Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Расчет оптимальных систем автоматического управления при наличии помех

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2521 22 23 24 25 > Следующая >>>

Представим ошибку e(t) в виде суммы ошибок динамической

и случайной e(t) = є я (0 -rECj(t),

где

	eg (/) = H(p)g(f)-[g	(t-x) k (T) dx;
	r	о
	r
e M	(/) = Я (/?) /п (0 — f [m (t — x) + n (/ — T)] k (T) dr.
Пусть	требуется, чтобы e g ( r ) = 0 . Разлагая g(t—x)

т, получим

(373)

в ряд по

g{t-X)=g(t)-Tg{f)		+ ^ - ' g ( t ) + . .		.	+ ( - i y * - g l r ) ( f ) .
			2!			r\
						(374)
Подставляя		сигнал (374)	в уравнение	ошибки		(373) с уче
том ея ( / ) = 0 , найдем
H(p)g(t)	=	bi0g(t)-bhg(t)+bm
			2!
где
	u.v	= J'TVA(T) dx,	v = 0, 1, 2, .	.	. , г,	(375)

которые определяются исходя из оператора Н{р).

Требуется в классе линейных стационарных систем с конеч ной памятью найти импульсную переходную функцию k0(t), ми нимизирующую функционал

J1(k) = J(k) + KlN(k),

где J(k) = M \e°J — 2v0Ho — 2у±\|Лі — . . .	— 2 у ^
— функционал, определяющий минимум	дисперсии случайной

ошибки при условии равенства нулю динамической ошибки. Пусть

	п	Т
N(k)	=	d'k (/)		d/,	а(' = 1 ,		і =	0,	1,	2, . .	. n;
N(k)	=			d/,	а(' = 1 ,		і =	0,	1,	2, . .	. n;
	7=0~	о
тогда функционал
Ji	(k) = M (є*,) -		2Y o u.0 -		2yuh -		.	.	. _	2угц.Л	+
		л	Г
			' г d'fe (Q			! dt,		> 0,			(376)

dt'

i'=0 о

где yo, уь 72, 4r, h — неопределенные множители.

200

Часть	из	них может быть определена из выражения			(375),
а параметр		К\—• из условия J(k)	= a. Граничные	условия	для
искомой	k0(t),	как отмечалось,	можно задавать	различными

способами. При выводе необходимого и достаточного условия

экстремума

считаем,

что

граничные

условия

заданы

в виде

£г '(0)=с,-, ki(T)=di,

і —О,

1, ..., п—1.

Выведем

необходимое и

достаточное

условие

экстремума

функционала

Ji(k).

Пусть

k0(t)—функция,

принадлежащая

классу

Сп

и доставляющая

минимум функционалу

/j. (ft). Рассмотрим

функцию

А(/) = М 0 +

6т|(0,

где т)(/)—произвольная

функция

класса

С",

удовлетворяющая

краевым

условиям:

/=о ~~

dt!

= 0, t = 0, 1, 2

я — 1 ;

б — некоторое

вещественное

число.

Необходимое условие экстремума получим, приравняв к ну

лю первую вариацию функционала

Л (ft):

СТО

[Ji

\К

(t) +

бт] (01}б=о =

(377)

Раскроем М{е2сл}.

Из

формулы

(373)

получим

со

есл (/) =

m(t

— x)h

(т)

dx—\[m(t

— x) + п (t — т)] ft (т)

dx;

—со

e L(0

{ J

m(t-x)h(x)dx-

I—со

—

\[m(t—x)

n(t

— x)]k(т)dx\

;

Учитывая,

что

m(t)

и n(t)

не коррелированы,

получим

со

9) h (т) Я (&) cirdO -

(e L (0)

j '

Я т

( т -

—сс —оо

— 2

j Rm

[х-%) ft

(т) h (Э) dxdi)

—со О

J f [Rm

(х -

в) + Я„ (т -

в)] ft (т) ft (&) <*иЮ.

(378)

о о

Формулу

(376)

можно записать, не учитывая члена

со

j '

Rm(r-b)h(x)h(b)dxdb,

—оо —со

гак как	он не зависит от k(t).
} ,	(k) = \k (т) dx If [Rm (x- &) + Rn (x-

blb

-2 J Я т (т — 9) Л(9)da —2y0 — 2yLx

—со

n T
+ Х і ЕЛ^Гi = 0 0	л '

9)] k (&) d!> •

— . . . _ 2 ї л т / | +

(379)

	0 <	t <	7.
Подставляя в функционал		(379)		k(t)=k0(t)+8r\(t),	получим
Ji l*o (0 +	(01 = J [fto to		+	Svj (T)1 j f [/?M (T -	0) +

		о	lo
+ # „ (T -	»)] [ft0		(») + «ті (*>)] d» -
+ \	£ !	l	d ' [ M O + «4(0)
+ \	£ !	l	d/'
	i = 0	о

где

2M (x)j dr +

1 2 d/,

M (T) =	J	Я т (T -	0) Л (ft) dft +	Yo + Тіт+ . - . + у,т/. (380)
Полагая	Rm(t)	+Rn(t)	=Rv(t),	получим

Ji Iko (0 +бл (01 = J *o (T) dx jfяф (т - a) £0 (0) da -

		о		lb
— 2Ж (т)1 +		б fїї (T) dT І2 J£0 (0) £ ф (т — 8) db —
	J	b	1 о			a) da) +
— 2УИ (x)j +		б2 f r, (T) dT If г, (Э) лФ -(т -				a) da) +
i =0	J	b	lb		•	j
i =0	0			,1 = 0 0 .
					d/.
		;=o	L	d/'	J
Пусть		;=o	0
Пусть	J г, (г) dx jJ tf„ (T -				(8) da- M (T)1 +
J, =	J г, (г) dx jJ tf„ (T -			0) £0	(8) da- M (T)1 +
	В	lb

	п	Т		(0	d'r, (/) dt,
		• d%		(0	d'r, (/) dt,
	i=0	о	dt'			dt'
	i=0	о
J% =	] л (T) dT I (• Л (») #Ф ( т - 8 ) dft\|						+
	b	lb
		n	T	•d'Mt)
				•d'Mt)		2 dt,
		[ =0	о		dt'
тогда		[ =0	о
тогда
h IK (t)	+ бт\| (01 =		h	[k0	(01	h 26Л +	6VS .

Воспользовавшись выражением (377), найдем необходимое условие экстремума функционала Ji{k).

Преобразуем выражение

J	d/''	dz''
о

Проинтегрируем последнее соотношение і раз по частям с

учетом краевых условий				на	функцию		ц(і)	и	ее	производные
при £ = 0 и t=T,		получим
	[	rfMO	. Л Щ )	л =	( _	1 } 1 Р	„	( л	d t
	.)	Л'	Л''			J	Л2 '		w
	о					о
Тогда необходимое условие экстремума можно записать в
виде
Т	(Т						п
Л = f и (т) dr	Г/?ф (т -		ft) £0 (Я) dft -			М (т) +	^ V	( - 1 ) '		= 0.
0	І 0						[=0
Откуда
r ^ ( T - 0 ) / e o ( 0 ) d & - M ( T ) + Л і 2 ] (п - 1 ) ' ^ ^ = 0,										0 < т < Г .
J					(=0					(381)
0										(381)
Подставляя		выражение		(380)		в (381),	имеем
со	i = 0				0
со

= J/?„,(/-ft)A (&)dft + Y0 + ^ + . . . + v A 0 < г < Г . (382)

Уравнение

(382) при / > 0 является

интегро-дифференциаль-

ным

уравнением, которое

при / = 0

трансформируется

инте

гральное уравнение Фредгольма

2-го рода:

КК

(0 + 1 Д Ф ( ' - » ) К ('>) *\\ =

Rm (t-*)h

(ft) rfft +

—м

+ Yi' + •

• - + Y A

0 < * < 7 \

(383)

Следует подчеркнуть различие между интегральным уравне

нием

Фредгольма 2-го рода и 'интегральным

уравнением

Фред

гольма

1-го рода, получающимся

пр'и оптимизации

функционала

J(k).

Это различие существенно

для реализации

оптимальных

операторов и состоит в том, что если

правая

часть

интеграль

ного

уравнения

(383) не содержит

дельта-функций,

то и реше

ние не будет содержать дельта-функций. Кроме этого, уравне

ние (382) определяет			условие			экстремума			регуляризованного
функционала.
Достаточно просто показать, что уравнение										(382)	опреде
ляет не только		необходимое,			но и достаточное условие						миниму
ма функционала		Ji(k),		т. е.
		j ,	[МО-Ь		би (01 > . // lk0(t)]
для любых допустимых Т] (/) .
Уравнение	(382) в случае,					когда	с',-	отличны		от	единицы
г'=0, 1,2,...,	п, будет иметь вид
л				.		г
2 а<- ( - 1У * У + J 4 с - а								)ko ( f o d b		=
i = 0						о
со
= j # r a ( / - 0 ) f t ( » ) d » + Y0 + Y i ' + • • • + Y A 0 < * < 7 \
0 0
где а.1 — а'Хъ	і —0,		1, 2, . .			. , п.
Для решения интегро-дифференциального уравнения (382)
можно воспользоваться				аппаратом			метода		самосопряженных
операторов. Действительно, если привести уравнение											(382) к
виду
Т						со
\| Я ; ( * - » ) М Я ) < Ю =						J		Rm{t-V)h(\))db+
О						—со
			+	S Y A		0 < ^ < 7 ,					(384)
				1=0

то применим метод самосопряженных операторов. Подобное сведение уравнения (382) к уравнению (384) можно провести, воспользовавшись основными свойствами дельта-функции Ди рака 6(0- 204

5. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (382)

Для любой непрерывной, непрерывно дифференци руемой функции c(t)

со

c(x)S(2">(/ — т) dx =

с<2'" (0.

(385)

—со

где с<2")(^) —2/2-я производная функции

c(t);

5(/)-—2/г-я производная дельта-функции.

С учетом

(385) уравнение

(382)

можно записать так:

j [/?Ф

(t -

І>)

(

- 6 ( 2

э ) 1 / г

о (&)

i = 0

оо

+ т1* + . . - + Y A О < Г < Г .

= j я Я І р _ а ) А ( & ) < ю + Ї 0

—со

Введя обозначение

яФ((-*>) + хг2 (-1)-'б(2о(/-ь) =

R;Q-&),

1=0

перепишем уравнение

(382)

в виде

со

j t f ; ( * - & ) M 0 ) d $ > =

а - » ) ft(&)d»

70 +

v i ^ +

• -

- +

v A

—со

Спектральная

плотность

S* (со)

определится

как

преобразо

вание Фурье

Я*

(т), т. е.

со

—со

Так как

со

6<2г> (0 е~'ші

dt =

(/со)2', г =

0, 1, 2,

. .

п,

—со

ТО

S; И

= S9

(со) +

( - 1)'" (/со)* =

S<P (со) +

Яг

со2',

1=0

t = 0

где Sq,.(со) —спектральная

плотность,

соответствующая

корре

ляционной

функции Rrp (т).

Покажем, как следует применять

метод

самосопряженных

операторов для решения уравнения

(384).

Очевидно, если 5 ф

(со)

дробно-рациональная

функция,

то и

5* (со) — дробно-рациональная функция со, т. е. 5* (со) может быть представлена в виде

	<Р v	'	d 0 +	dlCo2 + . .		• + d,b>-1 L (ко) L				(/со)	'
причем k^l,		k = l, если n = 0 >в функционале						(376).
Согласно		общей теории метода самосопряженных									операторов
в решении	интегрального				уравнения		(384)	будут		отсутствовать
дельта-функции,			что,	естественно,			упрощает		реализацию ре
шения.
Используя		связь функции Грина самосопряженной краевой
задачи с корреляционной					функцией		(см. гл.		1),	можем запи
сать
		К		=	М (р) М* (р) G(t-x),						(386)
где G(t—т)	—функция Грина					самосопряженной				дифференци
		альной		системы.
Функция		Грина		является		решением		дифференциального
уравнения

L(р) L* (р) G (t — т) = б (/ — т).

Сучетом корреляционной функции (386) интегральное урав нение (384) примет вид

М (р) М* (р) f G(t—x)

k0 (х) dx

Rm(t

— b)h(b)db

+ y0

y1t+

. .

. +

v A

0<t<T.

(387)

Уравнение

(387)

является

неоднородным

дифференциаль

ным

уравнением

порядка

с постоянными

коэффициентами

относительно

функции

T\G{t

—

x)k0(x)dx.

Решение

(387)

имеет

вид

J G (t -

т) k0 (x)dx=yjBi

e<V +

j j Л /

i = i

i = 0

- A M

(p) M*-1

(p)

Rm(t-b)h(u)db ,

0 <

t < T,

(388)

где

М - 1

(p)M*-]

(р)—оператор,

обратный

оператору

М(р)М*(р);

щ— корни характеристического уравнения

М*(а)М(а) =0.

Применяя к уравнению	(388)	оператор L(p)L*(p),	получим
2k		г
		1=0
+L(p)L(p)M-(p)M*-l(p)	J	Rm(t-b)h(b)db , о <	t < т.

(389)

Решение не содержит дельта-функций. Коэффициенты ВІ, Л* определяются путем подстановки импульсной переходной функ ции в уравнение (382) и краевые условия.

6. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (382] И ОБОБЩЕНИЕ ЕГО НА СЛУЧАЙ Г = оо

Рассмотрим частные						случаи		интегрального	уравне
ния (382). Пусть полезная случайная составляющая									входного
сигнала				m(t)=0.
				m(t)=0.
В этом случае		интегральное					уравнение (382)		сводится
к виду
"				.			т
К 2 <-1У -			^	r	1	+ fRn С-») К (») ж =
£=0
=	Yo + Yi^+			•	•	. + ї Д		0 < / < Г .	(390)
Выражение для математического ожидания квадрата слу
чайной ошибки с учетом			формулы				(378) будет иметь вид
м	К	(0) =	] ] Rn {t -				») k (t) k (f») dt db =
			о о
		= ]k{t)dt]Rn{t					— 9)й(Э) db.		(391)
		о		0

Так как из уравнения (390) следует, что

т ' п

§Rn(t-b)kB(b)d&	= y0 +	y1t + . .	.+	у	^ -	Я ^ Ы )		dt*1	'
о								dt*1	'
о						1= 0
то формула	(391) для минимальной		дисперсии			будет
		dt ?o +	Yi' +	•	• - +		—
		I		I				+
і=0	dt*	Yo J 4 ( 0 ' # + Yi jtk0(t)dt				+		+
і=0		о

Гn

+У г f t% (t) dt - AI f 2 ( - w k° w - ^ R - D / =

0 i'=0

7" л

(') dt.

0 1=0

(392)

207

Когда

детерминированная

составляющая

полезном

сигна

ле

отсутствует,

g(t)=0,

Г = оо

.интегральное

уравнение

(382)

примет

вид

со

і=0

со

|" tfm

(£ — 0) Л (ft) dft,

0 <

/ <

оо.

(393)

—оо

В этом

случае

СО

WU„ =

j Я« (' -

» ) Л (ОЛ

( &

) »

- 2

(

С -

0) X

-со

(t) h (ft) d/d& + j '

' Rv (t —

ft)

£0

(/) /г0 (») d/d&

0 со

со

f Rm V -

Щ h (t) h (&) dtm -

j "

j" Rm

(/ -

!)) k0 (t) h (0) d/dft •

— CO — C O

_co

dt-'

id/.

1=0

Решение

интегрального

уравнения

(393)

определяется вы

ражением

k0(l)

j \ B-f

+L(p)L*(p)

X Л*-' (p) /И*"1 (p)

j /?l s (f_&)h(&)d&

, 0 < f <

oo.

(394)

Коэффициенты

определяются

путем

подстановки решения

k0(t)

в уравнение

(393)

и краевые

условия.

Рассмотрим некоторые примеры оптимизации с использова

нием принципа

минимальной

сложности.

ПРИМЕРЫ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

ОПТИМАЛЬНЫХ

ОПЕРАТОРОВ

СКОНЕЧНОЙ И БЕСКОНЕЧНОЙ ПАМЯТЬЮ

СУЧЕТОМ ОГРАНИЧЕНИЯ СЛОЖНОСТИ

Задача статистического упреждения с усилением.

Пусть	управляющее	воздействие y{t)=m{t),	желаемый	опера
тор H(s)=3ei"s,		где А)=0,5 — время	упреждения,	n(t)=0
(рис.	32).

Решим задачу минимизации				функционала					fi{k)	со	следую
щими данными (при 7, = о о ) :
1) Rm(t)=±-e-\n;					s m ( c u )		=	_	L - ;
	2) N(k)		=	J	k*{t)dt.						(395)
									I
Уравнение (393) для этого случая						примет			вид
со				со
+ T ^ ( f _ u ) f e 0 ( » ) d a =				j	/? m (f - 0)/i(&)dO f					о < < < оо,
Ь			—оо								(396)
											(396)
где
\| / ? и ( / - * ) А ( в ) Л = - ? - е - і '								+ '.і
—со
или					со
со					со
J « ; ( ' - » ) M » ) d » =					j '			tfm('-W)d»,
О				—оо
где
Соответствующая спектральная плотность
•SlH = Sm((o) + X1					=	Я1Ш* + Я.! + 1
						1	+ ш 2
Отсюда	М (р) Л4* (Р)			-	^	+ ^	+
	М (р) Л4* (Р)			-	^	+ ^	+	1
	L(p)L*(p)				1 _ р «
Ищем корни уравнения			М ( а ) М * ( а ) = 0 :
Следовательно,	решение		интегрального						уравнения		имеет
вид
k0(t)	= Be	'	*.		+ L ( p ) L * ( p ) X
X М - '	(р) М * - 1	(р) Г f			Я т	(г1 -	Ь) h (&) d&
но
Цр)1(р)М-Чр)М-1(р)					J			Rm(t-b)h(b)db =			О

S З з к . 1249

209

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2521 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ