книги из ГПНТБ / Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики
.pdfТ;С-"-) - корнж уравнения
Проекции нормального напряжения имеют ннд:
(3.12)
В нашем случае:
при «. = 1 •. ^ i = ^ t , $4 = 0 , tt =o ;
при |
4 = |
7. |
• |
' |
h - * 1 |
. У,= в ; |
(З.ГЗ) |
при |
4» |
' J |
• « ' і 1 |
0 . |
, |
ї г " * 1 . |
|
В силу (3.13) будут иметь место следующие выражения
(3.14)
Пользуясь |
(3.14), |
разлагая (3.9). в ряд Фурье и сравнивая полу |
|||
ченные результаты |
с выражениями |
(3.10) и ( 3 . I I ) , |
вычисленными |
||
при ot=i |
, s . j |
і j - . J |
, |
получим 24 алгебраических урав- |
|
ненжі для определения QJ"-"1 , |
і!"'""' и С^"° . |
|
|||
Подставляя наиденные значения в |
(ЗЛО) и (3.L.) |
и применяя об |
|||
ратные преобразования Лапласа, получим искомое решение задачи. Аналогичным способом легко решаются следующие задачи:
1)первая и вторая задачи для полупространства,
2)первая, вторая и смешанная задачи для слоя и другие.
§4. ДИНАЫИЧЕСагаш ЗАДАЧИ ТЕОРИИ СВЯЗАННОЙ ТЕРЫОУПРУГОСТИ ВВДЖОДРИЧЕСКИХКООРДИНАТАХ.
Система дифференпиаяыгах уравнений теории связанной терноупругости в цилиндрических координатах имеет вид:
^ U X r t U l |
) + |
- L ^ + |
^ U ± l ^ |
і т и , ' |
" i i U " » 4 |
/ |
->t-iii f Tit1 |
у т>г ' |
|
і |
|
г щ 1 |
-tufHJ" t->io* -»гг |
|
(4.1)
r*l./VlJis-\ 1"2LHI ЦУд I L"LHi. |
i^tHi |
Применяя преобразования Лапласа с учетом начальных условии
Оя\,г(н*\*.-(*\..'°. |
*'г-4.* |
(4-2) |
систему уравнений (4.1) можно написать так: |
|
|
j l f — b u U ' l M ' * |
і "»aut a "»u^ |
/і-Л^ч (4.3) |
, г І і<чн.л. o?0> VG» -і |
v |
^ ^LS*4 ( |
Решением этой системи уравнения будет
г |
«г. к:. Ліі Л ч |
* г J |
и »• Кг* Хг і
§ = £ Б Г A > t w a * t •
А , г = 3 ; А » г |
, A W « " V i A , i • A w = ^ А Ч ) |
А Ї Ч |
|
, A W |
=*«^Л , А,ч -ю/*, |
|||
At < f |
* " ^/г , А, ч |
= и V * , A t 4 |
о и *А ( |
|||
АЦ = A u |
» А П |
|
«О, А и |
-О, А„ в | е „ t |
||
А»4 |
|
, А „ |
= |
f A u =А„ |
= » l A S e « s 3 > |
|
A V E =У/ , |
A S E |
«^3 , Ав , - у ^ |
, А ! ( =ч^ > |
|||
А „ |
= |
. |
|
|
|
|
r-> |
(ИМ |
fl'"-"1 |
-«"Х1 |
Jl M '") |
Рассмотрим пример. Пусть дана труба о внутренним и внешник радиусами а и 6 , на границах которой заданы смещения и температура
( и |
Л . 1 - * С ^ ^ |
• |
* = |
(4.5) |
Применяя преобразования Лапласа, получим |
|
|||
|
|
|
|
(4.6) |
Разлагая (4.6) |
в ряд Фурье и полученный результат |
сравнивая |
||
с выражением (4.4), вычисленным при |
г. = "В , получим 32 урав |
|||
нения с 32 неизвестными для определения я£"' |
ol^'R , . Под |
|||
ставляя наиденные значения в (4.4) |
ж применяя обратные преоб |
|||
разования Лапласа, получим искомое решение задачи. . Аналогичным способом легко решаются следующие задачи:
1)вторая и смешанная задачи для трубы,
2)первая и вторая (внутренняя и внешняя) задачи для цилиндра,
3)первая и вторая задачи для многослойного цилиндра и другие.
§5. ДШШ.МЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ СВЯЗАННОЙ ТЕРШУЛРУГООТИ
ВСФЕРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
Система динамических уравнений теории связанной термоупру
гости имеет вид:
•її
- >• « q гоихи
( 5.1 )
Применяя преобразования Лапласа с учетом начальных условий
систему уравнений (5.1) можно представить так:
P і 1 |
і ft. |
а~*Ъч\ і -і"ив -Vі , ~ . |
Vu» г - п rt |
і ^ 6 |
|
Г - Т І |
~ Г-ті |
' |
u v = \е |
uv Jt , е= \ е т |
eat. |
о |
о |
|
Решением 8той системы уравнений будет
где A > ^ [ t 4 5 1 , A ^ ^ V ] ,
K W V ^ , B > - t ^ , в Г с ^ Н с ^ ) ,
Рассмотрим пример. Пусть дан шар радиуса Ті , на поверхности заданы смешения и температура
Применяя преобразования Лапласа, получим
( а » ) г - - я - U * C V . ^ , |
(5.6) |
Разложим (5.6) в ряд вида
, to
Вычисляя (5.4) при 1-Я в полученный результат сравнивал с (5.7) .получим 8 уравнений. Решая полученную спстеглу 8 уравнений,
найдем |
Q. |
"'"* , и'."'"' , C'"'"^i |
• затем подставляя най |
|
1 |
1 |
|
значения |
в (5.4^) и применяя ооратние преобразования Лапласа,по |
||
дучим искомое решение задачи. |
|
||
Аналогичным способом легко решаются следушціе задачи:
1.Вторая задача для шара,
2.Первая,вторая и смешанная задачи для сферической оболочки,
3.Первая п вторая внешняя задачи для шара и другие задачи.
Ч А С Т Ь |
П І . |
РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В СИСТЕМАХ УРАВНЕНИЙ ОРТОТРОПНОГО ТЕЛА С КРИВОЛИНЕЙНОЙ АНИЗОТРО
ПИЕЙ.
Г Л А В А I .
РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В СИСТЕМАХ УРАВНЕНИЙ СТАТИКИ И ДИНАМИКИ ОРТОТРОПНОГО ТЕЛА С КРИВОЛИНЕЙНОЙ АНИЗО ТРОПИЕЙ В ДВУХМЕРНОМ ЭВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ.
§ I . ОБЩЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ.
Вработе найдены все система координат, в которых
•системы уравнений статики и динамики ортотропного упругого тела с криволинейной анизотропией в двухмерном эвклидовом пространстве допускают разделение переменных.
Системы уравнений ортотропного тела с криволинейной анизотропией в двухмерном эвклыовом пространстве имеют вид:
U^\J |
* К к H>^«b |
^ ч * ( I . I ) |