книги из ГПНТБ / Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики
.pdf» |
" * |
Lm,xt |
(.пі,О |
|
|
|
|
|
||
2І О, И CL, |
Б- С°) О» |
|
|
|
|
|||||
Z E E Q j |
C-. ( о ) & и к у с « т ї = о , |
|
|
( З Л 4 ) |
||||||
2L, Ь 2_ CI: |
|
(oV^B |
|
с°ф»*у$;«»-Э = ~ • |
||||||
Бели первое выражение (3.8) |
разложим в ряд фурье по у |
и г |
||||||||
в промежутке ( о ; зт ), то получим |
|
|
|
|
||||||
|
% |
|
|
І |
. |
. |
|
К = |
1,3,5... |
|
|
T ^ F F ^ |
^ ^ |
^ |
^ m |
a , |
m = |
1,3,5... |
( З Л 5 ) |
||
Подставляя |
(3.15) в |
(3.14), |
можно написать систему уравнений |
|||||||
(3.14) так |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(.Пуле) |
|
<.™,К> |
|
|
|
|
|
|
|
|
ai |
К + аг |
= 0 |
, |
|
|
|
|
||
|
Cn,it.) |
а г |
, |
с™,^ |
C"i,o |
|
, |
|
||
Решением (3.16) |
будет |
|
|
|
|
|
|
|
||
а Г ^ - м А У ^ у ? • |
( З Л 7 ) |
Если подставим (3.17) в ( 3 . I I ) , то получим
^ ^ ^ £ 5 ^ |
_ |
Є |
) ^ ^ - |
(3.18) |
|
|
|
Применяя обратные преобразования Лапласа, получим искомое реше ние задачи:
t
D |
(3.19) |
t
о
X ( Ч - t f dt ^v. U r n і
Пример I I . Пусть дав полубебконечныж параллелепипед о основанием д, я высотой со , на гра ницах заданы
(3.20)
•Си
(3.21)
(3.22)
Применяя преобразования Лапласа и разлагая заданные в ряд Фурье по у и д в промежутках ( о, л ) и ( о, я. ), подучим
иmil
(з.2з;
( К Д , , г = о . ( a W - t G * W ° .
ранения втої задачи реиение |
(3.4) |
представим так |
|
•9 « u t s . i |
|
|
( 3 > 2 4 ) |
где |
|
|
|
|
|
, |
(3.25) |
а теязорн напряжении жмеиг вид |
|
|
|
~ S •й Д, o,~v -/"г* к ~ |
|
. . . |
|
Ptt« £ E І <V [>Aj1 w - ^ w |
^ |
l ^ i ^ * , |
<3-26> |
^ |
* *» oo |
3 |
0е m 1 |
( l O r l , |
(к rt4 |
124 В нашем случае
(їч>у)у =г ~ + (.^чД,^ , |
(3.27) |
Пользуясь (3.27) и подставляя (3.24) и (3.26) в (3.23), получим
u j кіс + CLa Si - о ,
a f " U • a f " ' ^ - о , |
< 3 - г щ |
Решая (3.28), получим
a |
ОТ p^icm^ |
1 |
(3.29)
a |
1G гГ0 |
|
Если подставим (3.29) в (3.24), то получим
ОООО
•Г? |
- - |
- |
(3.30) |
"Гт |
S |
Л / / o " ' x |
1 С І Г , , С . m l „ |
U ^ ^ — t t j i ^ - ^ ^ ^ ^ i . |
(3.30) |
Применяя обратные преобразования Лапласа, получим искомое реше ние задачи
16 U 0 |
( |
І 1 |
» |
і b "U |
|||
|
о |
|
J |
(3.31)
где г ї Г / it Vі f ™ Ч1 ! г-, . ГсГ" К = 1,3,5,...
Замечание.
Аналогичным пособом легко решаются следующие задачи:
1. Первая, -.горая и смешанная задачи для бесконечного слоя.
2.Первая и вторая задачи для полупространства и многосложного полупространства.
3.Задачи для параллелепипеда и другие.
§ 4. ддашчжжиЕ ЗЩМ В ЦШШВДРИЧБСШ
КООРДИНАТАХ.
Система динамических уравнена! теори упругост* в циджн-
дряческхх координатах имеет вид
|
-иа.г |
J-n-t1 |
' |
|
S |
^ -^Ї і" b № |
^ |
(4-І) |
|
A І ї й » У і ь . л У " » _ в Э Д
где |
^ О ^ У р •> ? - = ^ ' / г ' |
Применяя преобразование Лапласа с учетом начальных уоаожсі
получим решение такого вида
ГДв |
£и к") |
, |
(и к) |
А19'с<>)-" 3„(ІЛЛА? 0/(^4^ ,А,^о=иХ/слр,->,,
А |
=з |
и |
t ^ ^ T 0 1 |
А |
« |
=АС, A |
1 V |
с « Я , /сА j» ' |
5 ? |
|
|
|
|
|
Аа^ W - f ^ /сЛ |
^ Ам |
W = |
3и , |
Си к) _ |
С«|*1 |
. Си,к^ |
|
A5 J tO = « X , А |
|
, r V / j * - |
|
Рассмотрим пример. Пусть дана труба} на границах заданы смешения
( l i j ) ^ = ^ ! м , ї ) , j = W Л = <4 (4.4)
Применяя преобразование Лапласа, получим |
|
||||
|
|
. ~ |
ч |
~ ( 1 ) |
|
|
|
^ W ^ |
i |
(4.5) |
|
Разлагая |
(4.5) |
в ряд Фурье по Ч> и 3. , сравнивая получении! |
|||
результат |
с выражениями (.4.3), вычисленными при § = |
, полу |
|||
чим систему 24 |
алгебраических уравнений для определения "р/"'1^ |
||||
„(-"."ї |
|
|
,СИ.*') |
|
|
q.L |
, \ |
и SL |
, затем найденные значения подставляя в |
||
(4.3) |
и применяя обратные преобразования Лапласа, найдем иско |
||||
мое решение задачи.
Замечание.
Аналогичным способом легко решаются следуодпе задачи:
1. Первая, вторая и смешанная задачи для бесконечной трубы.
2.Первая и вторая внутренняя и внешняя задачи для цилиндра
жмногослойного цилиндра.
3.Первая, вторая и смеданная задачи для трубы и цилиндра ко нечного размера.
4.Первая, вторая и смешанная задачи для части цилиндра и тру ба и другие задачи.
§ 5. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В СФЕРИЧЕСКИХ. КООРДИНАТАХ.
Система динамических уравнений теории упругостн в сфешческих координатах имеет вид
Применяя преобразование Лапласа о учетом начальных условна
получим систему уравнений