Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Расчет оптимальных систем автоматического управления при наличии помех

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2519 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Г л а в а 7

МИНИМИЗАЦИЯ СЛОЖНОСТИ И РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ЗАДАЧ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ 1

Современное состояние теории управления характери зуется, с одной стороны, все усложняющимися требованиями, которые предъявляются к методам расчета САУ. Сейчас уже недостаточно, чтобы эти методы обеспечивали лишь устойчи вость, динамическое качество п точность.

Ввиду того что системы управления делаются все более сложными, желательно, чтобы методы проектирования давали бы пути рационального подхода к созданию таких систем, кото рые, удовлетворяя обычным требованиям к их динамическим свойствам, в то же время были бы минимально сложными, как можно более надежными и дешевыми.

Таким образом, необходимы методы оптимизации, опреде ляющие наивыгоднейший компромисс не только между качест вом и динамической точностью в присутствии помех, но и между динамическим качеством и сложностью, надежностью и т. д., т. е. необходимо учитывать вопросы сложности и надежности уже на стадии аналитического синтеза, между тем это обычно делается на стадии физической реализации или, в крайнем слу чае, на стадии аппроксимации полученного решения.

С другой стороны, характерной чертой современного состоя ния теории управления является то, что методы расчета слож ных систем могут быть выполнены с помощью вычислитель ных машин. Поэтому требуется, чтобы методы расчета приво дили к алгоритмам, которые удобно и возможно реализовать при помощи вычислительных машин.

Далее оптимальные решения, получающиеся в результате применения современных методов оптимизации, например, осно ванных на интегральных уравнениях статистической динамики САУ или на принципе максимума, часто не реализуемы на прак тике и требуется рациональный подход к аппроксимации, даю щий квазиоптимальную систему.

Поясним высказанные выше соображения применительно

кзадачам оптимального стохастического регулирования.

Взадачах синтеза оптимальных систем автоматического ре гулирования по критерию минимума дисперсии ошибки при

1 Гл. 7 написана в соавторстве с канд. техн. наук В. Ф. Бирюковым.

детерминированных и	случайных		воздействиях на	искомый
оптимальный оператор,	кроме	естественных условий		физи
ческой осуществимости	/ г ( г ) = 0	для	t<0 и условий, связанных

с требуемым законом преобразования действующих сигналов, никаких дополнительных ограничений не накладывается. При

этих условиях	решение задачи оптимизации часто	содержит
обобщенные	функции — дельта-функции Дирака и	их произ
водные.

Наличие обобщенных функций и их производных соответст вует идеальным усилительным звеньям, звеньям с чистым за паздыванием, дифференцирующим звеньям. Практическая реа лизация подобных звеньев затруднительна. В общем случае в такой постановке решение задачи практического синтеза си стемы автоматического регулирования должно включать сле дующие этапы: определение оптимального оператора, построе ние желаемого оператора, синтез корректирующего устройства. При построении желаемых операторов в конечном итоге учиты ваются не только требуемые динамические свойства системы, но и свойства имеющихся в распоряжении реальных элементов. Кроме того, сложность реализации корректирующего устрой ства по известному оптимальному оператору и заданной неиз меняемой части системы зависит от вида неизменяемой части, а именно, от разности порядков знаменателя и числителя ее передаточной функции. Очевидно, целесообразно все перечис ленные вопросы учитывать непосредственно при постановке за дачи синтеза статистически оптимальной системы автоматиче ского регулирования. Необходимо ввести дополнительные огра ничения на класс допустимых операторов.

В классических задачах статистической динамики исходные данные для синтеза (корреляционные функции или спектральные плотности) предполагаются известными своими аналитическими выражениями, что при определенных условиях позволяет про вести минимизацию дисперсии ошибки аналитически (например, метод Винера, метод самосопряженных операторов). На прак тике эти характеристики бывают неизвестны и должны опреде ляться методами аппаратурного корреляционного или спек трального анализа. Поэтому в постановке задачи синтеза оптимальных систем автоматического регулирования по экспе риментальным данным необходимо учитывать вопрос о непре рывной зависимости решения задачи оптимизации относительно погрешностей аппаратурного анализа. Вопрос о непрерывной зависимости должен рассматриваться также при решении инте гральных уравнений на цифровой вычислительной машине, так

как	дискретизация данных и ограничение пределов интегри
рования вносят определенные		погрешности.	Необходимость
в	численном решении задачи	оптимизации	возникает, на

пример, при синтезе аналитических самонастраивающихся си стем [47].

Ясно, что при синтезе статистически оптимальных систем автоматического регулирования по экспериментальным данным также должны учитываться вопросы реализуемости определяе мых операторов и корректирующих устройств. Вопрос о непре рывной зависимости импульсной переходной функции относи тельно малых возмущений исходных данных ставится потому, что задачи синтеза статистически оптимальных систем автома тического регулирования по критерию минимума дисперсии ошибки относятся к числу некорректных задач [51—53].

Настоящая глава представляет собой развитие работ, на правленных на преодоление указанных выше трудностей реше ния некоторых задач современной стохастической теории управления.

Принятый подход основан на введенном в работе [47] опре делении понятия сложности как широты класса, на котором ищется экстремум функционала качества управления и выте кающего из этого определения принципа решения задач тео рии управления, названного принципом минимальной сложности.

1. КОРРЕКТНАЯ ПОСТАНОВКА ВАРИАЦИОННЫХ	З А Д А Ч
И З А Д А Ч РЕШЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ

Сформулируем постановку вариационной задачи для фиксированного банахового пространства X [12].

Как известно, задача вариационного исчисления состоит в следующем: дан вещественный функционал F с областью опре деления N^X, требуется найти элемент x0 e/V, сообщающий функционалу экстремальное значение, например infinum, т. е.

F (х0) = іпї F (х).	(356)
XEN

Пусть F — произвольный ограниченный снизу функционал, нижняя грань его значений F(N). Последовательность элемен тов хп из N называется минимизирующей для функционала F, если существует предел F(xn), равный F(N) при л-»-оо, л = 1 , 2, 3,.., т. е.

	UmF(xJ		= F(N).
Функционал, органпченный			снизу,	имеет	по	крайней		мере
одну	минимизирующую	последовательность.				Приближенным
решением вариационной		задачи	(356)	считают		некоторый		эле
мент	МИНИМИЗИруЮЩеЙ	ПОСЛеДОВатеЛЬНОСТИ			Хп,	ГДЄ	Пф^>\.

Различные способы построения минимизирующих последо вательностей 'Относятся к прямым методам решения вариацион ных задач. Основная идея этих методов состоит в том, что вариационная задача рассматривается как предельная для неко-

торой задачи на экстремум функции конечного числа перемен ных. К прямым методам решения вариационных задач отно сится, например, метод Ритца [57].

Вариационная задача называется корректно поставленной (устойчивой), если она имеет единственное решение л'о и всякая


минимизирующая последовательность				хп сходится		к	элементу
Хо [51]. В	противных случаях		вариационная		задача называется
некорректно		поставленной.
Пусть	F(x)—непрерывный		неотрицательный			функционал,
задача (356)		имеет единственное решение x0<=N,				но	минимизи
рующая последовательность не сходится к х0					(задача		неустой
чива) . Чтобы		обеспечить сходимость,		можно	использовать спе

циальный метод построения этой последовательности (метод регуляризации). Метод регуляризации был предложен академи ком А. Н. Тихоновым и состоит в том, что рассматривается па раметрическая вариационная задача: ищется экстремум некото

рого	нового функционала		Ga (x"), называемого сглаживающим-.
	inf Ga	(х)	=	inf [F (х) + aQ	(%)],	(357)
	хеМ			дгє.М
где	Q(x) -регуляризующий			функционал	x^MczN,	і 0 є М ;
	а > 0 — п а р а м е т р	регуляризации.

Для функциональных пространств с т раз непрерывно диф

ференцируемыми функциями на	отрезке [с, d] Q(x)	можно вы
брать, например, в виде
и	dt,	(358)
Q	dt,	(358)
i=0	dtl
i=0

где a.i(t) —непрерывные функции;

ai (t) > 0

Решение вариационной задачи (357) будет зависеть от пара метра а, и при различных ак может быть получено целое семей ство решений Х а к - Семейство ха называется регуляризованным семейством решений.

Доказательство существования функций, доставляющих экс тремум сглаживающему функционалу при различных ак и схо димость регуляризоваиных решений Хак при ак -»-0 к точному решению вариационной задачи (356) можно найти в работе [51]. Вариационная задача минимизации функционала Ga (х) относится к числу корректных вариационных задач. Метод регу ляризации позволяет проводить построение приближенных ре шений вариационной задачи (357), сходящихся к решению исходной задачи (356), как в случае точного задания функцио нала F(x), так и в случае, если он известен лишь приближенно.

В	общем случае относительно		регуляризующего	функцио
нала	Q(x) предполагается, что	он	неотрицательный п	обладает
тем	свойством, что при любом	d>0	множество
	Pd=\x:x£M,		Q(x)<rf}

является компактным в X.

Однако часто вместо непосредственной минимизации функ ционала F(x) получают уравнение Эйлера — необходимое усло вие экстремума функционала F(x) и из него определяют чис ленными или аналитическими методами решение экстремальной

задачи. В связи с этим рассмотрим вопрос о корректности	та
кого уравнения.
Пусть F(x) квадратичный функционал [28]:
F(x) = (Ax,x)-2(x,f),	(359)

где А — симметричный положительно определенный (или поло жительный) оператор в гильбертовом пространстве Н, a f — дан ный элемент этого пространства. Квадратичный функционал (359) имеет область определения N, очевидно совпадающую с областью определения оператора А. Оказывается, для того что бы некоторый элемент лго, принадлежащий области определения оператора, сообщал минимальное значение функционалу F(x), необходимо и достаточно, чтобы этот элемент удовлетворял уравнению


				AY' = /.						(360)
Такой элемент единственный, т. е. если разрешима одна из
этих	задач, то		разрешима	и	другая,		и элемент,		решающий
одну из этих задач, решает и другую.
Рассмотрим			операторное	уравнение			(360)	в общем		случае,
когда х		и f могут принадлежать разным					метрическим		простран
ствам.		Говорят,	что задача	решения		операторного			уравнения
			Ах = у,	x£Nlt		у £	N2			(361)
где Ni—область			определения		оператора A,			Ni^Ni
корректно поставлена по Адамару, если:
1)	решение		задачи х существует			для	всех	данных		(/єЛ'2 ;

2)решение задачи единственно для тех же данных;

3)решение непрерывно зависит в метрике N\ от вариаций

правой части в метрике N2. Очевидно, что если отображение А является гомеоморфизмом, то задача решения операторного уравнения (361) поставлена корректно.

При нарушении одного из условий корректности по Адамару задача называется некорректно поставленной.

Корректность задачи зависит от тех пространств, где мы

рассматриваем исходные данные и ищем решение. Задача мо жет быть корректной в одних пространствах и некорректной в других. Корректность или некорректность задачи необходимо учитывать при решении операторных уравнений с приближен ными данными, а также при решении задачи на цифровой вы числительной машине. Для решения некорректных операторных

уравнений, как и для решения					некорректно поставленных			вариа
ционных	задач,	разработаны			методы	приближенного решения
[52, 53]. В основе этих методов					лежит	понятие	регуляризующего
алгоритма.
Регуляризующим алгоритмом называется семейство непре
рывных	отображений		{R}	из N2 в N\,		которое	обладает	свойст
вом: для любого y^A[N\]				можно указать элемент х&А~1у				такой,
что для	любого	в > 0	можно		указать б > 0		и R\<={R},	что
Рлг, (Riy,	х) ^te,	если	рдг. (у, у)		< б .

Задача называется регуляризуемой, если она допускает хотя бы один регуляризующий алгоритм. Одним из регуляризующих

алгоритмов является	алгоритм	А.	Н. Тихонова. Он		состоит
в том, что вместо операторного		уравнения (361)		решается кор
ректная вариационная	задача. Эта		вариационная	задача	может

решаться или прямыми методами, или путем решения коррект

ного функционального	уравнения, определяющего	необходимые
и достаточные условия	экстремума функционала.
Для решения операторного уравнения (361)		методом регу

ляризации необходимо минимизировать сглаживающий функ ционал

Ga (х) = 11 Ac-~у \|\|s		+ aQ (х),	(362)
где Q(x) — регуляризующий	функционал;
а — параметр регуляризации,		а > 0 , \\у—г/Н^б.
Решения ха вариационной	задачи	(362) называются	регу-

лярнгованным семейством решений. Требования к функционалу


Q(x)	те же, что и при регуляризации		некорректных		вариацион
ных	задач. Если Q(x) выбран	в виде		выражения	(358), то
в зависимости от т различают слабую регуляризацию						( т = 0),
равномерную регуляризацию		( т = 1 )	и	регуляризацию		т—1-го
порядка гладкости ( т > 2 ) . В		зависимости от вида			регуляриза

ции получают различные виды сходимости решений вариацион ной задачи (362) к точному решению операторного уравнения (361) при согласованном стремлении а, 6-й).

Рассмотрим корректность постановок задач синтеза стати стически оптимальных систем.

2. О НЕКОРРЕКТНОСТИ З А Д А Ч СТАТИСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ

Рассмотрим задачу синтеза статистически оптималь ной системы автоматического управления по критерию среднего

значения квадрата ошибки, находящуюся под действием стацио нарных случайных сигналов.

Задача состоит в отыскании импульсной переходной							функции
ko(t) в	классе линейных		стационарных	систем	с	бесконечной
памятью, минимизирующей функционал
	J (ft) = М [z (С) — f y(t — т) ft (т) dr\'				,		(363)
		I	'о	J
где	z(t)—желаемая		реакция системы;
	y(t)—входной	сигнал системы;
2 ( 0 »	y{t)~стационарные		случайные	процессы		с	нулевыми
	математическими ожиданиями;

М— символ операции взятия математического ожи дания.

Раскрывая функционал (363), получим

					со
	J(k)		=	Rz(0)-2\k(t)R„{t)dt				+
					О
			со	со
		+	f ft (0 dt \ ft (т) Ryy			(t -	т) dr.		(364)
			"о	'о
Рассматривая		функционал			(364)	в	гильбертовом		простран
стве L2{0,	о о ) , можно записать / (ft) в виде
	J	(ft) =		Rz (0) -	2 (Ryz,	ft)	4- (Ak,	ft),	(365)
где
			Ak=\		k(T)Ryy(t~x)dx.
				b
Пусть	Ryv(t)^Li(—oo,			-f-oo), тогда оператор А является
ограниченным, неотрицательно					определенным			оператором в про
				со	\Ryy(t)\dt.
странстве	7-2(0, со),			\|\|Л\|\|^1 j	\Ryy(t)\dt.		Неотрицательная оп-

—со

ределенность следует из свойств автокорреляционной функции. Оптимальная импульсная переходная функция ko(t) удовлетво ряет операторному уравнению

Ak(t) = Ryz(t),

t> 0.

(366)

Минимальное значение критерия

J(ka) = RA0)-(Ry2,

К).

Уравнение (366) в интегральной форме имеет вид

Ak (t) == " Ryy (t — x)k (х) dx = Ryz(t),	t > 0.	(367)
о

Итак, мы получили интегральное уравнение Винера—Хопфа 1-го рода. Покажем, что задача минимизации функционала

(365)некорректна. Пусть экстремальная задача (365) имеет

единственное		непрерывное решение k0(t)				и пусть kn(t),	где	я =
= 1, 2, . . . — элементы				минимизирующей последовательности				для
функционала		J(k).	В качестве такой минимизирующей последо
вательности		можно взять, например, тривиальную					последова
тельность, каждый элемент которой равен						k0(t).
Наряду	с	последовательностью			kn(t)	рассмотрим	последо
вательность	z„ (t)		=k„	(t) +Ц,,,\t), где	функции ЦпІЇ)		определим
графически		(рис.	30).	Последовательность zn(t) также будет

Рис. 30. График

функции

|xn

(t):

°i='i

; os=/,H

;

a,=t,

;

Qi='j+—1 aB=l,

- ; Яб=/з+ —

минимизирующей

для

функционала / ( & ) :

J(zn)-+J(kQ)

при

n—>-co, если (Akn,

jLt,,)—>-0. Подставляя

zn(t)

выражение

(365),

имеем

(z„)

(0) -

2 (Ryz,

z„)

+'(Aza,

z„)

Rz (0) _

2 (Ryz,

ц„) + (Akn

Aan,

kn +

u,,),

или

J (z„) =

Rz (0) -

2 (/?,,,

A„) -

2 (Ryz>

,u„) +

(Л£„, /г„) +

(Aka,

н.л) +

(Лцв ,

ц„) +

(Лр,я, ft„) =

J (kn) -

2 (Ryz,

ця )

(Лй„, fl„) +

(Ли.я,

ця )

-j-

(A]in,

kn)

-»• J (/г0)

при

я -v оо.

Следовательно, zn(t)—минимизирующая

последователь

ность,

но

zn(i)

не сходится

равномерно

к элементу

kQ(t):

р (/e0,

z„) =

max

І £0 (і) -

(t)

ц„ (0

I -/» 0

для некоторого / при га-^-оо.

Поэтому вариационная задача (365) некорректна. Задача решения операторного уравнения (366) также является некор ректно поставленной задачей. Могут нарушаться все три усло-

ви я	классической корректности. Например, функция	k0(t) мо
жет	не принадлежать пространству L2 (0, оо) [39].	Последнее

обстоятельство требует расширения области допустимых функ

ций, на которых рассматривается	операторное уравнение (366)
и функционал (365), в частности,	требует введения в рассмот

рение обобщенных функций и их производных. Но подобное расширение вызывает дополнительные трудности при реализа

ции.

В работе

[7]

предлагается

искать

решение

уравнения

(366)

в классе функций вида

к (0

= 53

S ъ

ч 6

^ ( / ) s

®;

- '

b«»>]'

где bij — произвольные действительные

константы;

М О € М О , <*>),

tt]

§U)(t—tij)—производная

/-го

порядка

дельта-функции Дирака.

Таким образом, уравнение (366) можно рассматривать как

линейное

уравнение

в гильбертовом пространстве іг(0 , оо)

элементов

k = [ki(t);

boo, bio,

• • •, b„m]

со скалярным

произведе

нием

(k\

kU)^

= (k\,

k\l)u

b\;b\).

1=0 / = 0

Оператор А теперь не является, вообще говоря, положитель

ным оператором

в пространстве їг(0 , оо) и уравнение (366) не

обязательно может иметь единственное решение в нем.

Можно

показать

нарушение третьего

условия

классической

корректности — отсутствие непрерывной

зависимости

вариаций

решения от вариаций правой части. Будем рассматривать ва

риации решения kQ(t)

в равномерной

метрике,

а вариации

пра

вой

части — в

метрике

пространства

£г(0, о о ) . Действительно,

функциям

k'(t)

и k\{t)

=k0

(t) +Xe-^f

cos со t, где К сколь угодно

большое

фиксированное число, будут

соответствовать

функции

Rlyz{t)

R*z

(t),

норма

уклонения

которых

пространстве

М О ,

оо), т. е. \\Rluz

(t)—R2yz

(t)\\ сколь

угодно

мала,

если

со, р

достаточно велики.

Можно показать нарушение третьего условия

классической

корректности и в Li.

Кроме

возмущений

правой

части

выражения

(366),

при

использовании

результатов

аппаратурного

корреляционного

анализа для решения

задачи

синтеза,

присутствуют

возмуще

ния самого оператора А; что вносит дополнительные погреш ности в решение.

Некорректность вариационной задачи (365) и задачи ре шения операторного уравнения (366) исключает возможность

прямого применения обычных вычислительных методов и тре

бует использования	методов регуляризации.
Необходимость	в	прямых методах	минимизации функцио
нала J(k) возникает,		например, когда	требуется получить оп

тимальное решение как линейную комбинацию линейно незави симых функций ср,- (/):

t	Є	[0, оо), t =		0,	1, 2, . .	. ,
		k(t)	=	j]cl4l([).
			1=0
В качестве ср,- (г1) может быть					использована		какая-либо
ортонормальная	система		функций,		замкнутая в		пространстве
L2 (0, с»). Целесообразно применять непосредственную миними
зацию функционала		J(k)	также	в	задачах	синтеза аналитиче

ских самонастраивающихся систем, находящихся под воздей ствием квазпстационариых случайных сигналов, когда корреля ционные функции сигналов иа интервалах стационарности вычисляются с использованием ортонормальиых функций [36]. Это позволяет создать единый алгоритм синтеза системы. Ана логичным образом может быть исследована корректность дру гих постановок задач синтеза по среднеквадратическому кри терию. Легко показать, что к числу некорректных задач отно сятся: задача синтеза системы автоматического управления в классе линейных стационарных систем с конечной памятью,

находящейся под воздействием детерминированных и				случай
ных	сигналов;	задача	синтеза линейной нестационарной	систе
мы.	В задачах	синтеза	дискретных систем автоматического уп

равления по критерию минимума среднего значения квадрата ошибки численными методами оценка искомой решетчатой им пульсной переходной функции удовлетворяет системе алгебраи ческих уравнений

		Ak	=	y,
где А—квадратная	матрица		размером		/гХп, составленная				из
значений	корреляционной			функции		входного		сигнала;
у •— вектор-столбец,		составленный			из	значений		взаимной
корреляционной		функции		входного и			желаемого		вы
ходного	сигналов;
k — вектор-столбец,		координатами			которого		являются		ис

комые значения решетчатой импульсной переходной функции.

В результате экспериментальной обработки случайных сиг налов известны лишь оценки соответствующих корреляционных функций, т. е. искомое решение определяется из возмущенной системы алгебраических уравнений

Abkb = Уь-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2519 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ