книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Расчет оптимальных систем автоматического управления при наличии помех

Если матрица А плохо обусловлена, то решение kb, полу­ ченное из возмущенной системы алгебраических уравнений, мо­ жет сколь угодно сильно отличаться от истинного решения [10]. Очевидно задача решения плохо обусловленной системы алге­ браических уравнений может рассматриваться как некоррект­ ная и для приближенного определения решения из возмущенной системы уравнений необходимо применять метод регуляри­ зации.

з. ПОНЯТИЕ сложности и ПРИНЦИП МИНИМАЛЬНОЙ

сложности

Часто невозможно точно реализовать оптимальные операторы пли корректирующие устройства, определяемые по критерию минимума среднего значения квадрата ошибки, кроме того, данные задачи часто являются некорректными, поэтому необходимо изменение постановки задачи синтеза. Последнее особенно необходимо для практических расчетов и основано на понятии сложности [36].

Предположим, что система управления (СУ) определяется некоторым классом операторов X, являющимся метрическим пространством. Будем считать, что этому классу принадлежит

щая минимальное число операции, необходимое для определе­ ния оператора k с точностью є.

се(х1)<се(х2); /?e(Xi)<#i(x*); ладхм, (*•,)•

Последние неравенства справедливы, поскольку максималь­ ное значение функции может только увеличиваться (или, в крайнем случае, сохраниться) при расширении области опре­ деления этой функции. Приведенные равенства также показы­ вают, что задача построения системы управления существенно

в заданную шкалу сложности, можно строить свою внутреннюю шкалу сложности.

Для конструирования шкалы сложности можно воспользо­

вания 0. Очевидно, что ограничение широты класса или мини­ мизация функционала сложности Л7(ft) приводит лишь к ми­ нимизации максимально возможной сложности. Однако чем лучше выбранный функционал N (ft) характеризует сложность в интересующем нас конкретном смысле, тем лучше будут ре­ зультаты. До сего времени задача аналитического синтеза оптимальной СУ формулировалась следующим образом: опре­ делить оператор ft СУ так, чтобы функционал /(ft) качества управления принимал на классе X экстремальное значение, со­ вместимое с некоторыми ограничениями.

Однако часто класс операторов, на котором ищется решение этой задачи, настолько широк, что физическая реализация оптимального оператора, определенного в этом классе, пред­ ставляет серьезные трудности или вообще невозможна. Поэто­ му целесообразно изменить постановку задачи синтеза следую­ щим образом.

Пусть нам задан некоторый допустимый уровень качества системы управления. Среди всех операторов, обладающих до­ пустимым уровнем качества, нужно определить оператор, фи­ зическая реализация которого имеет минимальную сложность.

Учитывая данное выше определение понятия сложности, сформулируем следующий принцип оптимизации, который мы назовем принципом минимальной сложности (ПМС):

Пусть заданы некоторый допустимый уровень качества а и некоторая шкала сложности М. ПМС при оптимизации СУ состоит в таком выборе оператора к, при котором он удовлет­

мальной сложности сводится к задаче на условный экстремум,

Основная цель метода регуляризации вариационных задач состоит в построении приближенных решений, достаточно хо­

При решении задачи по принципу минимальной сложности по­ добная цель не преследуется, делается отход от множества всех допустимых функций, на которых определен функционал J(k),

к множеству более узкому, 1-го зато позволяющему реализо­ вать найденный в этом множестве оператор, или при заданной неизменяемой части реализовать точно корректирующее уст­ ройство, а также получить устойчивые алгоритмы. Естественно, что при необходимости можно к некорректным вариационным задачам статистической динамики применять метод регуляри­ зации и получать приближения к решению экстремальной зада­ чи минимизации функционала J(k) на множестве X. Но это, вообще говоря, две разные задачи. При формулировании прин­ ципа минимальной сложности предполагается заданным допу­ стимый уровень критерия качества / ( & ) = а ; о — число для ли­ нейных стационарных систем, находящихся под воздействием стационарных случайных сигналов, или функция времени для нестационарных систем. Но можно не накладывать на J(k) за­ ранее никаких ограничений и, если удается в явном виде опре­ делить зависимость J(k) от параметра К, то исходя из этой аналитической зависимости выбрать значение параметра. При численных расчетах параметр А может назначаться, с ним ре­

решение задачи оптимизации ищется в классе линейных стацио­ нарных систем с конечной или бесконечной памятью, то в каче­

и

на множестве непрерывно дифференцируемых функций на от­ резке [а, Ь], причем искомая функция x(t) должна удовлетво­ рять краевым условиям

х (а) = а0, х (Ь) = Ь{

где оо, bo — заданные постоянные.

Требуется решить эту же задачу, но функция x(t) никаким краевым условиям заранее Tie подчиняется. Отличие этой ва­ риационной задачи от классической состоит в отсутствии крае­ вых условий на функцию x(t). Эта вариационная задача может решаться с естественными краевыми условиями.

Для функционала (372) естественные краевые условия [28] имеют вид

Если задача минимизации функционала Ji(k) решается при определенных краевых условиях, то искомая импульсная пере­

=constj. Эти параметры должны выбираться так, чтобы полу­

ная переходная функция зависит от одного параметра Х\, кото­ рый выбирается из того же условия J(k) = a.

При синтезе системы автоматического регулирования с за­

Передаточная функция корректирующего устройства будет реализуема, если д^Р- Пусть т и п фиксированы. Определим, какие условия надо наложить на а, р, чтобы q>p. Так как

то

необходимое число ограничений типа (371). Такова последова­ тельность действий, применяемая в работе [15] для получения реализуемых корректирующих устройств. Очевидно, что ее можно рассматривать как частный случай задачи синтеза си­

тического регулирования с заданной неизменяемой частью кор­ ректирующие устройства должны получаться реализуемыми.

Таким образом, можно сделать следующие выводы. В зада­ чах синтеза статистически оптимальных систем автоматического управления по среднеквадратическому критерию применение принципа минимальной сложности позволяет получить реали­ зуемые передаточные функции и устойчивые алгоритмы. При­ чем выбор функционала N(k) >и выбор граничных условий для однозначного решения вариационной задачи минимизации функ­ ционала Ji(k) определяется характером решаемой задачи, на­ личием неизменяемой части, типом коррекции. Выбор N(k) оп­ ределяется также требуемым характером устойчивости, необхо­ димым для решения задачи.

•При оптимизации по 'принципу минимальной сложности, вообще говоря, следует различать аналитические и численные методы. При аналитическом решении задачи параметр Х\ мо­ жет выбираться на основе аналитического исследования зависи­ мости величины критерия и И'Мпульсно'й переходной функции от

параметра. При численном же решении этот параметр должен назначаться и после нахождения решения необходимо прове­ рять удовлетворение равенства J(k) = a. Если ](1г)Фа, то сле­ дует изменить параметр К] и снова 'произвести расчет и т. д.

Выведем необходимое и достаточное условие минимума функционала Ji(k) в случае задачи синтеза линейной стацио­ нарной системы с конечной памятью, находящейся под воздей­ ствием детерминированных и случайных сигналов. Они легко трансформируются в необходимые и достаточные условия мини­ мума Jj(k) в случае систем с бесконечной памятью.

4. НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ МИНИМУМА ФУНКЦИОНАЛА h{k)

Пусть на вход искомой системы поступают управ­ ляющее у(t) и возмущающее n(t) воздействия (рис. 32). При­ чем управляющее воздействие состоит из суммы двух состав­ ляющих: случайной и неслучайной

где g(t) —полином степенни г с неизвестными коэффициен­ тами;

m(t) —стационарная случайная функция с корреляцион­ ной функцией Rm(x) и спектральной плотностью Sm (o>), M[m(0] = 0.