книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Расчет оптимальных систем автоматического управления при наличии помех
.pdfС учетом выражений (427) |
и (423) |
найдем |
|
|
|
|||||
М [х (0 х (О] -М[у |
(0 |
х (01 |
= |
М{[хЩ |
— у (01 х (0) =k{t)n |
(О- |
||||
Поскольку |
є(ї) =x(t)—y(t), |
|
последнее выражение |
можно |
||||||
переписать: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М {с (0 [є (0 + |
У (01} = |
k (0 п (0. |
|
(456) |
||||
Но |
M[z(t)y(t)] |
= 0, поэтому |
из выражений |
(444), |
(456) |
опре |
||||
делим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r(0 |
= |
k(t)n{t). |
|
|
|
|
Так |
как n(t)>0, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£(0 = ^л-(г). |
|
|
|
(457) |
||
С учетом |
формулы |
(457) |
дифференциальное уравнение, ко |
|||||||
торому удовлетворяет r(t), |
имеет вид |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
^ - = |
2а (0 г |
^— r2 + т (t). |
|
(458) |
|||
|
|
|
а/ |
|
|
п (г) |
|
|
|
|
Уравнение |
(458) представляет собой дифференциальное урав |
|||||||||
нение |
Риккати. При |
его |
интегрировании |
могут |
возникнуть |
|||||
трудности. Для решения задачи Коши для дифференциального
уравнения (458) |
необходимо знание |
начальных условий |
r{t0). |
|||||
Будем считать, |
что |
y(t0)=0, |
тогда |
e(to) |
=x(t0)—y(t0) |
и |
|
|
г ( д = |
м[є2 |
( g i = |
м[х ( g х(gi |
= |
( g |
g . |
|
|
Вопросы существования решений уравнения (458), единст венности и устойчивости здесь не рассматриваются. Эти вопро сы рассматривались как Калманом и Бьюси [63], так и другими учеными.
2.МНОГОМЕРНЫЕ ФИЛЬТРЫ
Впредыдущем разделе был рассмотрен случай выво
да |
фильтра Калмана — Быоси |
для |
скалярного |
случайного |
|||
процесса. Вывод проводился аналогично методу, |
изложенному |
||||||
в работе |
[36]. Переходим |
к рассмотрению векторных случай |
|||||
ных |
процессов. |
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим систему, |
описываемую векторным |
дифферен |
|||||
циальным |
уравнением первого порядка: |
|
|||||
|
|
-£- |
= |
A(f)x |
+ |
B(f)q(f); |
|
|
|
at |
|
|
|
|
|
|
|
h(t) |
= |
С (0 |
х, |
|
|
где |
q(t) |
— r-мерный вектор на входе системы; |
|
||||
|
x(t) |
—«.-мерный вектор состояния системы; |
|
||||
|
h(t) |
—m-мерный вектор >выхода |
системы; |
|
|||
A (t) — п X /і-матр'ица-функция; B(t) —«Хг-матрица-функция; C(t) —mXn-матрица-функция.
Система (459) предполагается вполне наблюдаемой. Напом ним, что система называется вполне наблюдаемой, если имеется возможность восстановления начального состояния системы по некоторой наблюдаемой линейной операции над ее выходом. Предполагаетя также, что q(t) —векторный случайный гауссов
.процесс типа белого шума с нулевым математическим |
ожи |
|||||||||
данием |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M[q(t)} |
= |
0 |
для любого t. |
|
|
(460) |
|||
Корреляционная матрица процесса |
q(t) |
|
|
|
|
|||||
|
М {q (t) |
qT (т)) |
=8(t |
— T)m |
(t). |
|
|
(461) |
||
где m(t)—симіметричная, |
|
неотрицательно |
определенная |
rXr |
||||||
матрица-функция; 8(t)—дельта-функция |
Дирака; |
|
|
|||||||
<7т(т) обозначает транспонированный вектор. |
|
|
|
|||||||
Пусть в момент t=t0 |
x(t0) —гауссова |
векторная |
случайная |
|||||||
величина, не зависящая |
от |
q(t), |
с известным математическим |
|||||||
ожиданием |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M{x(t0)\=x0 |
|
|
|
|
|
(462) |
||
и корреляционной |
матрицей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
{[х (*„) - |
х0] |
[х (t0) - |
х0]т\ |
= Q„. |
|
|
(463) |
||
При этом x(t) |
и h(t) |
— гауссовы случайные |
процессы. |
|
||||||
Пусть наблюдаемый сигнал имеет вид |
|
|
|
|
||||||
z(t) |
= h (0 + & (0 = |
С (0 х (0 + & (t), |
|
|
(464) |
|||||
где f}(/) — вектор |
гауссова белого шума, причем |
|
|
|
||||||
|
|
УИ(&(0)=0 ; |
|
|
|
|
(465) |
|||
|
М {& (t) Ьт |
(t)}=8(t |
— T)N |
(t), |
|
|
(466) |
|||
где N(t)—симметричная, |
|
положительно |
определенная |
mXm- |
||||||
матрица-функция. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предполагается, что r>(/), q(t), |
x(t0) |
некоррелированы. |
|
|||||||
Необходимо получить оценку |
y(t) |
состояния |
x(t) |
системы |
||||||
(459) по измеренной на отрезке |
[t0, |
Т] |
вектор-функции |
z(t). |
||||||
Аналогично одномерному случаю фильтр, дающий искомую |
||||||||||
оценку, ищем в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
JlL |
= |
H(t)y + K(t)z(t), |
|
|
|
(467) |
|||
где y(t)—/z-мерный вектор;
H(t) —nXn-матрица-функция; K(t) —/iXm-матрица-функция;
Ошибка |
фильтра |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
є(/) = х ( 0 - у ( 0 . |
|
|
|
|
|
|
(468) |
||||||
Матрицы функции |
H(t), |
K(t) |
и |
начальное |
состояние |
y(to) |
||||||||||||||
выбираются из следующих условий: вектор-функция |
y(t) |
|||||||||||||||||||
должна давать несмещенную оценку x(t) |
и минимизировать дис |
|||||||||||||||||||
персию ошибки |
є (0 |
или |
некоторый |
функционал |
от |
корреляци |
||||||||||||||
онной матрицы |
8(0- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Отыщем дифференциальное уравнение, которому удовлет |
||||||||||||||||||||
воряет |
e(0- |
С |
учетом |
соотношений |
(464), |
(467), |
(468) |
и |
(459) |
|||||||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•—- = |
И |
(/) — Я |
(0 |
— |
K(t)C |
(01 x(t)+H |
|
(і) є (0 |
+ |
В (0 |
q (0 |
- |
Щ |
» (/). |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(469) |
Из |
|
условия |
несмещенности |
оценки y(t) |
|
процесса |
x(t) |
|||||||||||||
должно |
иметь место |
условие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
M[x(t))=M\y(t)) |
|
|
|
для |
t > t 0 , |
|
|
|
|
(470) |
||||||
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
{&(()) = |
0 |
для t>t0; |
|
|
|
|
|
|
(471) |
||||
|
|
— М (е (0) |
= М {є (/)) = |
0 |
при всех |
* > |
/0 . |
|
|
(472) |
||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как M{g(r)} =M{ft{t)}—0, |
|
|
переходя |
в обеих частях |
урав |
|||||||||||||||
нения |
(469) |
к |
математическим |
ожиданиям, |
с |
учетом |
выраже |
|||||||||||||
ний (471), |
(472), |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
[А (0 — Я (0 — К (0 С (01М [х (01 |
= |
0. |
|
|
|
(473) |
|||||||||||
Поскольку |
M{x(t)}^0, |
|
то |
условие |
несмещенности |
оценки |
||||||||||||||
будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л(0— Я ( 0 - К (ОС(0 = 0. |
|
|
|
|
|
(474) |
|||||||||
Начальное состояние фильтра г/^о) должно быть |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t/(r0 ) = |
x0 . |
|
|
|
|
|
|
|
(475) |
|||
Следовательно, выполнение |
условий |
(474), |
(475) |
обеспечи |
||||||||||||||||
вает несмещенность оценки y(t). |
Напишем |
|
дифференциальное |
|||||||||||||||||
уравнение этого |
фильтра: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Л- |
= |
[А(і)-К |
|
(0 |
С (01 |
y + |
K(l)z |
(0. |
|
|
|
(476) |
|||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрицу K(t) необходимо теперь выбрать из условия ми нимума функционала от дисперсии ошибки Корреляцион ная матрица ошибки
Q(i) = M{E(t)eT(t)}, |
(477) |
так |
как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М | е ( 0 | |
= 0 . |
|
|
|
|
|
Легко показать, что Q(t0) |
= Qo — известная |
матрица. |
|
||||
|
В качестве критерия качества фильтра рассмотрим функ |
|||||||
ционал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J = |
M[e^(tl)P(tl)e(t1)U |
|
|
(478) |
||
где |
t{ — некоторый |
фиксированный момент |
времени; |
|
||||
|
P(ti)—симметричная, |
положительно |
определенная |
пХп- |
||||
|
•матрица. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя |
понятие следа |
матрицы, функционал (478) |
можно |
||||
также записать в следующем |
виде: |
|
|
|
||||
|
J — М |
\Sp[Pft)еft) |
гт(і,)]] |
= Sp[Р(У |
М |
[г&)г?(І,)}]. |
||
или, с учетом |
формулы |
(477), |
|
|
|
|
||
|
|
J |
= Sp[P(tJQ(tt)}. |
|
|
(479) |
||
Следовательно, матрица K(t) должна быть выбрана таким образом, чтобы минимизировался функционал (479).
Можно показать [36], что корреляционная матрица-функция ошибки удовлетворяет матричному дифференциальному урав нению
|
• ~ |
= |
И (t) — К (0 С (0 ] Q (0 + Q (0 [А (0 — K(t)C |
(t)]T |
+ |
|||||||
|
|
|
|
+ |
В (/) m (0 Вт (0 + K(t)N (0 K r |
(0 |
|
(480) |
||||
с начальным условием Q(to) = Qo. |
|
|
|
|
||||||||
ние |
Поскольку Q0 и все входящие в дифференциальное |
уравне |
||||||||||
(480) |
матрицы являются |
известными, |
кроме |
матрицы- |
||||||||
функции |
K(t)j |
то |
решение |
Q(t) |
зависит от |
K(t). |
Эта |
задача |
||||
может |
быть |
решена |
с |
помощью |
принципа |
максимума |
||||||
Л. С. Понтрягина, что показал Атанс в работе |
[4]. Если |
элемен |
||||||||||
ты |
матрицы Q(t) |
рассматривать |
как |
состояние системы, а эле |
||||||||
менты матрицы K(t) |
рассматривать |
как управления, то |
задача |
|||||||||
сводится к задаче детерминированного управления на фиксиро ванном интервале со свободным правым концом. Управление
должно быть выбрано таким образом, |
чтобы |
минимизировать |
||||||
функционал |
(479). При |
выводе мы |
используем это, хотя Кал- |
|||||
ман |
и Бьюси |
в |
работе [63] применяли |
методы |
функционального |
|||
анализа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя |
известные |
результаты |
из принципа |
максимума, |
||||
можно показать, что |
«оптимальное |
управление» — матрица |
||||||
K(t), |
минимизирующая |
функционал |
(479), имеет |
вид |
||||
K(f) = Q(t)Cr(t)N-l(f). |
(481) |
Подставляя в дифференциальное уравнение (480) |
выраже |
||
ние для |
K(t), получим |
|
|
~ - |
= A(t)Q(t) + Q(t) Ат(t) |
-Q(t) CT(t) Л Г 1 (і)С(t) |
Q (t) + |
|
+ B(() |
m(t)BT(t), |
(482) |
|
Q ( g |
= Q0. |
(483) |
Уравнение (482)—матричное дифференциальное уравнение Риккати. Калманом показано, что оно имеет единственное реше
ние для t^to, когда Qo — неотрицательно |
определенная мат |
|
рица, а элементы |
матриц A(t), C(t), N(t), |
B(t), m(l) удовлет |
воряют некоторым |
условиям. |
|
Решение уравнения (482) подставляется в (481) и затем в дифференциальное уравнение фильтра и таким образом нахо дится фильтр, обеспечивающий несмещенную минимальную дисперсию ошибки є (г1), поскольку условие (481) является не только необходимым, но и достаточным условием минимума.
Следует сделать одно замечание. Как видно из выражения (482), оптимальный фильтр не зависит от матрицы P(t), фигу рирующей в критерии. От матрицы P(t) зависит только величина критерия качества. Однако предположения, сделанные относи тельно этой матрицы, существенны. Многомерный фильтр Калмана — Бьюси можно представить структурной схемой, анало гичной схеме, изображенной на рис. 40, с точностью до звена
вглавной обратной связи.
3.ОБОБЩЕНИЕ НА СЛУЧАЙ ПОМЕХ, ОТЛИЧНЫХ ОТ БЕЛОГО ШУМА
Впредыдущих двух разделах приводился вывод фильтров Калмана — Бьюси соответственно для одномерных и многомерных случайных процессов, когда помеха тУ(і) является гауссовым случайным процессом типа белого шума. Ниже рас сматривается более общий случай. Рассмотрим систему.
|
|
dt |
A(t)x |
+ |
B(t)q(t); |
|
|
|
|
(484) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h(f) |
Сх, |
|
|
где |
q(t) |
— r-мерный вектор на входе системы; |
|||
|
x(t) |
—«-мерный |
вектор; |
|
|
|
h(t) |
—m-мерный вектор выхода системы; |
|||
|
A(t) —/гХл-матрица-функция; |
||||
|
|
С — mXn-постоянная |
матрица; |
||
q(t) —векторный случайный гауссов процесс типа бе лого шума, причем
М (? (t)} = 0; M[q (/) qT (т)} = б (/ - т) m(t),
где, как и ранее, m(t) —симметричная неотрицательно опреде ленная г X г- м атри ца -функци я.
Пусть помеха f}(/) также может быть представлена как вы ход линейной с переменными параметрами системы при 'воздей ствии случайного процесса типа белого шума
|
|
4 = D(9& + |
T](0, |
|
|
|
(485) |
|||
где т) (і) |
|
at |
|
|
случайный |
гауссов |
процесс |
|||
— га-мерный векторный |
||||||||||
типа белого шума с нулевым математическим |
ожиданием для |
|||||||||
любого момента t, |
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M{i\(t)) |
= |
0, |
|
|
|
|
|
|
и корреляционной |
матрицей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M{r,(/)Tf(T)} |
|
=6(t-x)F(t), |
|
|
|
|||
где F(/)—симметричная |
положительно |
определенная |
тХ'п- |
|||||||
D(t) |
матрица-функция; |
|
|
®(t) |
|
|
|
|
||
— /?гX'"-матрица-функция, |
—/?г-мерный |
случай |
||||||||
|
ный процесс. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Начальные условия для |
систем |
(484), |
(485) |
соответственно |
||||||
равны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t0) = a; |
ft(g |
|
= 6, |
|
|
|
|
|
где а — гауссова |
«-мерная |
случайная |
величина, |
не зависящая |
||||||
от q(і), |
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М[а}=0
и известна ее корреляционная матрица
М \а-ат\ =G;
b — гауссова m-мерная векторная случайная велична, не зави сящая от r\{t), причем
М[Ь\ = 0
и известна ее корреляционная матрица
М \bbT\ = L .
Кроме этого, предполагается, что a, b, q(t), y\(t) некоррели рованы.
Пусть наблюдаемый сигнал имеет вид
г (/) = h (t) + 0 (0 = Сх (t) + & (t),
a y(t) |
— оптимальная |
в смысле |
минимума |
|
функционала |
(479) |
|||||||||||
оценка |
x(t), |
|
по |
измеренной |
на |
отрезке |
[Аз, Т] вектор-функ |
||||||||||
ции |
|
z(t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(t) |
|
|
Как |
следует |
из |
соотношения |
(450), |
функция |
|
должна |
||||||||||
удовлетворять |
соотношению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
M\[x(l)-y(t)]ZT(T)\ |
|
|
= 0 , * 0 < т < г . |
|
|
|||||||||
Быосн в работе [60] показал, |
что y(t) |
|
есть решение |
диффе |
|||||||||||||
ренциального |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
4L=[A(t)-T |
|
|
(/) С А |
(0 + |
T(t)D |
(t) С]у |
+ |
|
|
|||||
|
|
|
at |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
T(t)^-T(t)D(t)z(t), |
|
|
|
|
|
|
(486) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
at |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(t0) |
= |
|
GCTJ-iz(tQ), |
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J = CGCT |
+ L ; |
|
|
|
|
|
|
|||
T(t) = |
\U (0 |
[AT |
(0 CT-CTD |
|
(t)) +B{t)m |
(t) Br |
(t) CT] |
E~x |
((); |
(487) |
|||||||
|
|
|
|
|
E (t) = |
СВ (t) m (t) BT (t) CT |
+ |
F |
(t); |
|
|
|
|||||
здесь |
U(t) |
является |
решением |
матричного |
|
дифференциального |
|||||||||||
уравнения |
Риккати |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
~" |
|
= |
A(t)U |
+• UAT(t)—T(0Е(t)Тт |
|
(і) + |
В (t)m'(0 |
BT(t); |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
U (/0) = |
G — GCr |
J ' 1 |
CG. |
|
|
|
|
||||
После решения последнего дифференциального уравнения и подстановки его в соотношения (486) и (487) получим уравне ние оптимального фильтра, определяемого соотношением (486) для случая, когда помеха f}(/) отлична от белого шума. Урав нение оптимального фильтра можно записать в более компакт ной форме. Для этого введем обозначения
A(t) — T(t)CA(t) + T(t)D(t)C |
= 5(0; Т(t)D {t) = V (t). |
С учетом этих обозначений уравнение (486) примет вид
*H- = S(t)y |
+ T(t)£-V(t)z(t). |
. |
at |
at |
|
Как следует из уравнения оптимального фильтра, оно содер жит производную от наблюдаемой функции z(t), что с точки зрения практических приложений не является приятным обстоя тельством.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. А н д р е е в Н. И. Общее условие экстремума заданной функции среднеквадратнческой ошибки и квадрата математического ожидания ошибки ди
намической системы. |
«Автоматика и |
телемеханика», |
1959, |
т. 20, |
№ 7,. |
||
стр. 833—838. |
|
|
|
|
|
|
|
2. А н а н ь е в |
Ю. Ф. Приближенный |
анализ |
систем со случайными |
пара |
|||
метрами. «Известия |
АН СССР. Энергетика |
и автоматика», |
1960, |
№ 6, |
|||
стр. 155—156. |
|
|
|
|
|
|
|
3. Б а т к о в |
А. М., С о л о д о в н и к о в В. В. Метод |
определения |
опти |
||||
мальных характеристик одного класса самонастраивающихся систем. «Авто
матика |
и телемеханика», 1967, т. |
18, № 5. стр. 377—391.. |
|
|
||
4. |
Б а т к о в А. М. К вопросу |
о синтезе |
линейных динамических систем с |
|||
переменными параметрами. «Автоматика |
и телемеханика», |
1958, № 1,. |
||||
стр. 49—54. |
|
|
|
|
|
|
5. Д ж е й м с |
X., Н и к о л ь с Н., Ф и л л и п с Р. |
Теория |
следящих си |
|||
стем. ИЛ, 1954, 456 стр. |
|
|
|
|
||
6. |
Д ж у р и Э. Импульсные системы автоматического регулирования. М.,. |
|||||
Физматгиз, 1963, 455 стр. |
|
|
первого |
рода. ДАН. |
||
7. |
И в а и о в В. В. Об уравнении Винера—Хопфа |
|||||
СССР, т. 151, 1963, № 3, стр. 489—492. |
|
|
|
|||
8. |
К а з а к о в |
И. Е. Приближенный вероятностный |
анализ |
точности ра |
||
боты существенно нелинейных автоматических систем. «Автоматика и теле механика», т. 17, 1956, № 5, стр. 385—409.
9. |
К а з а к о в И. Е., Д о с т у п о в |
Б. Г. Статистическая динамика |
нели |
||||||||||
нейных автоматических систем. М., Физматгиз, |
1962, 332 стр. |
|
|
|
|||||||||
10. |
К о л л а т ц |
Л. Функциональный |
|
анализ |
и вычислительная |
математи |
|||||||
ка. М., «Мир», 1969, 447 стр. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11. |
К о л м о г о р о в |
А. Н. Интерполяция |
и экстраполяция |
стационарных: |
|||||||||
случайных последовательностей. |
«Известия АН СССР, |
серия |
математиче |
||||||||||
ская», |
1941, № 1, стр. 3—14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
12. |
К о л м о г о р о в А. Н., |
Ф о м и н |
С. В. Элементы теории |
функций и |
|||||||||
функционального |
анализа. М., «Наука», |
1968, 496 стр. |
|
|
|
|
|||||||
13. |
К у з и н |
Л. Т. Расчет и проектирование |
дискретных систем управле |
||||||||||
ния. М., Машгиз, |
1962. 683 стр. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
14. |
К у р а к и н |
Е. И. Аналитический |
метод |
синтеза |
линейных |
систем ав |
|||||||
томатического управления при наличии помех |
и заданной динамической точ |
||||||||||||
ности. «Автоматика |
и телемеханика», 1958, № 5, стр. 408—417. |
|
|
|
|||||||||
15. |
К у х т е н к о |
В. И. К расчету |
корректирующих |
целей |
систем |
авто |
|||||||
матического управления покритерию минимума |
среднеквадратической |
||||||||||||
ошибки. «Автоматика и телемеханика», |
т. 20, |
1959, № 9, стр. 1180—1187. |
|||||||||||
16. |
Л а в р е н т ь е в |
М. А., Л ю с т е р н и к |
Л. А. Курс вариационного ис |
||||||||||
числения. М., Гостехиздат, 1950, 296 стр. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
17. |
Л е о н д е с |
К. Т. (ред.). Современная |
теория систем управления. М., |
||||||||||
«Наука», ГРФМЛ, М., 1970. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
18. Л э н н н н г |
Д. Ж-, Б э т т и н Р. Г. Случайные |
процессы в задачах |
•автоматического управления. М., ИЛ, 1958, 387 стр. |
|
|
19. М а л ь ч и к о в С. В. О синтезе линейных систем автоматическогоуп- |
||
равлекия с переменными параметрами. «Автоматика и |
телемеханика», 1959, |
|
№ 12, стр. 1588—1594. |
|
|
20. М а т в е е в |
П. С. Методика определения оптимальной импульсной пе |
|
реходной функции для одного класса воздействий. «Автоматика и телемеха ника», 1959, № 1, стр. 3—15.
при |
21. М а т в е е в |
П. С. Синтез корректирующих устройств следящих систем |
|||||||||
наличии |
помех. |
«Автоматика и телемеханика», |
1959, № 6, стр. 721—728. |
||||||||
|
22. М а т в е е в |
П. С. Методика |
определения |
оптимальной |
импульсной |
||||||
•переходной функции при наличии внутренних |
шумов. «Автоматика и телеме |
||||||||||
ханика». 1960, JVS 3, стр. 286—292. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
23. М а т в е е в |
П. С. Об одном способе определения желаемых логариф |
|||||||||
мических |
частотных |
характеристик. «Автоматика и телемеханика», т. XVII, |
|||||||||
№ |
1. 1957, стр. 71—77. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
24. М а т в е е в |
П. С, С лгос а р е н к о И. И. Низкочастотный генератор |
|||||||||
случайных величин. ЦИТЭИ. тема 33, вып. 9. 1960. |
|
|
|
||||||||
|
25. М а т в е е в |
П. С , С и н н ц ы н А. С. |
Динамическая точность систем |
||||||||
автоматического управления |
со случайными |
параметрами. |
«Автоматическое |
||||||||
управление |
и вычислительная |
техника». М., Машгиз, 1964, № 6, стр. 232—305. |
|||||||||
|
2е,. М а т в е е в |
П. С, С и н и ц ы н А. С. Определение |
динамических ха |
||||||||
рактеристик |
систем |
из неидеальных |
элементов. |
Аналитические |
самонастраи |
||||||
вающиеся |
системы |
автоматического |
управлення. М., «Машиностроение», 1965, |
||||||||
•стр. 2Є2—287. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
27. М а т в е е в |
П. С , С и н и ц ы н А. С. Исследование |
точности и оценка |
||||||||
надежности |
систем |
автоматического |
управлення |
со случайными |
параметрами |
||||||
«Автоматическое управление и вычислительная техника». М., «Машинострое ние». 1967, № 7. стр. 79—139.
28. М и х л и н С. Г. Kvpc математической физики. М., «Наука», ГРФМЛ, 19Є8. 575 стр.
29.Ньютон Дж. К., Гулд Л. А., Кайзер Дж. Ф. Теория линейных сле дящих систем. М.. «Фнз.матгиз». 1961, стр. 407.
30.П е р о в В. П. Статистический синтез импульсных систем. «Советское радиол. 1959. 454 стр.
31. |
П у г а ч е в |
В. С. Общая теория корреляции |
случайных |
функций. |
||||||||||||||
Изд-во |
АН СССР, серия математическая, т. 17, |
1953, № 5, |
стр. 401—420. |
|||||||||||||||
32. |
П у г а ч е в |
В. С. Теория случайных функций |
и ее |
применение |
к за |
|||||||||||||
дачам |
автоматического управления. М., |
Гостехиздат, |
1957, |
659 стр. |
|
|
||||||||||||
33. |
П у г а ч е в |
В. С. Возможное общее решение проблемы определения' |
||||||||||||||||
•оптимальной |
динамической |
системы. |
«Автоматика |
н |
|
телемеханика», |
1956, |
|||||||||||
-№ 17. стр. 585—589. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
34. |
П е л е г р е н |
М. Статистический |
|
расчет |
следящих |
систем. |
М., ИЛ, |
|||||||||||
1957 г. 223 стр. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
35. |
П у п к о в К. А. Метод |
исследования |
точности |
|
существенно |
нелиней |
||||||||||||
ных систем |
автоматического управления |
при помощи |
эквивалентной |
пере |
||||||||||||||
даточной функции. |
«Автоматика |
и |
|
телемеханика», |
т. 21, |
1960, |
№ 2, |
|||||||||||
стр. 191—200. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
36. |
Р о й т е и б е р г Я- |
Н. Автоматическое |
регулирование. |
М., |
«Наука», |
|||||||||||||
1971. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37. |
С о л о д о в |
А. В. Статистическое |
|
исследование |
нестационарных |
про |
||||||||||||
цессов |
в линейных |
системах |
с применением |
инверсных моделирующих уст |
||||||||||||||
ройств. |
«Автоматика и телемеханика», |
1958, |
№ 4, |
стр. 312—324. |
|
|
||||||||||||
38. |
С о л о д о в |
А. В. Линейные системы автоматического |
управления с |
|||||||||||||||
переменными |
параметрами. М., Физматгиз, |
1962, 324 стр. |
|
|
|
|
||||||||||||
39. |
С о л о д о в н и к о в |
В. В. Статистическая динамика |
линейных систем |
|||||||||||||||
автоматического управления. М., Физматгиз, 1960, 655 стр. |
|
корректирую |
||||||||||||||||
40. |
С о л о д о в н и к о в |
В. |
В., |
М а т в е е в |
П. С. Синтез |
|||||||||||||
щих устройств следящих систем при наличии помех |
|
по заданным |
требова |
|||||||||||||||
ниям |
динамической |
точности. |
«Автоматика |
и |
телемеханика», |
1955, |
№ 3, |
|||||||||||
стр. 233—257. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
41. |
С о л о д о в н н к о в |
В. В. Синтез корректирующих устройств |
следя |
|||||||||||||
щих |
систем |
при помощи оптимальных |
и типовых |
логарифмических |
частот |
|||||||||||
ных |
характеристик. |
«Автоматика |
и |
телемеханика», |
т. |
14 |
|
1953 |
|
№ 5 |
||||||
стр. 531—555. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
42. |
С о л о д о в н и к о в |
В. В. |
Синтез |
корректирующих |
устройств |
сле |
||||||||||
дящих |
систем |
при |
типовых |
воздействиях. |
«Автоматика |
и |
телемеханика», |
|||||||||
т. 12, |
1951, |
№ 5, стр. 352—388. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
43. |
С о л о д о в н и к о в |
В. В., |
Б а т к о в |
А. М„ |
|
Б р е д и с |
А. А., |
|
М а т |
|||||||
в е е в |
|
П. С. Методы математической статистики и |
|
теория автоматического |
||||||||||||
управления. «Автоматическое управление и вычислительная |
техника» |
М., |
||||||||||||||
Машгиз, 1958, |
стр. 7—28. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
44. |
С о л о д о в н и к о в |
В. В., |
М а т в е е в П. С, |
Б а б у р и н |
В. М. Ста |
|||||||||||
тистический |
метод |
и аппаратура для |
определения |
динамических |
характери |
|||||||||||
стик объектов управления. «Автоматическое управление и вычислительная
техника», вып. 5. М„ Машгиз, 1962, стр. 151—202. |
|
|
|
|
|
|
||||||
45. |
С о л о д о в н и к о в В. |
В., Б и р ю к о в |
В. |
Ф. |
Регуляризация |
задач |
||||||
синтеза |
статистически |
оптимальных систем по результатам |
статистической |
|||||||||
обработки |
информации |
при |
измерениях. |
Сборник |
трудов |
II Всесоюзного |
||||||
симпозиума |
по методам |
представления |
к аппаратурному |
анализу |
случай |
|||||||
ных процессов и полей. Т. 1, Новосибирск, |
1969. |
|
|
|
|
|
|
|||||
46. С о л о д о в н и к о в |
В. |
В., М а т в е е в |
П. |
С. |
Синтез |
корректирую |
||||||
щих устройств систем автоматического регулирования при наличии помех.
«Автоматическое управление |
и |
вычислительная |
техника», |
вып |
4 |
М., |
Маш |
|||||||||
гиз, 1961, стр. 93—183. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
47. |
С о л о д о в и и к о в |
В. В., |
Л е н с к и й |
В. Л. |
Синтез |
систем |
управ |
|||||||||
ления минимальной |
сложности. |
Изд. АН СССР. М., |
1966, |
№ |
2, |
стр. 11—18.. |
||||||||||
48. |
С о л о д о в н и к о в |
В. |
В., |
М а т в е е в |
|
П. |
С , |
|
В а л ь д е н - |
|||||||
б е р г |
Ю. С, Б а б у р и н В. М. Вычислительная |
|
техника в |
применении к |
||||||||||||
статистическим исследованиям и автоматике. М., |
Машгиз, |
1963, |
167 стр. |
|||||||||||||
49. |
С т е п а и о в В. |
В. |
Курс |
дифференциальных |
уравнений. М., Физ- |
|||||||||||
матгиз, |
1958, 468 стр. |
|
|
|
Кн. |
1, 2. |
под |
ред. Солодовникова |
В. В... |
|||||||
50. |
Техническая |
кибернетика. |
||||||||||||||
М., «Машиностроение», 1967, |
1447 стр. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
51. Т и х о н о в |
А. Н. О методах |
регуляризации |
задач |
оптимального у п |
||||||||||||
равления. «ДАН СССР», т. 162, № 4, 1965, стр. 763—765. |
|
|
|
|
||||||||||||
52. |
Т и х о н о в |
А. Н. О регуляризации |
некорректно поставленных задач.. |
|||||||||||||
«ДАН |
СССР», т. 153, № |
1, 1963, стр. 49—52. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
53. Т и х о и о в |
А. Н. О решении |
некорректно |
поставленных |
задач и ме |
||||||||||||
тоде регуляризации. «ДАН |
СССР», т. 151, № 3, |
1963, стр. 501—504. |
|
|||||||||||||
54. |
Х а р к е в и ч |
А. А. |
Борьба с |
помехами. |
|
М., |
«Наука», |
ГРФМЛ, М.,. |
||||||||
1965, 275 стр. |
|
Расчет |
систем прерывистого |
регулирования |
при на |
|||||||||||
55. Ц ы п к и н Я. 3. |
||||||||||||||||
личии стационарных случайных воздействий. «Автоматика и телемеханика»,.
1953, № 4, стр. 353—374. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
724 |
56. Ц ы п к и |
и Я. |
3. |
Теория |
импульсных |
систем. |
М., |
Физматгиз, |
1958,. |
||||
стр. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57. Э л ь с г о л ь ц |
Л. Э. Дифференциальные уравнения |
и |
вариационные- |
|||||||||
исчисления. М., «Наука», |
1969, |
424 стр. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
58. Я г л о м |
А. М. |
Введение |
в теории |
стационарных |
случайных |
функ |
||||||
ций. «Успехи |
математических |
наук». Изд. АН СССР, вып. 5, 1952. |
|
||||||||||
the |
59. A t h а п s М. A direct |
derivation of |
the |
Optimal |
Linear |
Fitters, |
using- |
||||||
maximal |
principle, |
Transactions on |
Automatic |
Control, |
N 6, |
1967,. |
|||||||
p.p.690—697.
60.В а с у R. S. Optimal Fittering for Correlated Noise. Journal of Ma thematical Analysis and Applications, v. 20, N 1, 1967, p.p. 1—8.
61. B l u m |
M. |
Generalization of |
the Class of Honradom inputs of the- |
|||
Zadeh — Ragazzini |
Prediction |
Model, |
Tras, IRE on Inf. Theory, June 1956_ |
|||
pp. 76—83. |
|
|
|
|
|
|
62. D o l p h |
C. L , W o o d b u r y |
M. A. On the Relation |
Between |
Green's- |
||
Functions and |
Covarianees of |
Certain |
Sthochastic Processes |
and its |
Applica- |
|