книги из ГПНТБ / Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики
.pdfПользуясь (2.18) и (2.17), получим |
|
|
|
|
|
||
Есдс подставим (2.19) |
в третье уравнение |
(2.5), |
id получим |
||||
A = - z f o 5 V l * O * - X v f / T 0 « O ] • |
|
|
( 2 , 2 0 ) |
||||
Подставляя (2.20) |
я (2.12) в первое и второе 'уравнение |
|
(2.5), |
||||
яаЯдев |
|
|
|
|
|
|
|
$ г ^ К ^ ^ ^ ^ . ^ т ^ ^ - ^ ^ е ^ ^ - ^ о ч о / ? ! . |
( 2 ' 2 1 ) |
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
J - о |
J . |
' -^-P " ~ 1~ |
|
1 |
|
|
(2.23) |
Если подставим (2.12), |
(2.22) и (2.21) |
в |
(2.7) |
и (2.8) |
и (2.9), |
||
то получим |
|
|
|
|
|
|
|
^ M - A ^ ^ V |
, |
|
|
|
(2.24) |
||
rff4 |
Л * = |
+ U V A ^ V ^ ) / ^ , |
|
(2.25) |
|||
Внося (2.25) и (2.26) |
в (2.20), то получим . |
|
|
|
|||
Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид:
A ^ V ^ T . |
(2.28) |
где fi и - произвольные постоянные.
Для нахонденхя частного решения применяя метод Лагранха іархкща произвольных постоянных. $t н <§г должны удовлетворять СЛ9—
душе! системе алгебраических уравнении
Репая систему уравнения (2.20) относительно -тЬ ж |
ж вгге- |
грируя, будем иметь |
|
г |
(2.30) |
Бслх подставим (2.30) в (2.28), та авлучим обще* решение урав нени!
V K t \ + < / T ^ . ( M V W ^ ) . |
(2.31) |
Аналогично подставляя (2.31) в (2.25) ж (2.26), пожучим
Aa =ls V S ^ / ^ Г а ^ ^ А * ^ ^ > Ь Ь Л + х Л - и / ^ / , 1 |
(2.33) |
Реиенняыа уравнения (2.4) будут |
|
ф^С,,'^..?1*"-сі&н-ц? ^ £ =d[S«ici*cl^te* . |
(2.34) |
Внося (2.31), (2.32), (2.33), (2.34) С (2.2), получим рошанхе системы уравнения (2.1)
- ^CtA/t'^v^/OK^^^-^^U^-**^^*), ( 2 '3 5 )
Ршшкжем сшотеш уршежжі (2.1), жезанвсящвм от ч ж і будет
Гжитпш сжотеш (2.1), веэшвспрм от 2 • будет
(2.37)
Аналогичным способом можно написать реивяге системи уражені (2.1), независящем от Ц> , в таном жиде:
(2.38)
Объединяя (2.35), (2.37), (2.36) я (2.34), реааяш сать так:
(2.39)
где
єг = ї>;и |
t i * * Ї , є>г-Ьіир^Смкг |
t |
t'*1 -i Xw 7
§ 3. Т Е Н З О Р Н А П Р Я Ж Е Н И Й .
Пользуясь решениями (2.39) и известными формулами для вычисления тензоров деформации и напряжений, найдем тензоры на пряжений в цилиндрических координатах:
оооо С
где |
t i , o . |
и.м |
СР,-1 |
TP , ,Р |
B j |
= Ь І |
" Ь і = Т і |
ff^Si |
Ч |
* c 4 - ^ V , А 1 * ' * = 2 Г ( я ' З р - О р У ^ - л З р г ^ - , ) ^ ^ v ( 3 - 2 )
*[(>^>*Ч-ҐРЧ^^ІА*1 , A ^ ^ C q V ^ W ,
A * M C » - - ) r S V W f l A , А^°= d o , |
A ^ M V W |
||
^ V f l / * 1 |
і A ^^ypt^ - ^/^pV,,/^!/^ |
А{*Ч,ЦР№-ЦЇ,Д- |
|
V |
V / f l / * 1 • А І ^ Г Р ^ - 1 1 ^ ^ - 2 ^ ^ - ^ ! / * ' , А ^у* 1 " |
||
" t V V s V * |
, A"'^ayP ^P -^/,)/s , Ay=rP*V«» ,A?'V4/k ,. |
||
A l ^ r [ ^ - 0 i C O p V -- 3 , V « . A ^ ' ^ - O ^ V * - W , AT'= |
|||
,^h?, |
А?' м =а г к *р . C V V * . C * = f P |
^ , A ^ P B ^ V * - |
|
§ 4 . П Р И М Е Р I .
Пусть |
дана бесконечная труба с внутренним и внешним радиу |
|||||||
сами |
а |
и & |
, |
на границах которой при у Л |
заданы напряжения |
|||
и при $ = а |
смещения |
|
|
|||||
|
fot\ |
= e |
^ ' |
К |
ї ) . ( U ; \ ; a = F f U , ^ |
, |
(4.1) |
|
где |
Ft ( a ' |
|
и F^' |
- |
периодические функции, |
удовлетворяющие ус |
||
ловиям Дирихле.
Разложение функции, заданых на границах, в ряд Фурье дает:
1 |
Р „ « . 1 і ' 1 |
р г „*=.^,5 1 і |
(4.2) |
Нормальное напряжение в Цилиндрических координатах имеет вид:
^= ? V i , (4.3)
Для нашей задачи при 4-і
Проектируя (4.3) на оси іпшшдрическнх координат, будем иметь
Если подставим (4.4) в (4.5), то получим
Сравнивая (2.39) при <> = а и (4.6) при $-.ь . с (4.2), получим систему 24 алгебраических уравнений с 24 неизвестными.
Подставляя найденные значения ? •Р'^...1 ^Р '"' в (2.39) или (3.1), найдем искомое решение задачи.
§ 5 . П Р И М Е Р 2 .
Пусть дана бесконечная труба с внутренний и внешний радиусами а и і , на границах которой при $=а і ^ 4 заданы напряжения
где F U . w - функции, удовлетворяющие условиям Дирихле, абсо лютно интегрируемые.
Разложение заданных функций (5.1) в ряд по Ч1 , затем по а в интеграл фурье, дает
|
г, w |
^ |
x |
i N |
i ^ , |
w 6 . і * . |
(5.2) |
|
Для нашей задачи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при ч--<х: |
^ ^ , J t » o 1 ( i j |
= 0 |
i |
||||
|
П Р И |
'• о Ц ^ 1 ^ с А ч = ; о , » * * = 0 . |
|
|||||
В силу (5.3) формулы |
(4.5) |
примут вид: |
|
|
||||
Заменяя в |
выражении |
(3.1) |
вместо |
2, |
интегралом ^LIAk и |
|||
сравнивая |
при 9 - а |
и |
при |
с (5.2), |
получим систему ал- |
|||
гебраических уравнений для определения г- |
, . . . ; Ь-^ |
|
Подставляя найденные значения г. ' |
^ ' |
в (3.1), получим |
искомое решение задачи. |
|
|
§ 6 . П Р И М Е Р 3 .
Пусть имеется цилиндр с радиусом о. в высотой U . На границах заданы смещения:
В нашем случае решение (2.39) можно представить в виде:
" Р=о к=. |
1 |
(6.3)
Р=0 К.-0 1=1 |
|
|
оо оо |
5 |
Сії |
Р=о |
t*l |
|
где
Решение (6.3) автоматически удовлетворяется граничным условиям (6.2). Разложим (6.1) в ряд Фурье такого вида
( 6 - 4 )
Сравнивая (6.3) при $ = а |
с (6.4), |
поду чин |
Х о д |
=«=І. |
і |
Решая (6.5), наїдем CL . Подставляя найденные значения в (6.3), подучим искомое реиение задачи.
З А М Е Ч А Н И Е .
Из вышеуказанных решенных задач в §§4 ,5 .6 следуют, что легко решаются следующие задачи:
1)первая, вторая и смешанная задачи для бесконечно! труби,
2)первая и вторая внутренняя и внешняя задачи для бесконечного цилиндра,
3)упругая область, разделенная цилиндрическими поверхностями
раздела,
4)первая, вторая и смешанная задачи для трубы ж цилиндра ко нечного размера,
5) первая, вторая и смешанная задачи для части пдлиндрс ж тру
бы и другие.
§ 7. РАЗДЕЛЕНИЕ ДЕКАРТОВЫ! КООРДИНАТ.
Система уравнений равновесия упругого тела в декарто вых координатах имеет вид:
И
(7.1)
ї ї * + ї ї * л . *IOLH* + , f l H i |
> |