книги из ГПНТБ / Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики
.pdf2 V *С*- |
* УЧ-т.а^ e |
*?a sza e ^ . (2.i8) |
Решеижеы этого уравяемня |
будет |
|
Возвращая к старым переменяны, подучш
где р. , |
tj,. г |
- |
произвольные постоянные. |
||
Подставляя |
(2.20) |
во второе |
(2.16), |
подучим второе решение |
|
_ |
l O t |
n * l |
lO, |
VI. I |
_ „ . v |
где
Для сокращения записи введен обозначения
Тогда решения (2.20) и (2.21) окончательно приму? вид:
(2.22)
к* = * . а и т^Лч -іАч +їМ .
Решеииеи урішнлния (2.5) будет
ф = fjS.inhM' + f b C o i h ^ , |
(2,23) |
Подставляя (2.23) к (2.22) в (2.2), получим решение система уравнения (2.1)
Решения прх и •= о ж |
п = і жмвют вид: |
|
и , - ? » ^ - ^ ' 1 |
, и *р = ? Л + ( М " \ |
(2.25) |
Объединяя решенжя (2.24), (2.25) и (2.26), можно написать ре-
иеняе в такой форме:
где обозначено
«Л» "S , Ы з = Т М " " ' " = 1 - ^ 3 С"-"'1 -'*)?
а » ' = і , а Г - с » — ' - а - ) * " " , а Г = - Г 1 > « Г =
§ 3 . Т Е Н З О Р Н А П Р Я Ж Е Н И Й .
Пользуясь решением (2.27) и известными формулами для ььчмслення тензоров деформации и напрякений, найдем тензор на пряжений
^ И Г О І - і
п-о 1 = 1 ' W. 1
= Ї £ (а-"с«ьч - ,
/ |
- 1 |
„1С) |
^_ |
|
|
|
|
§ 4 . П Р И М Е Р I . |
|
|
|
||||
|
Пусть на границе круга упругого тела при |
за |
|||||||||
даны смещения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
( u i \ s |
1 L = |
V * 0 |
, i - s , f |
. |
|
|
(4.1) |
|
Решение (2.27) для нашего случая можно написать |
так: |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.2) |
Разложим (4.1) |
в ряд Зурье |
|
|
|
|
|
|||||
|
V ' |
|
|
|
и = 1 |
|
|
|
|
|
|
где ^(.Ч>) |
- |
функции периодические и удовлетворяющие условиям |
|||||||||
Дирихле. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнивая |
(4.2) |
при |
g ="R |
с (4.3), |
получим |
|
|
||||
С, =bs |
/2R |
|
, |
С6 |
= е^/гтг. , |
|
|
|
|
|
|
C i t , * |
* c ' * |
=ci 4 |
, 0 , 1 ^ |
* C t |
H |
, |
(4-4) |
||||
Решая систему |
(4.4), |
найдем |
|
|
|
|
|
||||
|
О1"» |
p С*) |
|
|
-Сні ( n J |
(ні |
(иі |
|
|
||
c t m = i b t _ l i » _ |
, |
С с " - Л _ А _ 1 а |
* ^ |
„<- |
. л , |
(4.5) |
|||||
Если подставим (4.5) в (4.2), те получим
to) ОО
U 4 = 6 4 V a * i ^ |
H M ^ l J t lSi.„V t |
Таким образом, мы получили форюльное решение первой краевой внутренней задачи для круга в виде рядов. Покажем, что полупен ное решение (4.6) является искомый. Для этого докажем сходи - мость рядов (4.6), возможность ида£ферензгаров8яияи непрерыв ность не границз круга.
Цусть
и^'-Г ґa^" + e, > \•>l , V, ', Г„1"\.«*> o w *"\,»-ч, |
(4 ' |
Вычислим m -ю производную функций u^ 1 і u ' " по ^
(4.
Отсюда получаем опенку
|V"U,f 1 І л і г /_1-Ч »<"'. t«) гч-і , (ЛЧ (."1 .(.«І t v,, n - i .
При любом целом |
n , изменяющемся от I , 2, 3, |
4, . |
имеет место |
|
|
|
•hi і |
(4.10) |
Пользуясь (4.10), |
|
А' |
выражения (4.9) мохно написать так: |
||
|
Т) vf |
(4.ГІ) |
Теперь рассмотрим такие ряды
Из этого видно, что они сходятся равномерно при t<-i и при любом ш . Поэтому ряда (4.6) можно продифференцировать по ч в лю бой точке внутри круга любое число раз. Аналогично можно показать,
что пс £ |
можно дифференцировать внутри круга сколько угодно раз. |
|
Следовательно ряды (4.6) удовлетворяют системе уравнений |
(2.1). |
|
|
Теперь покажем непрерывность функции в замкнутой области |
|
( t i i |
) . |
|
При ^ І "R ряды (4.6) можно можорировать рядом |
|
|
|
* ' £ ( | а Г М Є Г і ) , |
(4.13) |
М - 1
сходящемся в силу предположения о непрерывности и кусочно-гдадко- сти -^(чО . Следовательно, ряды (4.6) сходятся равномерно при t > i , представляемые ими функции также непрерывны на границе крута.
Теперь рассмотрим численный пример. Пусть на границе круга заданы смещения
U . J s t U = a ; ( i - C ^ ) . |
(4.14) |
В нашем случае решение (4.6) примет вид:
Если положим 5 - І . |
, а^=2, 0^,= i v |
> =Ї , ^ = і _ ^ , |
|
то получим численное значение решения |
|
||
=3,15 |
, |
Ц,= 0,675 . |
|
§ 5. |
П Р И М Е Р |
2 . |
|
Пусть имеется плоское кольпо с внутренним и внешним ради усами а и § . На границах при ^ = а и $ = К заданы смеше ния:
( " О ^ х " ^ ^ , |
; i = S,4), |
(5.1) |
где F; Счі - перпотдаческие функции, удовлетворяющие условия?/ Дирихле.
Разлагая функции, заданные на гранитах, в ряд Фурье, «тем иметь
ос
h = 1
Сравнивая (2.27) при \-<х в |
^ 4 |
с |
(5.2), |
получим систему |
|
8 алгебраических уравнений для определгния о.^ |
и V |
. Ксли |
|||
подставим найденные значения в |
(2.27), |
тс полутам искомо? ре |
|||
шение задачи. |
|
|
|
|
|
§ 6 . |
П Р И М |
Е Р |
3. |
|
Пусть дан круговой прямоугохьндк, ограниченный двумя |
|
|||
дугами кругов, |
описанных из центра координатной системы ради |
|
||
усами а и I |
. На гранилах заданы: |
|
|
|
( U k ) S |
r t = Y - % ) , |
С = а,1 , |
j = s > > f > |
(6.1) |
^ %>Ч,А |
)ч*А |
' |
(6.2) |
В нашем случае ретениг (2.27) можно представить так: |
|
||
|
©о U |
|
|
а |
К го I'M |
* |
(6.3) |
|
ОО U |
|
|
где
Решение (6.3) автоматически удовлетворяет |
граничным условиям |
(6.2). Разлагая (6.1) в ряд Фурье па синусу |
и косинусу и срав |
нивая с полученным результатом (6.3) при ?=и и $ = £> , полу чим систему уравнений для определения a t . Подставляя найден ные значения а. в (6.3), получим искомое решение задачи.
2i>
§ 7. ИНТЕГРАЛЫ ТИПА ПУАССОНА.
Аналогично интегралу Пуассона для теории гарыошгчьс- EOS функции легко ножно на!ти интегралы Пуассона для теории уп
ругости.Имэгт место следующие формулы
^ " V . |
Л , . , ч U+ta )0*p - 2 t |
|
2(C<*fr-*) |
|
t V i - n i C ^ f 1 > |
„ |
C"> и |
[ |
( I f |
( t V i - a t c ^ . f ) ' 1
"=« 1 |
1 |
1 |
(t\i-at.upf |
2^ p -v
Если подставим (7.1) в (4.6), то получим
С |
|
|
+ з[^и*т-о(с»>сч-о-ь) |
)bu. (ч-ч>п -іd |
( 7 , |
' Л - 0 [ І Ч І - 2 І С « ( Ч , - Ч ' П |
J |
|