книги из ГПНТБ / Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики
.pdfА(?'0 = А 1 1 ( і у г і О - А а - « 1 А м |
t Ъ(.М = "ЧАМ «-Ац- |
||||||
- С А и * А и Х \ Ю І |
, Ад Іаі«)=САіг'-А«Хт) «'')*А1 1 *Аа , |
||||||
&t (*0 = A u ( y * « f - At 4 - |
A w , «I = » 2 (A„vА$ Л , |
||||||
Ж**-» = m1 |
[ l A „ * A u H Y a ^ * A „ - A l v ] , % = ^ ( ^ * ^ • |
||||||
A , . ^ * 0 = A s s C V 1 " * 1 ^ " ^ ^ • |
|
|
|||||
|UK=*0= ( А ^ А ^ К И ^ а ^ ^ - А ^ г А ^ |
, |
|
|||||
где |
определяется из уравнения |
|
|
||||
А н А м |
-1 A u (Aw +„* A„) * (А,»*"*At t ) A 4 t |
- |
|||||
- * |
( A ^ A * ) * ] * 4 |
+ |
А і г А«(« г - і) 2 =о . |
|
|
||
Бели положим |
<Л = о |
и |
$=o |
в выражениях |
(4.3), (4.4) и |
||
(4.5), |
то получим решение системы уравнений |
(4.2) |
|||||
|
|
|
§ 5 . П Р И М Е Р |
I . |
|
||
Пусть заданы на границах трубы смещения |
|||||||
Разлагая заданные функции (5.1) -в ряд Фурье, |
будеы иметь |
||||||
|
\ |
= |
|
|
• |
|
{ 5 - 2 ) |
Вычисляя выражения (4.3) при %=ci и г-1 |
и полученный ре |
||||||
зультат |
сравнивая с |
(5.2), получим 24 алгебраических уравне |
|||||
ний с 24 неизвестными коэффициентами. Подставляя найденные значения в (4.3), получим искомое решение задачи.
Аналогичным способом легко решаются следующие задачи: I) первая, вторая и смешанная задачи для трубы,
2)первая и вторая внутренняя и внешняя задачи для цилиндра,
3)упругая область, разделенная цилиндрическими поверхностя ми раздела,
4)первая, вторая и смешанная задачи для трубы и пилиндра конечного размера,
5)первая, вторая и смешанная задачи для части вдлиндра и трубы и другие.
ГЛАВА I I I .
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ОРТОТРОПНОГО ТЕМ.
§1. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ОРТОТРОПНОГО ТЕЛА В ПЛОСКИХ. ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ.
Система динамических уравнений теории ортотропного тела в плоских декартовых координатах имеет вид
(А + А \ 1 ^ = Л Х <
(I . I)
Применяя преобразование Лапласа с учетом начальных условий
(1.2)
получим
A ^ + A b ^ + ( A l i + A U ) :
(1.3)
Решением системы уравнений (1.3) будет
(1.4)
где
(1.5)
где її - определяется из |
уравнения |
+ ( ? Р ^ к A „ ) ( S A K |
А ,,0 = о • |
Рассмотрим пример. Пусть дан |
прямоугольник с основанием а |
и высотой |
ё . На границах заданы смеще |
ния и их нормальные производные
Для решения этой задачи решение (1.4) представим в таком виде
4.
U ^ - Z E l ^ А ч ^ ^ у Д ^ А. ^ С о , ^ ^
(1.8)
де
(к!
(1.9)
t : - корни характеристического уравнения
- А ^ ^ М ^ А к Х О ^ Р ^ Х О ' 0 .
А- С У ^ ( А и г г ? Р - і с , А , ( > ^ ,
Tj - корни характеристического уравнения
Применяя преобразование Лапласа к (1.7), получим
С § ) |
= ? Д « . с = . \ |
- Т е л . |
|
|
(І.ИІ |
Разлагая заданные функции (1.10) "в ряд Фурье, сравнивая получен ный результат с выражениями (1.8), вычисленными фи :к = с и ч = <{ получим систему 8 алгебраических уравнений для определения а " ^ и V . Если подставим найденнне значения в (1.8) и применял об ратные преобразования Лапласа, получим искомое решение задачи.
Замечание.
Из решенной задачи следует, что легко решаются следующие задачи:
1.Первая, вторая и смешанная.задачи для бесконечной полосы.
2.Первая и вторая задачи для полуплоскости и многослойной полу плоскости.
3.Задачи для прямоугольника и угольника и другие задачи.
§ 2. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ОРТОТРОШОГО ТЕЛА С ЩШВДРИЧЕСКОИ АНИЗОТРОПИЕЙ В ПОЛЯРНЫХ КО
ОРДИНАТАХ.
Система динамических: уравнений теории ортотропного тела с цилиндрической анизотропией в полярных координатах имеет вид
(2.1)
Применяя преобразование |
Лапласа с учетом начальных условий |
||||||||
( U i V o - G £ L = 0 |
' |
|
|
|
|
(2.2) |
|||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а- гд i 5 t + д |
( V — * + M |
l + |
АІ£І_ГАЛ5ч Л , |
и*L |
|
||||
+ А ^ А ^ т Г |
- л , А и ~ А 1 г ^ и , |
а Г | |
|
|
|||||
- |
~ |
^ |
|
|
- |
|
|
~ |
(2.3) |
А 1 Л - І И Ь - Л М * . |
УИ |
+ |
ГА |
г |
« |
і-('5-!iч,.1 |
- |
||
л 6 6-^г_г^>^f |
-т,г |
г. |
J |
гт>ч>1- |
И |
гі |
г \т>у |
||
Решением системы уравнений (2.3) |
будет |
|
|
|
|
|
|||
U^tt |
A ^ O v n j Q ^ ) |
|
|
|
|
( 2 . 4 ) |
|||
1 И Г О I " l |
J |
' в |
216
где
t
£ І І 1 = -АС«0 І
В Ы ~ и * [ А 2 , * А М - ( А В * А ^ ( 1 1 . ^ | 0 \ ,
Ь Д М = A t t ( V 2 - f - A w - « 7 A 2 , L ,
Ди\Х~ [A u (A b f e * А г з ) + И г г . „ Х / ) А а -
Рассмотрим пример. Пусть на границах кругового кольца зада ны смешения
Применяя преобразование Лапласа, будем иметь
Разлагая (2.6) в ряд Фурье, полученный результат сравнивая с выражением (2.4), вычисленным при t = a и t=E , получим 8 ал гебраических уравнений для определения а'""* и £ C n 1 . Если под ставим найденные значения в (2.4) и применим обратные преобра зования Лапласа, то получим искомое решение задачи.
§3. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ОРТОТРОПНОГО ТЕЛА
ВПРОСТРАНСТВЕННЫХ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ.
Система динамических дифференциалг.ных уравнений теории ор тотропного тела в пространственных декартовых координатах имеют вид
Т>4|« . л -6*11» . д -гац.
(3.1)
Применяя преобразование Лапласа с учетом начальных условий
(3.2)
218
получим |
|
Ф ^<№^<\^Ш |
= л , |
A J ^ C ^ A ^ A ^ |
, ( |
Решением системы уравнений |
(3.3) |
будет |
|
|
||
|
Ц- = Z - 2L Z . |
А Ы Я... |
(9 =П |
(3.4) |
||
ГДЄ |
С")1"") г |
а |
2 |
_ |
t. |
|
|
A.L S С * ^ Ц ^ ^ С А « Ч - С Ж е |
|
||||
^ i x W = a L |
6 - a < ' < v b d \ 4 , |
(3.5) |
ff, = Селим ( « m l |
|
|
і = - ??' - n 2 A M - m 2 |
A ^ , |
|
С = |
»2 A ^ - m a A „ , |
|
^ = A 1 4 |
r A c c , |
(3.5) |
где |
t t определяется из уравнения |
A 4 |
A „ A u г 6 - [ А 1 4 А 5 5 ь - A 5 5 A u a - А 1 4 А « с + |
+ A M n V * A » " V K + l < ^ А ^ & с А » + |
|
|
(3.6) |
+ a d A t t ^ 2 ( n m ) « ! J ^ + 8 ( > 5 > V c ( , r " , 0 - |
|
- ( п т ^ ) 2 А 1 1 ] г 2 + а & с - а ( и т ^ > 1 = о . |
|
Рассмотри пример. Пусть дан бесконечный слой,на границах при
ж = С задана смещения |
|
|
л , \ |
.0 Сс). |
(3.7) |
Применяя преобразование Лапласа,получим