книги из ГПНТБ / Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики
.pdf3) |
задача для идлквдра, |
4) внешня задача для цилиндра, |
|||
5) |
задача для трубы, |
6) |
задача для слоя, 7) |
задача для дву |
|
слойного цилиндра, |
8) задача для полупространства, 9) за |
||||
дача для круга, |
10) |
задача для кольца, П) |
задача для полу |
||
плоскости, 12) |
внешня задача для круга ж |
13) задача для |
|||
полосы. |
|
|
|
|
|
|
Точно такий способен легко решаются задачи для уравнений |
||||
|
(1.2). |
|
|
|
|
Случай, когда даны неоднородные уравнения |
|
||||
|
V * U + F = o , v l U - F = u ? ^ 5 , |
(3.5) |
|||
|
|
|
|
Ox |
|
рассматривается |
аналогичным способом, рассмотренным в главах |
I , 2 ж 3, часть |
П . |
Г Л А В А |
2. |
РАЗДВЛЕНИБ ПЕРЕМЕННЫХ В УРАВНЕНИЯХ ЭЛЕКТРО ДИНАМИКИ.
§ I . ОБЩЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ В УРАВНЕНИЯХ ЭЛЕКТРОДШАМЖИ.
В работе разыскивается все системы криволинейных орто гональных координат, в которых система векторных уравнений электродинамики допускает разделение переменных.
Система векторных уравнений электродинамики имеет вид:
|
|
|
( I . I ) |
d i v H = o ) cUirE =о . |
|
||
Если положим |
|
|
|
Н =Т&)О |
(<иД*ЯО |
, Ё = T a W V ( Я ^ , ) . |
(1.2) |
то система уравнений ( I . I ) будет иметь вид: |
|
||
XotU = pV , |
X o t V ^ U |
, d l v t i ^ o , clCirv = oл |
|
|
|
|
(1.3) |
Система уравнений (1.3) в произвольной триортогональной сис теме координат имеет вид:
Г |
' |
(1.4) |
Для удобства введем обозначения:
(1.5)
Тогда система уравнений (1.4) примет вид:
Исключая из первого уравнения V- с помощью второго уравнения и присоединяя к полученным третье уравнение, получим систему 4 - і уравнений
А ^ * ' С ^ , - ^ г ) ^ . 1 » , е ^ , - ^ - л » .
Г |
Х |
(1.7) |
где обозначено |
|
|
а Ч я , |
, А х = Н л / н г н ^ . |
(1.8)' |
Предположим система уравнений (1.7) допускает разделение пе ременных
(И , ,Сг| (,,
u i " - u j t v i V s o V u . |
(I-9) |
Здесь Uj (<ц> является решениями системы обыкновенных дифферен
циальных уравнении 2-го порядка.
Пусть линейный елемент имеет вид:
(І.Ю)
Подставляя (1.9) в (1.7), после разделения получим
Здесь первое уравнение системы (1.7) после разделения перемен ных не содержит ни U.'° ни U-U 1 . Поэтому в систему ( I . I I ) не включено. Аналогичным способом можно написать еще таких две системы уравнений
•;1У> Д Я . ' И |
|
|
|
„ В 1 - Ы |
.IV). .ІУІ4 |
QlVI,*i«« n.4tV ii«>v |
„'4 l .,W |
? 1 и 1 * |
'її-" |
o>»'il" a ' n " |
rt^^'. |
. (VI |
I v U, |
(1.13) |
|
= о •. |
где
Из второго и третьего выражений (І.І4) имеем
« - A , « V * „ , |
fi^-Y^. |
( І Л 5 > |
Подставлял (I.15) в четвертое и седьмое выражения ( I . I 4 ) , получим
' |
• |
U . I6) |
Интегрируя, найдем
ЕСЛИ подставим в (І.І5) выражение (I.F7) и полученный ре зультат потенцируем, то получим
Из этого следует
Аналогичным способом найдем
Пользуясь (I.19) и (1.20), после замены переменных линейный элемент (1.10) можно написать в такой форме
• J s M t i V O M ^ A ^ V o 1 . |
( I - 2 I ) |
Соответственно этому линейному элементу систему уравнений (I . I2) можно написать в таком виде:
du't " , w . w ,WMM> .<0ІІ'°-Й
d^lii" |
14 j u f |
W W |
.'«..(її - WjUi" |
ціні |
(1.22) |
T ^ f + ? l |
~їїх ^ |
|
**b |
u> ~°> |
|
U l + ? i |
|
- l i f t ) l " i % r ^ ( W < / U « l
Ceo -(^СиГ^^си/^иГі СЛОГ.
^ - ^ c v o W u r u r . |
( I '2 3 ) |
Из |
, и™, f Iа , |
имеем |
(1.24)
ГДЄ Л;. - ПОСТОЯНБЫе. Из (1.24) будем тлеть
(1.25)
Аналогичным способом, рассмотренным в главе второй, продолжая, найдем следующую форму линейного элемента:
Следовательно, система векторных уравнений электродинамики до пускает разделение переменных в декартовой, цилиндрической я сферической системах координат. Для сокращения объема работы решение системы векторных уравнений Максвелла ( I . I ) в различ ных системах координат мы не выписываем.
Аналогичным способом такие же задачи, рассмотренные в гла вах 1-5, легко решаются для система векторных уравнений Максвел ла ( I . I ) . Случай, когда имеется неоднородная система векторных ' уравнений Максвелла
t o l f l |
«.%|5fc f <UvH=o, |
|
(1.27) |
рассматривается аналогичным способом, рассмотренным в главах I , 2, 3, часть I I .
Ч А С Т Ь |
У. |
МЕТОД КВАДРАТИЧНЫХ ОШИБОК.
Г Л А В А |
I . |
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ТЕМПЕРАТУРНОГО НАПРЯЖЕНИЯ.
§ I . ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕШ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ТЕМПЕРА ТУРНОГО НАПРЯЖЕНИЯ.
Уравнения температурного напряжения в векторной форме
имеют вид: |
|
|
|
(X + fOijtadcktfU" -*j.V |
U |
=S> giadT , |
( I . I . I ) |
a |
|
# |
|
где T - заданная гармоническая функция. |
|
||
Общее решение втого уравнения можно представить |
так: |
||
П= А+С , |
|
|
( I . I . 2 ) |
где А - общее решение однородного лфаннения ( I . I . i ) Папко- вича-Арзаных, имеющее вид:
U = & ^^гас1(9-В(г,&)) + Й + |
[Ї.Ш) , ( I . I . 3 ) |
а С - частное решение неоднородного уравнения ( I . I . P , най денное автором данной работы [913 , имевшее вид:
С = a[ - 2(l - B) ; tT - Bx 1 < 3 iadTl , |
а л л ) |
где к 0 - число координатных измерений, B=C>*t**)^(>*i^ ,
Для удобства решения краевых задач общее решение ( I . I . 3 ) пре
образуем к удобному виду. |
Для этого докажем следующую лемму. |
|||
ЛЕММА. Если |
ч> |
, у и F |
удовлетворяют уравнению Лапласа |
|
|
v 4 * , 4 \ - n - o . |
( 1 Л . 5 ) |
||
то вектор |
|
|
|
|
* Cj-tadvy + tot г F ' |
|
|||
удовлетворяет |
|
|
|
|
у 5 ф |
= о^гасЫ^Ф-t0tt*t<| = 0 . |
(1.1.7) |
||
Доказательство |
осуществляется непосредственной проверкой. |
|||
Теперь положим |
|
|
|
|
+ <}tadi |
+ г о і г Г х , |
|
||
Й = г [ и - 0 ^ г - 2 . ( . г , ^ г а с І ^ + г . ^ г а с І ^ і + |
(І . І . 8) |
|||
где 4>t , у . |
, І\ |
- скалярные гармонические функции. |
Если подставим |
( I . I . 8 ) в |
( I . I . 3 ) , то получим |
+ ггог.ао1((1с.В-2В-ч)ч'+Ъ(*'1д,с.ис1ч,))^га^у+гоггГ, ( I . I . 9 )
if , f , f |
- скалярные гармонические функции. |
§2. К Р А Е В Ы Е |
З А Д А Ч И . |
Сначала рассмотрим первую, а затем вторую задачи. Предположим, что на поверхности упругого тела заданы смещения и температура
U* |
Т . |
(I.2.I) |
Тогда решение (I.I.2) можно представить так:
где
A Г , " > в Ч U » - ^ * г « . ъ - ' ^ Ъ K " V № . l ) ї I : J b ^ , ] .
(1.2.3)
С.- заданные фушщнп, определяеше формулой (1.1.4), |
|
||
Rt- коэффициенты Ламе, |
параметры, подлежащие опреде |
||
лению из условий минимума функционала. |
|
||
Для удовлетворения граничным условиям |
(1.2.I) положим |
|
|
£ L = C . * L a M Ai |
-U. |
. |
(1.2.4) |
Если бы выражение (1.2.2) было точным решением задачи теории температурного напряжения, удовлетворяющее граничным условиям, то мы получили бы £t = о . Но граничные условия не удовлетво рены, значит 6j отличны от нуля и представляют собой ошибку. Величину квадратичной ошибки определим по формуле
Є*- Z Є-* |
(1.2.5) |