книги из ГПНТБ / Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики
.pdfРешением этой системы уравнений будет
Иго л » |
j - 1 0 |
о |
= > " ' , в |
- 1 j |
J |
J
чти |
ь с ^ е т : Ed; *>< |
где 1
А, М="-(.»»*Ої>г г 3 > Ал_со="С»*Оуъ / / >
в Г Ь - Л , в ^ = Л , o - W & y
Рассмотрим пример. Пусть имеется сферическая оболочка о вну тренним и внешним радиусами а и ё На границях заданы смещения
Применяя преобразование Лапласа, получим |
|
|
( ^ ) t . * = ^ > ^ - . |
• |
(5-6) |
Разлагая (5.6) вряд, получим |
|
|
УЛ - о Hi - о |
J ' |
|
Ч Г ' Г Х П ^ Ї Г - ^ Ї П ^ - |
( 6 . „ |
|
Вычисляя (5.4) при г=-х и полученный результат сравнивая о
(5.7), |
получим 12 алгебраических уравнений для определения а"'"1 |
ь і |
• • • •аі |
Затем найденные значения подставляя в (5.4) и применяя обратные
преобразования Лапласа, подучим искомое решение задачи.
Замечание.
Из решенной задачи следует, что легко решается следующие задачи: 1 . Первая, вторая ж смешанная задачи для шаровой оболочки.
2.Первая и вторая внутренняя и внешняя задачи для шара ж много слойного шара я другие задачи.
Ч А С Т Ь I I .
РАЗДЕЛЕНИВ ПЕРЕМЕННЫХ ВСТАТИЧЕСКИХИ ДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ ТЕОРИИ СВЯЗАННОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ.
Г Л А В А I .
РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ ТЕОРИИ СВЯЗАННОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ В ДВУХ
МЕРНОМ ПТОСТРАНСТВЕ.
§ I . РАЗДЕЛЕНИЕ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ.
Уравнения теории температурного равновесия в декартовых координатах имеет вид:
где Т |
5 Т а |
- заданные функции, =I=.0>+J-VJ. , |
V~fy*' |
Раэдохжм заданные функции в ряд Фурье
Решение системы уравнений ( І . І ) будем искать в виде
Подставляя (1.3) и (1.2) в |
систему уравнения ( І . І ) , получим |
(cUOal'-^cXj-oUBj |
= ?oL,1^^i n |
g i " - U*i)H i 6 1 >«t»a;= - P nJ^«vY l . |
( I ' 4 ) |
Реиекием система уравнении (1.4) будет
(1.5)
1.-1 |
' |
i=t |
где а»1 = Не"*^Ф1е"х«[«+е"ЛФіе*'*'4,
(1.6)
_ |
-пж- |
, |
-кос |
5 2 г = -Є |
7 S2t =°tnote |
Система динамических дифференциальных уравнений теории связанно! термоуцругости в плоской декартовой системе коор динат имеет вид:
(I
Решением сжстемн уравнений |
(1.7) |
будет |
|
|
||
Ц х =е . |
Г |
2 Ai « ( ^ |
|
•tj С к Ч ) |
, |
|
_ l u 5 t |
S, |
. / |
С« |
лс" |
ч |
( I . |
9 = e S E C : w(a j с^ка),
где А^'сгЬке^ ,БГсг) = ч ^ і г , 0 ^ = °
2 = *-, У |
t - t - корни характеристического уравнения |
}=4,*»,5,с , t : - корни характеристического уравнения
(«иог^- ї О ( 2 к * П ) * Л V K 2 +
Рассмотрим пример. I ) . Пусть дана бесконечная полоса. На гра ницах при а. => о и сс = а заданы смещения и температура
-lot^Cci |
СУ), Сс=о,сО. |
(1.9) |
|
(Є) х = с =е |
^ |
|
|
Разлагая заданные.функции |
(1.9) |
в ряд Фурье, сравнивая подучен- |
|
Енй результат с выражениями (1.8), вычисленными при ос-с |
, по |
||
лучим 12 алгебраических уравнений для определения а'"0 и |
б ? 4 , |
||
Бели подставим найденные значения в (1.8), то получим искомое решение задачи.
2). Пусть дан прямоугольник с основанием а
ивысотой % . На границах заданы
-Lat |
(1.10) |
Ддя решения этой задачи решение |
(1.8) представим так: |
U , = Є 2-Х- Ct t i A f ^ " |
&: Ь. H j U к„*} |
U 4 = & X X! C^j B. w U 4 s <-i A ^ S m * , , * ) ,
а тенэврэ напряжекия кмевт БЕД:
-p. |
- iiot"2, І , С „ 0 ^ r „ t " i |
.1*1 |
, |
|
е Е X (О. J.[BJ |
с») - к х А- |
с*>]с^3 + |
где
Проекции нормального напряжения имеют вид:
|
|
|
|
|
|
( I . I 3 ) |
Разлагая заданные функции в ряд Фурье, сравнивая полученнні |
||||||
результат |
с выражениями ( I . I I ) и ( I . I 2 ) , |
вычисленным при |
||||
сс=с |
і |
Ч--СІ |
и принимая во внимание ( I . I 3 ) , |
получим сяотецг |
||
«лгебраяческшс уравнений для определения |
а^' и |
. Есдя |
||||
подставим найденные значения в ( І . І І ) я |
( I . I 2 ) , |
те |
получай жэ- |
|||
жокнэ смещеная ж напряжения. |
|
|
|
|||
Аналогичным способом легко решаются следующие задачи: |
||||||
1) |
первая і |
вторая задачи для полуплоскостж, |
|
|||
2) |
вторая ж смешанная задачи для полосы ж другие. |
|||||
§ 2. РАЗДЕЛЕНИВ ПОЛЯРВЖ КООРДИНАТ.
Уравнения температурного равновесия в полярних кояржж- натах имеют вид:
гда Т , T g ,Г Ч - заданные функции, = (-x-ij-Vj. , Т>г?/р ,<p-«/jf Разложим зятанные функции в ряд Фурье-
іза
Ревзни системы уравнений (2.1) будем искать в виде:
|
^ |
|
' |
( 2 - 3 ) |
Подставляя |
(2.2) н |
(2.3) в (2.1) |
и приравнивая коэффициенты |
|
щш |
н С«ИV? |
нулю, получим систему 4-х |
днфференцналь- |
|
ЕЕХ уравнений с 4-мя неизвестными функциями |
|
|||
•< тії і^У |
f 1 * ? |
- •'% - |
ф * и . , |
|
|
|
|
|
(2"" |
І |
|
|
|
|
Решением оистемв уравнений (2.4) |
будет |
|
||
|
|
|
|
(2.5) |
где |
|
|
|
|
V |
и ~ * |
, |
. W * l |
- И - 1 |
|
|
|
|
(2.6) |
A ^ r W ^ - ^ W V
Система динамических уравнения теории связанно* термеупругости в полярної системе координат имеет вид: