra

(t -

0) kvil (t -

0) dQ X

a

'

b

X

J g (v) kvm

(0 -

v) dv +

I Ra

(t -

0) kVll (t -

0) dO X

X | V ( » ,

v)kva(Q-v)dv.

(234)

b

Полученное интегральное уравнение решаем с помощью

преобразования

Лапласа. Решение имеет вид

— F (s) + —

f „, (s) + G (s) Ф 0 ( Я

(s) V (s)

5 а о

(s) = J

!

,

(235V

где

5 fl-cc (s );

^ ( s ) ;

^".(s); G

( s ) ;

®vni(sY>

Y(SY>

®v,i(s)—

преобразования

Лапласа, соответствующие

функциям

времени

Rave (f,

t),

/(0 =

[Rma

(0 +

Я„a (01 *rm (0

ПРИ t >

0;

(0 =

Ruia

(t) kou;

(t)

при

t

>

0;

g (ty,

k v

m

(/);

y(f)

= Ra(t)kvu(l)

при / > D ;

/e,„(0-

Начальная

ордината

взаимной

корреляционной

функции

RaVc(t,

t)

определяется

как обратное

преобразование

Лапласа

от Savc

(s),

т. е.

RllVc(t,

0 = L - '

\SaVc(s)}.

Определив

Ravc{t,

і),

дальнейшие

расчеты

по отысканию-

средних значений

mx(t),

тг (t)

и inv(t)

можно

выполнить или

непосредственно

по формулам

(223) — (225)

или с

помощью

преобразования

Лапласа:

Мх

(s) = G (s) Фхт

(s) + SMc

(s) ФХи

(s);

(236)

М6

(s) =

G(s) [1 — Фхт

(s)] -

SaVc

(s) Ф,и

(s),

(237)

Mv

(s) =

G (s) Ф,от (s) + SaVc

(s) Ф м (S ),

(238).

откуда

т , ( 0

= £ - 1 М М в ) 1 ;

(239)

me (0

= ^ - 4 ^ e ( s ) l ;

(240)

mv{t)

= L-i{Mv{s)).

(241)

В

формулах

(236) —(241)

Mx{s);

M E ( s ) ;

M„(s);

cpx m (s);

®xu(s)

означают

преобразования

Лапласа,

соответствующие

функциям

времени

mx(t);

ms(t);

tnv(t);

kxm(t);

kxu(t).

нала

и ошибки в некоторых характерных случаях:

Среднее значение стремится к постоянной величине. Рас­

смотрим систему с постоянными параметрами, в которой

среднее

значение

сигнала

v(t)

на входе элемента А стремится

к уста­

новившемуся

значению. Обозначим его через tnvj

очевидно, что

о

Величина

mVg

будет постоянной в установившемся состоя­

нии,

например, в

тех случаях, когда заданная функция вре­

мени

g(t)

может

быть

представлена полиномом

степени г, а

ната взаимной корреляционной функции RaUc

(t, / ) , определяе­

мая

уравнением

(228), также стремится к

постоянной

величине.

Rav

(0)=lim/?oo

{t,

t).

Ее можно

найти

или

непосредственно

из уравнения:.(234)

или применяя

теорему

о конечном

значении

преобразования Лапласа

к выражению (235):

^ ; ( 0 )

=

.

!

4 • •

со

со

со

_

f

№„„ (Q)+Rna №\kvm

(Є) d0+ [

Rd

(,9) kvlldQ+mUa

j Ra (0) kvu

(0) dQ

0

со

0

oo

0

(v)dv

\

Ra(e)kvll(Q)dQ-

'о

b

ИЛИ

Hm R

(t, t) = hm sS

(s) = hm —

1 — Ф и ц

(s) К (s)

:

=

/-co

c

s - 0

s- 0

_ F(0)

+ FUi(Q)

+

muY(0)

~

1 - Ф и „ ( 0 ) К ( 0 )

•

^

значений сигналов в системе с постоянными

параметрами.

К системе приложены только случайные

воздействия. Если

ются

стационарными. Пользуясь формулами

(234) и (223) —

(225),

определим

со

(в) + Rna(m

WO) dQ +

со

(9) A0 B i (в) dQ

f

j" Rtlxa

*«<o> = -

-

- —

( >

e

247

1 - f kvu

(Q)dQ\

Ra(v)kva(v)d\-

J [Rata m+Rna (в)] k m

(6) dQ + j

(8)

(в) dQ

mv = — me = 0

oo

X

CO

1 — J kva(Q)dQ

f Ra (v) km

(v) dv

CO

X\kxu{Q)dQ.

(248)

b

Д е т W =

= *««,(*) = О

получим тх=тг

=0.

l-Ovu(s)Y(s)

должны лежать в левой

полуплоскости.

Выполнение этого условия приводит к ограниченным вели­

чинам mx(t)

и т в (t)

как в переходном

режиме, так и в уста­

новившемся

состоянии.

Согласно

формулам

(242) —(244)

и

(247) —(248)

в послед­

нем

случае условием

ограниченности

величин средних

значений

т х

и п г е является

со

со

l - \ k v u

( B )

dB\Rtt(v)kVtt(v)dy>0.

+ Rna (9 - v)] Km (0) d9 + 2 f kvu (v) dv f m ^ - v ) /?B j 0

(B-v)kvin(B)dB+

+ C2

f ml (t -

0) kl (0) dB +

C2 f RVc (t-B,t-B)

k\u (0) d& +

•

b

b

+ \ kvn

(v) dv f Rave

(t-B,t~v)

RVca ( t - B , t - v )

kvu (0) dB,

(253)

Ravc (*> X) = І l^am (t ~ X -

B) + Ran

(t ~ X -

0)] kvm

(0) dB +

0

-f" J Ru^a (t T 0) k

\B) dB +

C*mv (t) kvu

(t

T) ;

о

+

К па (9 -

v)] k x

m

(Є) dQ + 2 \ kxll

(v) dv \ mv (t -

v) RUIA (8 -

v) X

b

b

X

kxu,

(0) d0 +

C2 f mS (* -

8) /e.?„ (8) d8

+

b

+

C2 V/?„c

—9, / - 0 ) ^ „ ( 0 ) d 0

+

b

+

f Л х и (v) dv ( R A V C

( t - Q , t - v ) R v a (t -

8, t -

v) /гл.„ (8) d8,

(255>

где

b

b

tf,0

(*,

0 =

j A r m (0) d8 f [Rm

(0 -

v) + /?„ (8 -

v)] X

о

b

Rec{t,

t) = Re0(t,

t) +

AR*c(t, t),

где

Ru С

О = Rm (0) + f Km (9) d% I [Rm (8 -

v) +Rn

(0 -

v)] k x m

(v) dv+

b

о

+

J kXUt

(0) d9 f RUl

(8 -

v) kxlh

(v) dv -

2 f Rm

(0) k x

m

(0) d9

=

о

b

b

=

Rm (0) - I -

RXo

(t,t)~

2 f Rm

(0) kxm

(8) d9 •

b

— дисперсия

ошибки

в

системе с

постоянными параметрами;

ARE

(t,

t) = AR

(t,

t) -

2 Jf mv

(t -

8) Ram

(8) kXa

(0) dQ.

ствуют

лишь

сигналы

m(t)

и n ( t ) , являющиеся

стационар­

ными. Будем

предполагать,

что m(t)

и n ( t ) не

коррелнрованы

с a ( t ) . Тогда, как доказано

выше, средние

значения

выходного

сигнала

x ( t )

и ошибки

e ( t )

равны

нулю,

а сами

сигналы .v(/)

ционные

функции

R x ( x ) и RE (Т)

для случая, когда

a(t)—бе-'

лый

шум. Тогда

уравнения (231):—(233) можно записать сле­

дующим

образом:

со

со

v)] kXm (v) dv

R* (т)

=

f kxm

(0) dQ I' [Rm

(T +

9 -

v) + R„ (T + 6 -

+

0

0

'

со

.

+

C %

(0) [ kxu (T + 9) kxa

(0) dQ;

(256)'

b

Яг(T)

=

Rm(T)

+

fb

kxm(0)

dQ bJ[Rm(x+e-

v) + R„ (T +

0 -

v)]

X

X

kxm

(V) dv -

f Rm (T -

0) kxm

(9) dO-J

Rm

(T +

9) kxm

(0) d0 +

f

b

b

+

r-Rv(0)JkxJx

+ Q)kru(^dQ;

(257)

0

CO

CO

RvW = i ^ m ( 6 ) d 0 j

[ / ^ ( T + e - v J - r - t f ^ T + O - v ) ]

X

0

0

Km

oo

0) kvu (0) d0.

X

(v) dv +

C %

(0) Г /г,,, (г +

о

^

Из последнего уравнения определяем

RV(Q):

•

"

со

со

J

А™ (9)

d9 j [Rm

(6 -

v) + /?„ (0 -

v)] * , m

(v)

dv

Д . ( 0 > = -

2

—

, (258)

0

Подставляя

его в

выражения

(256)

и

(257),

получим

со

оо

R*

(т ) =

j h x

m (Є) dQ j " [Rm

(T +

0 -

v) + Rn

(T + 9 -

v)] ^ m

(v) dv

+

о

0