Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Расчет оптимальных систем автоматического управления при наличии помех

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2517 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

k (т) = X \ Л,т' -I- Vj B,eY + L (p) L * (p) M - 1 (p) X

	1=0		i = l
					r
	X M*-> (p)\|tf,„ (T) + fl„			(T)	j '	/г2 (т) dx),		0 <	г <	7\ (326)
					о
.где л; — корни уравнения M (Х)М*(Л)						=0.
В	данном случае		k(x)	не содержит членов с					5-функцнямн,
поскольку ядро		интегрального			уравнения		содержит			6-функцпи,
а в спектральной плотности				l=k.				Ai	и В,-, входя
Определение		неизвестных			коэффициентов
щих	в импульсную		переходную функцию				k(i),		производится

•следующим образом. Подставляя /г(х), имеющее вид (326), в интегральное уравнение (324) и рассматривая полученное выра


жение как тождество,			получим		2 k уравнения		для определения
.4j и	В,.	Подставляя	k(x)	в	ограничивающие		условия (317),
получим еще г + 1 уравнение				для определения тех же неизвест
ных.	Решая систему		2 f e + r + l		уравнений,	определим		неизвест
ные	АІ и	В{. Подстановкой		найденных		значении в		формулу

(326) заканчивается процесс вычисления оптимальной импульс ной переходной функции k{%).

Методика синтеза корректирующих устройств систем со слу

чайными параметрами ничем не отличается от методики

синтеза

корректирующих

устройств

систем

с постоянными

параметрами.

Если

регулярная составляющая

полезного

сигнала

g ( 0 = 0 ,

то задачу

синтеза .можно

решить

для

оператора

Н(р)

общего

вида.

В самом деле ошибку воспроизведения системы можно пред

ставить в виде

со

г(і)

j m(t — x ) x ( x ) d x — m ( t

— T)~rn(t

— т) - f

—со

— u(t — т) + — ux(t—т)|

k{x)dx.

(327)

На основании уравнения (327) среднее значение квадрата

ошибки запишем следующим образом:

со

оо

г%

x(x)dx

j Rm(x-Q)x(Q)dQ+

f k (x) dx f

(т -

7—co

—со

- f Rn

(x -

+ - L . RUi (x -

0)] k (0) d0 -f-

(x) dx j* Ru (x -

0)X

X £(0)d0 — 2 j'/e(x)dx |" Rn(x — Є)и(6)оВ.

0 —CO

Если, по-прежнему, Ra(x) =С28(х),					то
	со		со			со		со
ес 2 к	= j	х (х) dx j Я я (х -		9) х (9) d9 +		f /г (х) dx f			(х - 8)		+
	—со		—со			О		0
						со	"	со
				RVc (0) 4-		CO
			X x (9) d8 +	RVc (0) 4-		^ ft2	(x) dx.				(328)
Подставляя в выражение (328) значение								RV(,	(0)	из	фор
мулы	(323)		при /?г8 =0, получим		искомое		значение		дисперсии в
форме
	со		со			со		ОО
sjK	=- j	х (х) dx j ' Rm (x -		9) x (9) dQ +		j" /г (x) dx f Г/?и (x -				8)	+
	— C O		CO			0		0
						CO		CO
+ Rn(x-Q)		+	^-RUi(x-Q)jk(Q)dQ-2^k(x)dx					j ' Я , „ ( х - Є ) Х
						0		——o

Xx(9)d 9 + - ^ - j > ( x ) d x Я т ( 0 ) +

ЯД0) + j f t ( x ) d x X b

			CO
X \ [Rm (x -Q)+Ra	(x -9) +	~	Ru, (x - 9) j ft (9) dQ - 2 f [Rm (x)+
b
			CO
+	tf„(x)]ft(x)dx	:	l _ - 2 L j ' f e ( x ) d x
			b

Решая вариационную задачу, получим необходимые и доста точные условия, обеспечивающие минимум среднего значения квадрата ошибки в форме интегрального уравнения

со				4" Я". (		~) + Р і				-)} X
j { * (х - 9) + R	a	(х -	9) +	4" Я". (	т	~) + Р і	6	(	т	-)} X
m	a				т	0	6		т		6
о
		оо				со
X ft (9) d9 =		j # m	(x -	0) x (0) d0 +		- g - „ (x) j ft2	(x) dx,				(329)

6 Зек. 1249	161

где

			1 - —	f	кЦт)	dx
			Л'	п
				О
Если корреляционной функции
	(т) = Rm (х) + Rn		(х) + ^-R„l			(т) + РТ	б (т)
соответствует дробно-рациональная спектральная								плотность
вида	(24), то можно	показать, что решение интегрального							урав
нения	(329) имеет вид
	к
	k (х) = V	S / , T	+ L (р) L *		(р) М~1 М*~1		(р) X
	X j \ R m (т -	В) х (8) dQ + - g - Rn				(т) j" ft2	(т) drj ,		(330)
где A, — корни уравнения М(Х) =0.
Неизвестные коэффициенты ВІ, входящие в							формулу		(330),
определяются следующим образом.
Подставляя импульсную переходную функцию (330) в инте
гральное уравнение		(329),	получим		в общем случае к			нелиней

ных уравнений относительно коэффициентов Bj. Решение си стемы к уравнений дает значения коэффициентов В,-.

При решении системы нелинейных уравнений возможно не сколько значений для каждого из коэффициентов Во Подходя щими являются такие, которые удовлетворяют условиям устой чивости дисперсии ошибки. Этим условием является

I - - ^ f * 2 ( T ) d T > 0 .

А- •„

Обычно только один набор коэффициентов В,- дает устой чивое решение, остальные условию устойчивости не удовле творяют.

Г л а в а 6

ОПТИМАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ С УЧЕТОМ ДОПУСКОВ НА КОНСТРУКТИВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ЭЛЕМЕНТОВ

Повышение требований к качеству и динамической точности, как отмечалось выше, приводит к необходимости при проектировании систем автоматического регулирования учиты вать изменения внутренних параметров системы в условиях эксплуатации. Один вид таких изменений — быстрые измене ния— был рассмотрен в предыдущей главе.

Параметры системы могут претерпевать и достаточно мед ленные отклонения от номинальных значений в процессе старе ния. Кроме того, они имеют определенное поле допуска.

Очевидно, что всякие случайные отклонения параметров от номинального значения приводят к увеличению ошибок системы 126, 721.

В настоящей главе показано, каким образом можно найти оптимальные характеристики систем автоматического регулиро

вания с учетом	медленных	случайных отклонений параметров
от номинального	значения,	заданных допусками.

Сначала задача решается для случая, когда структура и случайные изменения параметров системы заданы. Затем ре зультаты распространяются на проектирование систем с не

заданной структурой, оптимальные динамические	характери
стики которых определяются с учетом отклонения	параметров
от номинального значения.

1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМЫ

СЗ А Д А Н Н О Й СТРУКТУРОЙ

Предположим, что на вход системы с передаточной функцией <£(s) поступает полезный сигнал m(t) с корреляцион ной функцией /? т (т) и помеха п(t) с корреляционной функцией У?„(т), а также заданы функции распределения плотности ве роятности W(a.i, a't) для неидеальных элементов системы, где а\ —среднее значение параметра аг-. Тогда задача может быть сформулирована следующим образом.

По заданным передаточной функции системы			O(s), коррет
ляционным	функциям Rm{x) и Rn(x),	функциям	распределения
плотности	вероятности И? (а,-, а[)	найти такие	оптимальные

6* 163

средние значения параметров системы а]0 , чтобы обеспечи

вался минимум дисперсии ошибки на выходе системы.

Этапы решения поставленной задачи могут быть сформули рованы следующим образом.

1. По передаточной функции Ф(о"), записанной через значе ния номинальных параметров элементов системы, определяем среднее значение квадрата ошибки системы только от входных сигналов

						со
	• &	К		а„) =	-±-	j " \| Фе	(/со)\|2 Sm	(со) dco	+
		А	-	~ \	\|0(/co)r-5„(o))dco,				(331)
				—со
где Фе	(y'w) —передаточная				функция ошибки.			и функциям рас
2.	По найденной		дисперсии			ошибки	(331)	и функциям рас
пределения		№(«,-, а',-)		в предположении, что допуски					на отдель

ные параметры являются статистически независимыми и со вместная плотность вероятности может быть записана как произведение отдельных плотностей вероятности, находим дис

персию

ошибки

как

функцию характеристик

входного

сигнала

и параметров элементов:

<п(а[,

, .

. , < ) = ] • .

• • j ' е ^ К ,

. . . ,

а „ ) Х

скп

—со

—СО

X П W(at;

а!) da,-.

(332)

Из

последней

зависимости

видно,

что

для

определения

гсКп ( a

i '

° 0

нужно знать не только

статистические

характе

ристики полезного сигнала и помехи, ио и статистические

харак

теристики параметров.

3. Решаем

задачу отыскания

минимума величины &2

с к п (<%[,...,

а,'п)

(332). С

этой

целью находим производные &

по

пара

метрам

а[,

а'2,... ,

<х'п, которые

затем

приравниваем

нулю.

В результате решения полученной таким образом системы урав

нений определяем	средние	значения параметров системы	а'10 ,
с^0 ,..., а'п0, обеспечивающие минимальное значение полной			дис
персии ошибки е2скп	(332).

Рассмотрим систему, изображенную на рис. 1, в состав которой входят сервомотор с передаточной функцией Wa(s) и корректирующий контур с передаточной функцией WK (s), причем

WK (s) = ——	,
T a s + 1
где параметры K\, Ті, Т2 являются заданными, а Кг выбираем так, чтобы
обеспечивался минимум среднего значения квадрата ошибки.
На систему воздействуют:
полезный сигнал m(t), представляющий	собой последовательность сту

пенчатых воздействий случайной амплитуды, случайно распределенных по вре

мени; производная от этого сигнала

есть

белый

шум со спектральной

плот

ностью S,;t (w)=So;

помеха n(t),

некоррелированная

с полезным

сигналом, — белый

шум со

спектральной плотностью S,, (co) = Wjj-

Для удобства

исследования

обозначим:

а =

КіКі

(Гх + Гв);

А = T

l T "

;

I T "

( Г і + Т „ ) 2 ' .

N°

,9.

Ti +

' (T1 +

T2y-

Л ° - Ь °

•

Среднее значение

квадрата

ошибки

на

выходе

системы

1 + о с ( 1 - Л ) + 1 а 2

Е ^ - Д °

а ( 1 - А * )

или относительная дисперсия ошибки

—

е ск

еа =

—

где

Ао

1 + а ( 1 —A) + La.2

(333)

е2 = — — —

—

а ( 1 — Аа)

В этом выражении все параметры являются постоянными, кроме а, ко

торое зависит от искомого Кг- На

рис. 24

приведена

зависимость

е2

от

при А =0,25.

Произведем минимизацию

выражения

(333) по а

и найдем оптимальное

значение а0 , обеспечивающее минимум выражения

(333):

а 0	А 4- У A -f-L '

по которому можно найти оптимальное значение Кг для системы, построен ной из идеальных элементов:

к - а°

*Кг (Тг + Т.) -

Найденному а 0 соответствует минимальное среднее значение квадрата ошибки

Рассмотрим теперь случай, когда параметр а, вследствие меидеалыюсти элементов, представляет собой случайную величину со средним значением а' и с функцией распределения

	— п р и а' — Р < а < а' + Р;
W ( а , а ' )	2р
W ( а , а ' )
	О	вне этого интервала.

Рис.

24.

Зависимость

е 2 от

Тогда

соответствии

выражением

(332)

полная

дисперсия

ошибки

со

а'+р

е 2 (а') =

j е2

(а) № (а,

а') da

+ а(1 —А) -г La-

_1_

da =

а ( 1 — Ла)

J 2р

1 - М

1 -

А (а' — Р)

а' +

2LP

(334)

2Р

Л2

" І - і ( а Ч Р )

а ' — Р ~~ Л

Найдем

теперь новое

оптимальное

значение

а0 ,

мри котором

е2 (а'),

определяемое

выражением

(334), будет

иметь минимум,

т.

е.

Де2

(а')

L + А

да'

[Аа' — {1 -МР)1 \Агг.' — П —-4В)|

a' 2

— R 2

Уравнение для определения а'0

имеет вид

L + А

= О

[Ла'0-(\+А$)\

[ Л а 0 - ( 1 - Л Р )

c ^ - f i

(А

• L) а.'

— 2А<х' + 1 — ( Л

— А — L) р

= О,

откуда

, __ /А

+ L + [Л (1 — А) + L]2152 — Л

Теперь, зная параметры неизменной части

системы и

воздействия,

най

дем для каждого

значения

(3 новое

оптимальное

значение

неидеального

пара-

'О

0,1

0,4

0,6

.0,8

, 7

1,1

\В СС'0

Рис. 25.

Оптимальные

значения

параметров

метра

ао' по

формуле

(335)

соответствующее

ему

значение

полной

ди

сперсии ошибки по формуле

(334).

Т{ =

На

рис.

показаны

результаты,

полученные для случая,

когда

= ТИЛ =0,25).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

ОПТИМАЛЬНЫХ

ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ

С УЧЕТОМ СЛУЧАЙНЫХ ВХОДНЫХ СИГНАЛОВ И ДОПУСКОВ НА ПАРАМЕТРЫ

Предположим, что на вход следящей системы посту пает полезный сигнал m(t) с корреляционной функцией Rmix) и помеха л (г) с корреляционной функцией і? п (т) . Известно, что элементы, из которых будет реализовываться система, имеют определенные допуски на характеризующие их параметры.

Известен также оператор воспроизведения Н(р). Характер изменения параметров корректирующего устройства опреде ляется функциями распределения ^ ( а ; , а'*).

Требуется найти средние значения параметров системы так, чтобы обеспечивался минимум полной дисперсии ошибки, зави

сящей от входного сигнала и случайного	изменения парамет
ров корректирующего устройства.
Решение задачи состоит из следующих	этапов.

1. Определяем оптимальную импульсную переходную функ цию, обеспечивающую минимум дисперсии ошибки без учета случайного изменения параметров по методике, изложенной

вгл. 1.

2.Определяем передаточную функцию с номинальными зна чениями параметров, соответствующую импульсной переходной функции по формуле

		со
		ф (S) = j- k (0 e~st		dt.
		о
3. Находим передаточную функцию корректирующего уст
ройства (см. рис. 1) по формуле
		W (s) =	ф ( 5 )
4.	Проводим реализацию передаточной функции корректи
рующего устройства идеальными			элементами.
5.	Записываем	передаточную	функцию всей системы Ф($)
в зависимости от		параметров-	корректирующего			устройства.
6.	Ищем зависимость дисперсии ошибки только от входного
•сигнала и передаточной функции <J>(s), найденной						в предыду
щем	пункте. В результате определяются			е2ск ( а ь	а„) .
7.	По дисперсии	ошибки и заданным функциям				распределе

ния находим полную дисперсию ошибки, зависящую от вход ного сигнала и изменения параметров, пользуясь формулой (332).

8. Решаем	задачу по отысканию минимума Дисперсии ошибки
в соответствии	с пунктом 3 предыдущего параграфа.
В этой методике предполагается, что параметры неизменяе

мой части системы являются идеальными. В случае же, если рассматривается система с произвольной структурой, то выби раются параметры всей системы и они все изменяются по слу чайному закону; тогда методика определения оптимальных параметров следующая: •

1)определяем импульсную переходную функцию k(t) н пе редаточную функцию Ф(«);

2)проводим реализацию передаточной функции cD(s) идеальными элементами;

3)находим зависимость дисперсии ошибки е~ск ( щ , а „ ) только от входного сигнала и передаточной функции, опреде ленной во втором пункте;

4) определяем полную дисперсию ошибки г1кп. (aj,..., a',-).'

5) находим средние значения параметров, обеспечивающие минимум дисперсии ошибки.

Пусть Rm (т) = WSfi-P 1 т 1		; Rn (т)	=	С*б (•:);	х (т)	- б (т).
Для данного	случая
	\ (») =		—	^		—
и поэтому
		k (і) = Вг e % l i ,					(336)
где
	1	=		с	•
Подставляя импульсную переходную функцию (336) в интегральное
уравнение (37),	имеем
со			l e » . . e d 9 =		J Д / 2 Є - Р \| Т - Є \| g(0)d e
• J [ Л Г 2 е - Р \| т - Є \| + С 2 д ( т _ 0 ) ] 5			l e » . . e d 9 =		J Д / 2 Є - Р \| Т - Є \| g(0)d e
О
ИЛИ
С В ^ т +		_ _ ф _ +				=	# 2 е - р т ,
Отсюда находим неизвестное
	#1 =			Q		.	(337)
Подставляя	найденное значение		і?і в формулу			(336),	получим

Передаточная функция, соответствующая			формуле	(338),	имеет вид
		С Р
	ф ( в , =	/ P P » + 2 f W		•
			s + 1
Обозначим
Т	УС*№	+ 2$№	(р _\|- 29 ) ;		( 3 3 9 )

^ = 1 - 7 ^ p # w = 1 ~ l / e t v

( 3 4 0 )

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2517 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ