книги из ГПНТБ / Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики
.pdf§ 14. П Р И U В Р |
I . |
|
||
Пусть имеется сферическая оболочка с внутренним и внеш- |
||||
шш радиусами а |
и І |
. Ha границах заданы смещения: - |
|
|
( U V V ^ = U i |
, |
i = t,e,v ,-х=а,|. |
( 1 4 Л ) |
|
Разложим заданные функции (14.I) |
в ряд вида: |
|
||
U t = 2 - Ь г в |
( Л |
с ^ ™ х / ) , |
|
|
Ч Г Г Ч ^ С ' ^ ' Ь |
(14.2) |
• • |
J |
і Г > = |
( a " + 0 ( " - m ^ / 2 i r n ( » i * > 0 ( « * " 0 \ |
|||
Внчиоляя (12.4) |
при Z=OL И |
t = E |
и полученный результат |
|
сравнивая с (14.2), |
получим систему 12 алгебраических уравне |
|||
ний для определения |
а'"'"1 ,..., |
сі'"'""1. Подставляя найденные значения |
||
в (12.4), получим искомое решение задачи.
§ 1 5 - П Р И М Е Р . 2.
Пусть дана сферическая оболочка с внутренним а внешним
раджусами а |
и |
I |
. На границах заданы напряжения: |
|
||
toiX.^rW} |
, |
^г,е,< |
, |
(I5.I) |
||
Разложим заданные функции (15.I) в ряд такого вида |
|
|||||
W |
J?, |
" . |
сад |
сад |
ч-гЛ"" |
|
ч»г |
г Е |
Е |
К |
|
|
|
Нормальное напряжение в сферических координатах имеет вид:
|
P . ^ V i |
|
|
|
( 1 5 . з ) |
|
Дня нашей задачи: |
|
|
|
|
|
|
|
при х = 1 : *Іг |
= іг |
о^, =0 ) „і |
-о • |
(15.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при г-<х : <=it= - i , o i e = о, осч - о . |
|
||||
Проекции |
(15.3) на оси сферических координат дают |
|
||||
|
|
|
|
|
|
(15.5) |
В силу (15.4) формулы (15.5) |
примут такой вид: |
|
||||
|
( * * W ( P t i U |
. C M ^ - t a U • |
( І 5 - 6 ) |
|||
Вычисляя значения |
(ІЗ.І) при г = а |
и t - 8 |
, подставляя по |
|||
лученный результат |
в (15.6) и сравнивая с формулами (15.2) и |
|||||
(15.I), получим систему алгебраических уравнений для определе- |
||||||
ния а[ |
,... ,а. |
. Подставляя найденные значения at |
d- |
|||
в ( I 3 . I ) , |
получим искомое решение |
задачи. |
|
|
||
З А М Е Ч А Н И Е .
Из решенных в §§ 14 и 15 задач следует, что легко решаются сле дующие задачи:
1)первая, вторая н смешанная задачи для оболочки,
2)первая и вторая внутренняя и внешняя задачи для шара,
3)упругая область, разделенная сферическими :границами разде ла и другие.
Г Л А. В А 3.
РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В УРАВНЕНИЯХ ДИНАМКИ
ВДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ.
§I . ОНЦЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
ВУРАВНЕНИЯХ ДЛАМИКИ УПРУГОГО ТЕЛА В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ.
Вработе рассматриваются все системы криволинейных ортого нальных координат эвклидова пространства двух' измерений, в ко торых уравнения динамики допускают разделение переменных.
Уравнения динамики в векторной форме имеют вид:
( I . I )
Если пололки
(1.2)
то уравнения (1-І) примет такой вид:
оС ^ a c i |
JLir Q. - "Uft Tot Q = ^ - 2 2 0. |
(1.3) |
|
Положим |
|
|
|
|
|
|
(1.4) |
Тогда уравнение |
(1.3) |
примет вид: |
|
|
|
|
(1.5) |
Решением уравнения (1.4) будет |
ft- |
||
|
|||
Т»с,е |
-сге |
(1.6) j |
|
Уравнения (1.5) преобразуем к криволинейный координатам на плоскости о цельв, найти все системы квординат, в которых урав нения (1,5) допускают разделение переменных.
Пусть линейный элемент в нашем случае имеет вид:
d s ^ Z H ^ o , 1 . |
(1.7) |
Тогда уравнение (1.5), соответствующие этому линейному элемен ту, имеют вид:
Hi *i
Легко мохво показать, что система уравнений (1.8) допускает раз деление переменных в декартовых, полярных и спиральных системах координат.
§ 2. РАЗДЕЛЕНИЕ ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТ.
Система уравнений динамики в полярных координатах
имеет вид: |
|
|
[ і ! ( o i l w L U i i l _І.Ґ» |
(ГьИ*\ V u f , ?t-»lUc |
|
І Г І І / Л ^ ^ - П - i r i l f . u A - i - ^ i i i i b . |
( 2 , I ) |
|
|
|
|
Решением этой системі уравнений |
(2.1) будет |
|
^ v n > o / s - С - к о ч у , |
Х-^ЛЬО- |
§ 3. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ.
Тензоры напряженки в полярных координатах можно написать
так;
P J ( | « e ^ ^ a ^ t X ^ v ^ ^ ^ V ^ V t k . c ^ v k . ^ v |
(з.і) |
е Г - 2 Г а и ц * -з><о/<,і , C ^ r L X c * « v r
- * * г к Д % М .
§ 4 . П Р И М Е Р I .
Пусть дано плоское |
кольцо с внутренним и внешним радиу-. |
||
сами а и і |
.На границах заданы смещения: |
|
|
C U j ) ? = x = e |
1. 00 , * = a,6 , j=^,vf. |
( 4 i I ) |
|
Разложим заданные функции в ряд Фурье |
|
||
F j t |
a W = ^ t x V |
l 4 . f ( ^ W » * 4 + £ l o ^ w « ) . |
(4.2) |
Вычисляя значения (2.2) при $ = а. ж 4-і и подученный ре зультат сравнивая с (4.1) и (4.2), получим систему алгебраи
ческих уравнений для определения |
а " ' |
и |
С 1 . |
Если подставим найденные значения |
acJ" |
и |
t!f' в (2.2), то по |
лучим искомое решение задачи, удовлетворяющее системе урав нений (2.1) и граничным условиям (4.1).
З А М Е Ч А Н И Е .
Из решенных задач в этом параграфе следует, что легко реша ются следующие задачи:
1)первая, вторая и смешанная задачи для кольца,
2)первая и вторая внутренняя и внешняя задачи для диска,
3)упругая область, разделенная круговыми границами раздела,
4)первая, вторая и смешанная задачи для кругового сектора и другие.
§ 5. РАЗДЕЛЕНИЕ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ.
Уравнения динамики упругого тела в плоских декар товых координатах имеют вид:
|
?Ь.и^ІЬ.л^-&!* |
|
, |
{5Л) |
|
где сі * |
Vf |
• J>= Vf |
> S |
- плотность упругого |
тела. |
Решение систе-ды уравнений |
(5.1) |
будет: |
|
||
_.a i ( > ) |
м |
^ |
(6:2) |
A t (*)= |
СЄ |
А^ СЧ = С Є |
|
|
В. (.*-)= кье |
В. с-*л»= |
|
||
Всю |
-с(а-х) |
_ о о |
- |
- с * |
ь (,*) = к.в |
£,£ |
С*)=-и?Є |
, |
|
§ 6 . Т Е Н З О Р Н А П Р Я Ж Е Н И Й .
Тензоры напряжения в декартовы! координатах «изют вид:
р а У = ё ^ К ^ и ^ . |
с ^ Є Ч & - |
|
• 1 1 ^ ( ^ ^ |
- |
( 6 Л ) |
» |
J v » ; c |
^ L2C*)=^IC(.K:*6 )e |
§ 7 . |
П Р И М Е Р I . |
|
|
|
||
Пусть имеется бесконечная полоса, на границах которой при |
||||||
_0 |
и 3 C = O L |
заданы смешения: |
|
|
||
|
" j W = e |
|
r j ^ |
. с = 0 > а - |
|
(7-і) |
Разложим заданные функции в ряд Фурье |
|
|
||||
s \ t c V y )=? ? W a |
wi-t |
|
^ e ' j i c , ^ ^ . |
( 7 ' 2 ) |
||
4 |
|
|
|
|
|
|
Вычисляя значения (6.2) при -x = o |
и ai = a. |
и полученный ре |
||||
зультат сравнивая с (7.2), |
получим систему 8 |
алгебраических |
||||
уравнений с 8 неизвестными |
а^"1 |
и б^"'. Если подставим найден |
||||
ные значения в (6.2), |
те получим искомое решение задачи. |
|
||||
З А М Е Ч А Н И Е .
Легко решатся следующие задачи: I ) первая, вторая и смешанная задачи для полосы, 2) первая и вторая задачи для полуплоскости,
3)область, разделенная параллельными .линиями раздела,
4)задачи для прямоугольника и другие.