книги из ГПНТБ / Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики

Если положим

то получим

Л ^гсхсі oL-u Q - rot rot Q = S> Q .

Положим

d ?

= - * T

•

(1.4)

Тогда уравнение (1.3)

примет

вид:

о£ смілої cii-TJ" Q - r o t x o t Q - t o OQ =o ,

(1-5)

где

Пусть линейный элемент имеет вид:

dee = ± U * d v .

(i.v)

i. , j , КГ = 1,2,5

, і. + j + К. .

*^IJT*U її ?>»

- лі

j » v

s»1(F

-»SV.j-»,

h ^ - ^ - p

^ ,

(o^V - " 6 - ^ ^—' "1 -til*

Д Н п " и і Л

Co,, \ і "*>M _

(2 I )

s l j V ^ » ;

w * l J ^ i S a « * ^ L s i l « u O - j ^ M - r : » ?

'

°4 $ - ^ h i / «5

+ : o l i

1 ? u -І^І

$

s'lif1

?т>*чГ p i t * '

Решением уравнений (2.1)

будет:

e

Z Z Z C m ( ? ,

6 | t -S: ь-3 )

АГСО^Р ,АГС«--Й;

( 2 -3 )

CP

• • ,

„ CP,*">

ч ,

-Д^І r

Bb -

CO = PV S-

b t i s w v s

A < o = c a ( ? r ° ,

" W - p 0 4 f * - f > V

( 3 . 2 )

СР,Ю

At,,

г r і

\ о . ^' к )

A

Ц - t

E E S

а. А, Ь*рчби.**(

' I

h«o

i=*

CO вО

С

(4.3)

ц , - ё

T E

E

a; At W f f a i c * ,

C-P^P/I ,AT=PV< ,А7'=Р^/? ,

At l , , »Ai, , -o.A?Uvp.Ai, , »-ic-'f /e.

А'Г=«% ,А" = *э-р.

, у з , № ? 0 , » - = г

•

Ренение

(4.3) автоматически удовлетворяется граничным условиям

(4.2) .

Разлагая (4.1) в ряд Фурье по синусу и косинусу и срав­

нивая с

(4.3) при $ = а и ч = і

, получим

E a i A j U . W i G V ) , Ol= a , t .

(4.4)

дача:

I )

первая, вторая ж свешанная задачи для бесконечно!

тр^бн,

2)

первая и вторая внутренняя и внешняя задачи для

цилиндра,

3) упругая

область,

разделенная цилиндрическими

границами раздела, 4)

первая,

вторая и смешанная задачи для

VUi VUt ,Г»Ч ,pX П,и \

~?и

г

г ч

Решением это! система уравнений (5.1) будет

A,

=ce

„ A„

=-ce

A

p 4 ^ - ^

^

" I е .

, A 5

= - K e

/fe , A t

- p e /6 ,

С,, =Є

, a = f w s t , ° = ^ч"P "JTi

1

§ 6 . Т Е Н З О Р

Н А П Р Я Ж Е Н И Й .

Тензоры напряжений в декартовых координатах можно напи­

сать

в

таком виде

-р

Г Р ^ ^ У Г А Ч ^ '

Р( Р .^

,СР,^ Ч

р -

І Р ^ ф Л ^

^

J

б " - + С А

б 0 ,

V

е

Z X X X

СЧ°і Є

П

^

v

d

i

е л

Рі г

_ -i*jt ~ »

£,

( f , )

. № l r t

C p K )

( p

ч

аСР'^ \

(6

-e

2L 2- Z

Ь

oo(a 6 Л б;+с

є+

Z Z Z T I .

счСаі

б.-с, 6,-сА

бЛ

к.= о р=о

J

°

a

d

/,

^

- L j t S ^

С

l>,vO

CP,*)

ГСР,^

(

P |

0 |0',Оч

. і w ^

с

CP,v.1

,

CP.*"*

п(р ,і Л

0,-0

I^I^

\

J

J

<i

J

- „ ( F K )

A ^ V O

- I ^ V 1 )

„(P,

3

J

<!

J

b!, W

= Г VP г» ( о *

, c Ч С*ч),

( ? , « )

/ L ( P . O

( P , O Л

§ 7 . П Р И М Е Р

І .

Пусть дан бесконечный

слой,

на границе которого при

•эс=о

и х = а

заданы напряжения:

Разложвние заданных функций

(7.1)

дает:

F, С ^ ^ Е Е Г ^ о б ^ 1

(7.2)

Для нашей задачи:

При

х = о :

, ° t 4

= о(., =о

*

(7.3)

при

•' »t^=+i ,

= < i * = 0

•

В силу граничных условий и выражений

(7.3),

формулы (9.5)

гла­

вы 2 примет такой вид:

Вычисляя значения

(6.1)

при

ос = о

и

-х = а-

и полученный ре­

зультат

сравнивая

с (7.2), получим ситему алгебраических

урав­

нений для определения

а£*'*\... , с і 0 > > . Если подставим найден­

ные значения в

(6.1), то получим искомое решение задачи.

З А М Е Ч А Н И Е .

Из решенных задач

следует, что легко решаются следующие зада­

чи: