книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Расчет оптимальных систем автоматического управления при наличии помех

Г 2/ sin 2м0Д-'Є -1- 2/ sin 2co0Q — 2/ sin 2con (Л/ + 1 ) 6

4/

[

2 —2cos2co„0

Л?

-

г

2(fV + 1) -I-

cos 2o)„/VQ — cos 2(o0 (N -I- 1) 0

= - j

1 4-

л ?

Г sin 2w0A'9 4- sin 2u)„0 — sin 2ш„ (Л' 4-1)0 1

0 =

(Л j cos to„u9 4- Л? sin a0!iQ) sin w0n8 = —— X

X

sin 2ш0ЛгЭ +

sin 2(009 — sin 2wn (M + 1 ) 8

1 — cos 2con0

-

A0

>

(e

Л 0

—

2 'e »0 » 4- e-2/и.О" _ 2) = — x

4

4

X

sin 2w0A'9 4- sin 2ш„0 — sin 2ш„ (A' -1-1)9

1 — cos 2coo0

. e 2/o)o 0 (iV-г I)

j _ f-;/<a„f) (ЛЧ-1)

X

-2/ft)„0

•2 (A' +

1)

A

I

8І» Й^.УО-і

2u„0 - iiii 2ш„ (,V ^ 1)0

X

~

4

[

1 — cos 2coo0

X

— 2IM

e2/co00;V ^_ e -2/a)„0.V _ е2/ш0Є ( i V + 1 ) _ g - 2 / ( 0 0

(ЛГ+І) 0

2 _ е 2 /ио 0 _ е—2/а„Є

л і

Г sin 2m0ive 4- sin 2to09 — sin 2co0 {N + 1) 0

1 — cos 2coo0

- 2 ( A '4 ~ 1 )

cos гсорЛ'О — cos 2a)0 (N +

1) 0

1 — cos 2coo0

Решая

систему двух уравнений

и подставляя найденные

значения

Л\ И

А2

в k(uQ),

находим

оптимальную

импульсную переходную

функцию,

удов­

летворяющую поставленным

выше условиям.

г(/в) = 2с,л(/е),

(163)

где

1=0

i> i (/8)

=

ft(/9)ee'rasinu>f/e,

\

Р, (/0)

Ці (/0)

eatIB cos щів

(164)

=

.1

<7/(/8) =

(/Є)'.

(165)

V

at

V

Pt

(/0 — ив)

k (ив) =

2 a,

Pi

(їв — "9) к (ив).

(166)

i = 0

н = 0

1=0

и=—оо

Для

произвольных

значений

at и

независимых

функций

Рі(ів)

в

уравнении

(166)

должны

быть

равными

члены с

оди­

наковыми Clj, т. е.

2 Pt

(їв — ыв) k (ив) =

2

^

( /

е — н

0 ) *

« =

0, 1. 2

г.

(167)

Подставляя

в

выражение

(167)

вместо

Рі(ів)

ее

значение

из формулы

(164), получим

V

Q i

(їв —

ив) eai

( / 0 - " 0

) cos оо, (/0 — ив)Цив)

=

н = 0

=

V

9 l . (/0 — i/0)ea /( '0 "-"e ) cos(/0 — ив) к

(ив).

и=—со

После сокращения на е

а . / 9

оудем иметь

V

q t (їв — ив) <?~к<""0

cos со, (їв — ив) k (ав)

=

=

V

^

(/0 — ц0) е~^"9 cos со,- (/0 — К0) к

(ив)

11=—со

или

V

q

. (IQ — ив) e~at"0

[cos co,./0 cos co,-«0 -|- sin co,/0 sin co,//0] к (ив)

=

іі=0

=

со

<7,- (/9 — "б) e~a'

ft

[cos 00,-/0 cosco,.«0 -h sinco,/0sin CO,-M0] и (a0),

2

// =

CO

Приравнивая

в последнем

выражении

косинусы и синусы с

одинаковыми со*, имеем

V

qt

(їв — ив) e~ai"Q

cos w,-/0 cos со,- «0/г (нб) =

и=0

V

—а..нО

Ці (їв — ив) е~а'"° cos со,/0 cos со,- «0х («9);

и=—со

V

9 . (/0 — ив) e~ai"°sin

со,- /0 sin со,- ивк (ив) =

со

=

2

^ ( / е —

» 0 ) е ~ а '

sin

sin со, ивх (И0)

или

V q t (lQ — ив) е~аіив

cos

со,- ивк

(ив)

и=0

=

V. q

i (1% — ив) е~аі"и

cos 0,-авх (цв);

(168)

Н=—со

//

ив) <Га*"0 sin со,- ивк (ив)

V 9 ( . (/0 _

//=0

=

V

9 i (/ 6 — ue)e-a 'u 0 sinco,u0>t(«e).

(169)

и=—со

Подставляя

в выражения

(168) и (169) значение

qi(ie)

из

формулы (165), найдем

2J (а0/е~а і"е созсог и0/е(ив)=

J

(«6)v e~a '"° COSCO,H0X (н0);

(170)

ц=0

и=—со

2J (M0)v e~a '"e sinco,.a0/e(«0)=

2

(«e)v e~e 'e 8 costo,Mex(«e),

(171)

u=0

и=—со

^ = ^ - 2 2 )

2 ycvQlv-2yi

V й & .

i = 0 v=0

1=0 v=0

r\k(uQ).

После

этого

выполняем

операцию

_ ^ - |

0 = 0- В ре­

зультате находим

уравнение, которому

должна

удовлетворять

импульсная

переходная

функция

k(lQ).

N

(ив -

00) -!- Rn (ив

00)] k (ав)

со

(ив -

00)

x (00) 4-

V [Rm

-

=

V

Rm

o=0

a=—со

+

2

2

Т;("9 Ге_ а '"0 со5СО;«0-Ь

1=0

v=0

+

2

2

Tv (иву

e - a i"° sin oi,.w0,

0 <

и <

ЛГ.

(173)

1=0

v=0

Пользуясь теми

же рассуждениями, что и выше,

запишем

решение уравнения

(173):

k (ив) =

V

+

2

E i A i 8 ( " е ) +

2

D i A

J 6 ("0

—

i v e )

+

i = I

/=0

/ = 0

+ 2 2 л* ("8)ve ~a '"e c o s a i u Q + 2 Іі ("e)v

s i n и '"е +

,=0

v=0

i'=0

v = 0

- r - L(A)L*(A)M - >(A)M* - 1 (A)

2

(и0 — o0) x (o0),

< J = — C O

*

0 < « < J V .

(*174>

даточной

функцией

Wo(s), а

корректирующее

устройство

долж­

но быть дискретным с передаточной функцией

Wi,(z),

то

задачу

можно сформулировать

следующим

образом.

По

заданным

корреляционным

функциям

полезного сигнала

Ят(Ш)

и

помехи

Rn(lQ)

[спектральным

плотностям

Sm(z),

Sn(z)]

необходимо найти передаточную функцию корректирую­

щего

устройства

Wu(z)

так,

чтобы

система

в

целом

имела ми­

нимальное среднее значение квадрата ошибки.

Пусть

г-преобразованпе

непрерывной части системы

будет

ф ф

=

WK (z) W0 (г)

= w

( г ) w

ф

j

5

4

'

1 -f- \VK (г) WB

(г)

a w

o w .

v

/

где

е (/0) == h (/0) — х (/0) =

V

т (/6 — «0) х (ив) —

— 2

fe*(u0)V

[m(/0 —к0 —\'в)-'г-и(/0 —ив—v6)]&(v0),

(176)

ц =0

v=0

где

6(v0)—импульсная

переходная

функция,

соответствующая

передаточной

функции

W0(z).

перепишем

выражение

(176) в

После

возведения

в

квадрат

форме

СО

со

є2 (/0) =

V

к

(ив)

У т(1в — ив)т(1в

— \в)х(х-в)

+

+ 2 / г * И ) 2 ь И ) 2 /г* (v0) 2 l m ( / 0 —

" е — °& ) +

н=0

о=0

v=0

11=0

+

п(1в

—ив

— ав)}

[т(1в — v0 — т)0) - 1 - /г(10 — v0 — г)0)] b (Ї)0)

—

Предположим,

что

Rm (v9)

= c - e 1 v

0 1

;

Rn (*Є) = С* б (vO);

x(v0)

=

6(vO);

b (чЄ) =

e _ P v 9 .

Прежде

всего

по формулам

(179)

и

(180)

найдем

ОО

СО

Я

(Єн)

=

У

є " 1 1 0 0

2 [е~"Є

( " " и - т

" + С2 6 (в +

о -

л) 0] е-Р°'1

=

о = 0

11=0

у

е - а 0 I v I е

- р 0 (u+o-v) _|_ C 2 e

- P 0

("+a>

О=0

v=u+a

0

; v

- Р 0 о е - Р 0

(«+<*)

— C O

е

у

g-0

(a-P) v _|_

V

e 0

(a +P)

v _|_ C 2

о=0

V=H+.<J

v=—

1

0

_

V

„ - Р0 (и+2сг)

— C O

C2 4.

у

e - 0

(a-P> v

4- v=—1e

о=0

2

°

_po

(H+2a)

1 __

e

- 0

(a-P) C ' + o + I )

4

• 0

(a+P)

4- C2

1 _

g-0

(a-P)

1 — e'-0

(a+P)

0=0

[1 _

e - 2 « B +

C2

(1 _

g-0

(a+P)

_

g-9

(a-P) +

e - 2 a 0 ) ] g-PO"

(1 _

e - 0

(a+P)

_

g-Є (a-P) +

e - 2 a 0 ) (,

_

g-2p0)

е - 0

(a-P)

^

_

g-2P6)

g-a0H

и >

0

' (1 _

e - ( « + P ) 0) (1 _

g-0

(«-P)) (1

__ e - 2 P 0 )

'

и поэтому

._

2sha9 4 - 2 C - - ( c h a B - c h P 9 )

p e

, „ ,

H

m

" ( 2 c h a 0 - 2 c h p O ) ( l - e - 2 P 0 )

2sh PO e - a 0 1 " '

'2(cha0 —chp0)(l -

e - 2 P ° ) '

- к

І Н 0 + С 0 I

—

P0o

,-алв

, - P

(ti - K)

0

_

o=0

r\=u

_ „ P 0 «

Х Л

„ - 0 (a+p)

n _

1

-рви „ - 0 (a+P)

и

-ави

и >

0.

1 _ й - 9 ( а + Р )

j _ e - e ( a + P ) '

T1=U

Перейдем к определению спектральной плотности, соответствующей кор­

реляционной

функции R(Qu):

2 sh к9 4- 2С2

(ch a8 — ch (59)

2 sh p9z

( Z )

_

_

2 (ch a9 — ch (59) (l —

e ~ 2 p e )

' z°-2 ch p9z -f-

1

+

2 sh P9

2 sh a9z

' 2 ( c h a 0 - c h p 9 ) ( l - e - 2 P 0 ) ' г = - 2 c h a 9 z 4 - l

~ l

~ 2

C

( d l a 0

~

- I -

DBX

е-Цвіі

— (аЄ+ilOl

= Ge~aeu .

1 _ е~ (а9+т|0)

Отсюда имеем

1 - е - (Ре-пв)

j _

е

-

(Р9-лВ)

^

ЛВхе-1 1 0 " є " (Р8+І9>

О В І Є - 1

1 9 "

,

О В і Є

- а в « е -(аО-г,Є)

1 _

е - <РЄ-ИіЄ)

1 _

е - (аЄ-л8)

j _

е -

(аЄ-118)

1 _ е

- <а9+цЄ)

Покажем, что член вида

АВу

ABie~№+W

DBj.

D B

-laB+vd)

1 _

g-

(Р9-лв) + •1 - е -

<P0 +T 10 )

1 — e

-

(<гв-Лв)

] _ c

- (ай-гіЮ)

или

і _

„-2p8

-лв,—

(1 _ е- (РЄ-Я0)) (J _

е~ (Р0+Т10))

1 _ в - 2 « в

(l _ е

- (а0-л0)) (j _

е

-

(аЄ+пЄ))

DBl

равен нулю.

Для равенства нулю последнего соотношения

достаточно

установить,

что числитель равен нулю, т. е.

(1 _

g-2p6) ( 1 _

g -

<ссв-пЄ)) (! _

е

-

<аЄ-НЄ)) Л _

(l _ е"2 "9 )

X

[ х

(і _

е

- (Рв-чО>) (1 _

е-

<("»+*») D =

(1 -

е-2 *5 9 ) (1 -

е~ іа9~™)

X

X (1 _

е - <<*Є+тіЄ)) [2

s h

a9 +

2C* (ch «9 — ch 09)] -

(l — e~ 2 a 9 )

X

x (i _

e - <P^ 9 >) (1 _

e-

2 sh P0 =

-

e~

9

2

s h ^

S h

^

X

X [2 sh a0 + 2C* (ch a9 — ch p0)] — e~ < a

+ p )

9

J^2 ch p9 —

— 2 ch a9

X

X 2 s h a9sh P0-2 = O.

Учитывая последнее выражение, получим два алгебраических

уравнения

для определения неизвестных

В) и Ев:

АВіЄ~

(Ев-1 !9 '

A E " ~ j _ в - ( Р в - ц в ) =

0

;

— £>£„ +

О В , е -

<а 9 -чЄ>

= G.

1

Из первого уравнения находим неизвестное значение

_

ВіЄ-

' Р 6 - ^ 6 '

Е °

~~' і _

е -

(РЄ-лЄ)

н подставляем его во второе уравнение. В результате получим

DB±e~

( Р 9 - 1 ! 0 '

DB,e~

( а 9 - 1 і Є )

1 _ е -

(РЄ-Ц9)

і _

е -

(а9-іів)

~~

И

/

е

-

(К9-Т10) _

е -

(Р0-110)

\

D B l

{

(1 _

е

-

(Р9-Л8)) (J _

в -

J =

°

ИЛИ

G (1 _

-

(РЄ-т|9))

(! _

g - (аЄ-т|6))

е

1 _

о

( е

-

(ав-тів> _

е ~

(РЄ-цЄ))

I I

G

e

-

(РЄ-т)Є)

_ е~ (аЄ-т)Є))

Е

° ~ D [е~ (а Є ~'Пе )

— ё~ (Р 0 - 1 ! 9 )]

'

поэтому передаточная

функция

Btz

G(\ — C~ («в—тів)\

"''3 (

Z ) =

2 " Г ^ Є -

+

£

» = д ( . - ( а 9 - л Є ) _ е

- ( Р 9 - л Є ) )

U (і

-

е~^~^)

+

+ ( г _

в - в в ) в - ( Р в - ч в ) ]

1

г - е - * » '

G (1 _ е -

(*9 -ч9 >)

(г

-

е-РВ)

(1 _

е " 9

е

- п Є ) ( г _ е

- Р 9 )

_

£ , ( е - ( а 9 - т і 9 ) _ е - ( Р 9 - 1 1 9 ) ) ( 2 _ е - ^ -

г

_ е - і Є

Полная передаточная

функция на

основании

формулы

(175)

равна

( і _ е " 9

е - л Є ) ( г _ _ е - р 9 )

г

Ф (г) = W3

(2)

W0 (г) =

•

-ц9

_ е - Р 9

г

(1 _ е

« 9 е -^В)

г _ е - т 1 Э

Передаточная

функция

корректирующего

устройства

определяется

по

формуле

(175).