книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Расчет оптимальных систем автоматического управления при наличии помех

то импульсная

переходная

функция на основании

формулы

(29)

имеет

вид

к (х) =

Л0 +

Aiz + Л3 т- +

£об (т) +

D0 6 (х -

Т).

После

подстановки

fe(x)

в

формулу

(40)

получим

три

уравнения

для

определения

неизвестных Л о, Ль Л2 , Еа

и Д>:

Аг,

Лх

2Ао

а

а 2

a J

Л 0

АХТ

,

Л,

,

А а Т 2

,

2Л2 Г

,

2А„

D o

=

0;

а

а

а-

а

+

а 2

2Л0

4Л,

2Л,

50 = —а

+ •

а 3

а

Далее из уравнения

(41)

следует, что

So =

( -

1)° [Роо ( -

1)° +

Рю ( - ! ) '

+

Р 2 0

( -

О3 !

j'

6(x)dx

—[x0

—CO

CO

тб (T) dx — ці

Si

= ( -

І) 1

ІРої ( -

1)° +

Рп

( -

I ) 1

+

Раї ( -

І)2 ] і J

—CO

со

So

=

( -

I ) 2

[p0 2 ( -

1)0

+

p1 8

( -

l)i

+

p M

( _

l)2 ]

j

x26

(x) dx — |.i2

S 0

=

Poo (1 —Ho).

Ho =

1 ;

Si =

Pu(—

m)

fi! =

0;

S 2

=

P2 2(—Иг),

8Ла

Иг'= — '

Кроме того,

u0

=

1 =

j' [A0 +

Л ^ + Л 2 т 2

+ £ 0 б (т) +

D0 6

(x -

T)}

dx;

jix

=

0 =

f x [Л0 + Лх х +

Л3 т2 +

£ 0 б (х) +

D06

(х -

Т)] dx;

о

8А->

Г

Из =

~

=

f та [А0

+

Лх х +

Л2 х2 +

£ 0 б (т) +

D„6 (х -

Г)1 dx.

Таким образом, получим пять уравнений для

определения

неизвестных

Ла, Л ь

Л2 , £ 0

и D0 :

Лі

2Л2

. 4

A T

Л ,

Л 2 Т 2

2Л2

_.о

• £0 = 0;

4-

4-

4-

a

4-

4-

a ^

a ^ a 2

т

^ a' ^

2Л2 Г

+

— Г " - D o =

0;

+

+ ——

+ Е0 + Ц, =

1;

Л 0 Г 2

А{Г*

Л2

Г*

+

Z V =

0;

А0Т* , Л І Г *

Л Г Т 5

8Лг

о

+ ——+

- 7 — +

0 . 7 - » + — f = 0.

4

5

от2

т

«>

М (р) М* (р) j G(x — Q)k (0) dQ =

j ' Rm

(T - в) x (0) dQ + R*a (т)

+

О

—со

-г- V V

yv &v

lT\

V=0 |x=l

Неоднородное дифференциальное

уравнение порядка

2k

имеет решение

f G ( t - 0 )

fe(9)d9=2

2

4^

+ 2

5 ' e

V

+

О

\-=0ц=1

1 = 1

f

/ ? я ( т - в ) х ( в ) ( Ю +

/?;(т)

0 <

г <

Г,

(52)

где

— корни характеристического уравнения

М(\)М*{Х)=*

0.

Применяя

к

обеим частям выражения (52) оператор

L(p)L*(p),

на основании формулы

(26) получим

k (*)•=

S

2 «

(х) +

І

В / ' т

+ І

£ / 6 ( / )

(г)

+

v=0n=l

i = l

/ = о

+

Ds№

(x-T)

+

L<p)L*(p)М-1

(p)

X

X

й-

1

(P)

JRm(x-Q)K(Q)dQ

+ Rl(T)],

0 < т < Г .

(53)

M * "

-oo

J

Неизвестные постоянные І4^, 5,, Ej и £)j определяются по

следующей схеме.

k(t)

Подставляя

импульсную

переходную

функцию

из

вы­

ражения

(53)

в

интегральное уравнение (51), находим 21 ли­

нейных

алгебраических уравнений. Еще

(п+\)г

линейных

алге­

Решением

системы 2 1+г(п+1)

алгебраических уравнений и

подстановкой

найденных значений

Л*, Bit Ej и Dj в формулу

переходной функции.

Из общего решения, уравнения (53)

здесь могут быть полу­

чены те же частные случаи, что и в § 4.

2 Зак. 1249

33

формулы

(30) —(33)].

2. Предполагая, что u(t)—0,

получим систему

с одним

вхо­

дом, эквивалентные

воздействия которой имеют вид

P(t)

= H(p)[g(t)

+

m(t)};

Q (0 =

g (0 + m(t)

+ п (t) -Н{р)

[g(t)

+ m (t)].

Квадрат среднего значения ошибки может быть представлен

соотношением

<&= |

f #M(T-e)x(0)de-2p(T)dT J

Rm(x-B)X

X «(0)d0 +

j k (T) dx J [tfm

(T -

0)

+

# „ (T -

0)] k (0) dQ.

Интегральное

уравнение

и его решение принимают вид

+

j [Rm

(т -

0) +

Я „ (т -

6)] /г (0) d0 =

J Rm

(т -

0) х (0) d0

Т

оо

0

—со

(54)

v = 0

ц=1

w = Е Ел

2ft

/ г

^ w + Е5 'е ' + Е £ / 6

w +

v = 0 ц = |

Г) +

i = 1

j—0

(р)

X

/=о

D,.6(" (т -

L (р) L* (р) М - 1

Х М *

'(р)

J

tfm(t-0)x(0)d0

0 < т < 7 \

Предположим, что

S (t)

= cos оУ;

Н (р) =

tf0;

m (/) = 0;

S„ (со) =

2а

„ .

coJ +

а-

В этом

случае

k=0;

1=1;

q=0;

М{р)М*

(р)=2 а;

L(p) L* ( Р

) = а 2 - р 2 ;

Р it—

т) =

cos (u0t cos со0т +

sin co0<-sin со0т;

я + 1

= 1;

r =

2.

Ha основании выражения (53)

можно записать, что

k (т) = А\ COS СО0Т +

Ай2

sin со0т + £„6 (т) -f.D0 6 (т — Т),

0 <

т < Т.

y{t)

= g{t) +

m{t),

где

g(t)

— заданная функция времени;

m(t)

и n(t)

— стационарные случайные

функции

с нулевыми

средними

значениями

и с

заданными корреля­

ционными

функциями

Rm(x)

и Rn(т)

[спектраль­

ными ПЛОТНОСТЯМИ STO(to)

и S n (©)] .

На второй вход системы поступает сигнал

u(t).

Функция g(t) имеет вид

g-(0 = V af,®,

(55)

(=0

где

' Л-(0 = ? ( ( 0 ^ с о з с о , . ^

формулы (42).

Если

потребовать

равенства

нулю

среднего

значения ошиб­

ки воспроизведения

(43), то приходим к выражению

оо

Т

—

J

g(t — т)х(т)Аг =

$g{t

x)k(x)dx,

— О О

0

которое

с учетом

формулы

(55) можно переписать в виде

2

a^P^t

— x)k(x)dx

=

V а(

J

Р,(t — х)%(т)dx.

(57)

i=0

0

і=0

—оо

Если

в

выражении

(57) щ — произвольные

коэффициенты,

a Pi(t) —независимые

функции, то должны быть равными

чле­

ны с одинаковыми аг-, т. е.

JPt

(t — x)k (т) dx =

j

Pt

{t — x)% (т) dx,

(58)

О

—оа

i = 0,

1, 2

г.

С учетом выражения

(56) уравнение

(58) можно переписать

в виде

[ qt

(t — т) eai ( ' -

т ) cos со,. (t — x)k (т) dx

=

b

оо

qi(t

— т)еаі

( i ~ r ) cosal(t

— x)K(x)

dx.

=

f

—CO

После сокращения на

еа«

имеем

г

^

|" Ш (t — т

) е а'%

c o

s и і (t — t)k (х) dx =

о

со

cos со,- (^ — т) я (т) dx.

(59)

= j cjі (t — х) в~аіх

—со

Выражение (59) можно

свести

к виду

J Яі

—% ) е a / T

l c o s ю ^ c o s < в г т " г sin co^ sin согх] A (x) dx =

0

—

CO

q1; (^ — T) e _ a t T (cos co^ cos co/t-f sin cousin со/х) x (x) dx.

f

CO

Из последнего соотношения, путем приравнивания членов при

синусах

и косинусах

с различными а,-, имеем

\qi(t-—x)e

а^coscottcosa>ixk(х)dx—

о

оо

х)е _ а 'т со5 0)^со8(0г гх(х)йх;

== j qt(t—

—со

Т

_

со

_

(60)

\qi(t — х)е a «T cosco,xA(T) dx =

j

— х)е a ' T cos со,ти (х) dx;

ЇВ

—оо

Г

оо

_

f<7/(/ — х)е a'tsincoiTfe(T)dT =

f

ql{t

— x)e

a «'T sinco,xx(x)dx,

(61)

0

—-CO

1 = 0, 1,

2,

3, .

.

. ,

r.

Если

теперь

в

выражения

(60)

и

(61)

подставить

вместо

функции

qi(t)

ее значение из формулы (56), получим

Г

оо

fxv e~a 'T cosco,TA(T)dT=

j xV~a 'T cosctvtK(T)dx;

(62)

О

—со

Т

со

J'xv e atzsin<uixk(x)dx

=

J Tv e_ a iT sincoi xx(x)dT;

(63)

0

—со

v = 0,

1,

2, 3, . . . , і;

і=0,

1,

2, . . . , г.

Из выражений

(62) и (63), полагая, что правые части пред­

ставляют

собой

постоянные

заданные

значения,

получим

т

j1 T V e~aix

cos со; т/г (т) dx = Qv J

b

.

(64)

T

j' xv e_ t x 'T

sin со,- т/г (т) dx = Qv .

о

Если

уравнение

(57)

удовлетворяется

тождественно,

то,

ошибку

воспроизведения

можно записать в

виде выражения

(17),

а

среднее

значение

квадрата

ошибки

в форме выраже­

ния

(18).

Далее задача состоит в том, чтобы найти импульсную пере­

ходную

функцию

k(t),

обращающую

в минимум величину

г2ск

• / = « 4 - 2 2

v

Y ; Q t - 2 S І vvQi-

i =0

v=0

j = 0 v = 0

f [Rm (т — 6) - f

Rn

(т - 0) + R'u (т -

0)]

k (0) dQ =

b

= Ru (T) + f Rm

(x - 0) x (9) dQ +

2

v; *v e~a'T

X

- co

i=0

v=0

XCOSCU( -T +

2 2J YvTv e ~ ^ T s i n c o ,T.

(65)

М (р) М* (р) f G (т - 0) k (0) dQ =

j

Rm

(т - 0) x (0) dQ + Ru (x) +

'O

- co

+ 23 2

Y ; T v e _ a ' T cosco ,T +

2

2 Y^v e~a 'T sinco,T,

1=0 v=0

•

1=0

v=0

0 <

T <

7\

(66)