книги из ГПНТБ / Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики
.pdf§ 8. РАЗДЕЛЕНИЕ СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТ.
Уравнения динамики упругого тела в сферических коор динатах имеют вид:
Решением системы уравнений (8.1) будет:
и « « r u t * * |
j = V f l |
J |
J" |
Ь ^ - Л ^ Ь / с ) , ^)-г\^гш), |
^(wfa, |
(8-3) |
§ 9 . Т Е Н З О Р Н А П Р Я Ж Е Н И Й .
Тензоры напряжений в сферических координатах можно пред ставить в виде:
Р.. - ё " 1 S t і I |
- * r |
е р і . |
, |
ним» ]:l 1 і |
J" |
1 |
|
в . . Ц і Н ' г * г ' ь р > Г л - к Г ^ Г Ч ' * ^ -
где
§ 10. |
П Р И М Е Р |
|
І. |
|
Пусть имеется сферическая оболочка |
с ввутрентш и внешним |
|||
радиусами а и 6 |
.На границах заданы смещения: |
|
||
( U j V . ^ & ' ^ U ^ t e ^ ) |
, |
І - г < в ' * ' ~ " а - 1 - |
( 1 0 л ) |
|
Разложим заданные функции (ЮЛ) в ряд такого вида
|
|
|
|
|
(10.2) |
|
|
гизо |
|
|
|
|
+ U , |
? |
- у р |
Г .««Ч (• |
|
Вычисляя |
(8.2) |
при ъ = а |
j г--{ |
и полученный результат срав |
|
нивая с |
(10.1) |
и (10.2), |
получим систему 12 алгебраических урав- |
||
(10.3)
Решая систему уравнений (10.3) и подставляя найденные значения
в(8.2), получим искомое решение задачи.
ВЫ В О Д .
Из решенных задач следует, что легко решаются следующие задачи:
1)первая, вторая и смешанная задачи для шаровой оболочки,
2)первая ц вторая внутренняя и внешняя задачи для полого шара,
3)упругая область, разделенная сферическими границами раздела
идругие.
Г Л А В А У.
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА.
§ I . ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПЛОСКИХ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ.
Система динамических уравнений теории упругости в плоских декартовых координатах имеет вид
(I.I)
-6^ca |
-»уг |
' І * ' » У ' "fit |
где и-Сь^ї^/р |
, P = V ^ |
|
Применяя преобразование Лапласа к ( I . I ) с учетом начальных ус ловий
|
|
|
|
= 0 |
L = |
Систему уравнение ( I . I ) |
можно написать |
так |
|||
^ |
' |
-Т)тсг |
-by2 |
-V*.-*y |
X |
UL« |
+ |
C o t * 0 ^ |
= |
* f її |
|
Решением системы уравнений (1.3) |
будет |
|
|||
Ux = 2_, L Ca L А ^ ^ у Л , Д. u^U^a),
ГДЄ |
О ] |
. |
a.-*. o i |
-а-зс |
. ( . о |
в 6-х. |
. 0 0 |
n -6-х. |
|
c^)= i e |
, Д,_<?о = - а е |
^ j W ^ e |
, Б к м = - к е |
||||
Рассмотрим нример. I.Пусть дан угольник, на границах при -ас = о и w = о заданы смешения и напряжения
( u s ' U ° .
Ч Т ) ^ . /' 4 ==00 |
0 |
|
( 1 - 5 )
(1.6)
Прій«няя преобразование Лапласа к (1.5) и (1.6), получим
(1.7)
(1.8)
/ - г і ї л ;
где ~0о н U o - постоянные скорости.
Для решения этой задачи решение (1.4) конно представить так
U 4 = Z Z ( a В. с^СомсУ + & A. U)bi»ic*} |
(1.9) |
1 0 6 |
А <-"0 |
, |
- ла |
. (>о |
_ п -6-І» |
|
где |
А,_ счгО = к е |
, |
Аг с ^ = ь е , |
|
||
В нашем случае |
|
|
|
|
||
|
|
/~ s |
|
/ ~ |
N |
( 1 Л О ) |
|
|
|
|
|
|
|
Пользуясь формулами для вычисления тензоров напряжений ж (1.9), получим
( I . I I )
К1=1 1 = 1
где |
К - |
нечетные числа, |
т.е. К = |
1,3,5,... |
|
||
Если |
11.II) подставим в |
(1.10), |
то получим |
|
|||
|
К - 1 |
L - J . |
|
|
L |
J |
(I . I2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ Ц К |
A; ( ° V > K Ъ:"СЛ] |
= о. |
||||
|
К = 1 |
1 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
т7 |
|
|
|
|
Теперь разложим в ряд Фурье ^ |
в |
промежутке |
(°,зг ) |
||||
Г -згр i L -' -к
Подставляя |
(І.ІЗ) |
в (І.12) ж сравнивая, |
получим |
|||
b1 - 2 к а + £ 2 |
( а + К ) = 0 . |
|
||||
Пользуясь |
(1.5), (1.6) и |
(1.9), получим |
|
|||
CL , y V- |
|
В Convey = О, |
||||
|
~° |
їс=1 і. - |
1 |
|
|
|
|
|
v f p ' V ! , , |
|
|||
Из (I.15) |
будем иметь |
|
|
|
|
|
|
Q 1t>lа- + а 2оок |
= о |
, |
|
||
|
|
(У> |
рООa |
|
|
|
Решая системы уравнений |
(I . I4) |
и |
( I . I 6 ) , |
получим |
||
Если подставим (I . I7) в (1.9), то получим
оо
00 f
(1.15)
(I . I6)
(I.18)
Теперь применяя обратные преобразования Лапласа, получим искомое решение задачи.
4ir„
(I.rf)
г д е
Пример I I . Пусть дан утольншн, на границах при х=о и у = о заданы
(Ь20)
(I . 2I)
Применяя преобразования Лапласа к (1.20) н ( I . 2 I ) , получим
( и У ) |
= о |
(1.22) |
|
||
|
|
(1.23) |
Решение можно представить |
|
|
К = 1 I - - 1 |
|
|
~ . , 2 2 * |
„ |
(1.24) |
К= 1
атензоры напряжения имеет вид
К= і 1 = 1
^ |
оо а |
(«л г • ^ |
С і -і |