книги из ГПНТБ / Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики
.pdfВ нашем случае
( I . I I )
Разлагая (1.8) в ряд Фурье, |
принимая ( I . I I ) |
во внимание, срав |
|||
нивая полученные результаты |
с выражениями (1.9) и (1.10), вы |
||||
численными при х = с |
и |
y = d |
, получим 12 алгебраических |
||
уравнений, затем, решая, |
находим |
о."*' и б-1"' |
. Если подставим |
||
найденные значения в |
(1.9) |
и (1.10) и применим обратные пре |
|||
образования Лапласа, |
то получим искомое решение задачи. |
||||
Аналогичным способом легко решаются следующие задачи:
1)первая и вторая задачи для полуплоскости,
2)вторая задача для полосы,
3)смешанная задача для прямоугольника и другие.
§2. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ СВЯЗАННОЙ ТЕРМ0УПРУТОСТИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ.
Система дифференциальных уравнений теории связанной термоупругости в векторной форме имеет вид:
(2.1)
v*0 -І
Применяя преобразования Лапласа с учетом начальных условий
(2.2)
получим
(2.3)
оі ^ictd сіиг U-xotroi.U-^.U = u^taci ва
где oi:rO**r>/j« . ?-??7^ . d s V f
В полярной системе координат решением системы уравнений (2.3) будет
U ^ Z i C c ^ s C ,С^г,ч.9;иВ -9) |
« . 4 ) |
A > - ^ , АГ>)=и^>. A > = , ^ ' ,
Си"* |
С»*4* |
(к) |
1
Рассмотри» пример. Дано кольцо с внутренним и внешним радиу сами а и і , на границах которого за даны смещения и температура
(2.5)
Применяя преобразования Лапласа, разлагая в ряд Фурье и срав нивая с полученным результатом выражения (2.4) при t = R , по лучим 12 алгебраических уравнений с 12 неизвестными a£r t и 6^"'. Затем подставляя найденные значения в (2.4) и применяя обрат ные преобразования Лапласа, получим искомое решение задачи.
Аналогичным способом легко решаются следующие задачи:
1)первая, вторая и смешанная задачи для кольца,
2)вторая задача для круга,
3)первая и вторая задачи для многослойного круга и другие.
§3. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРУЧ СВЯЗАННОЙ ТЕРМОЛІРУГОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ДЕ
КАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ.
Система уравнений теории связанной термоунругости в де картовых координатах имеет вид:
(3.1)
Ті І£ _ ,-4в _ „їли* -чи, -»*»+ т»уг т>аг 4t *7т,Дт£*-»s
Пусть начальными условиями будут
Применяя преобразования Лапласа с учетом (3.2), получим
( a ^ W + ^ + ^ w f e + W r J = ? V ^ - a - |
(3.3) |
|
|
СО |
где |
tO/r , |
, u^ = W n u,a t |
Решением системы уравнений (3.3) будет |
||
|
» » і |
(К.п.) |
во во Ь r»tWt
' Г
где
(3.5)
(j-і.г") j |
ї - - корни уравнения |
X |
-к -ьі - p = o •, |
A. w = t e |
Б . и і = к е |
(3.6)
( і : 5 . ' * ) 5 , ' , ) , 0 > І І - корни уравнения |
|
(а+Ог4 - ^-^0ОВ*р-г^р)»в*грл]г'* -O^-oV * |
(3.7) |
+ [(«1кт)г *(ъ-' ?)((•».-го в * f f гр^) +Вгт^ - Cb*f р)к |
|
х (у+1) (іВ те)+f)~] х -у[(В +^ ?)(л *«О •* "2?л•< * ™ ] t |
- |
|
|
- ( в + ? ) [ ( в ) |
*о в • ?)+г ? иьъ] - (в ^ ? x - W - ? J А? |
= о |
3.7} |
|
|
4 |
|
СГ- |
=ff• |
ft |
= ic + m . |
і |
J |
> |
|
Рассмотрим пример. Пусть дан параллелепипед с основанием а и 6 и высотой с . На гранях параллелепипе да заданы напрянения, смещения и температура
( u « v ^ = * " b . ^ , |
( 3 - 8 ) |
Применяя преобразования Лапласа к (3.8), получим
Для удовлетворения граничным условиям в изображениях (3.9), решение (3.4), найденное методом разделения переменных, мож но представить так:
tly = 2 |
- Z Z l a j |
К: W < ^ ^ Ь; И І П х ї |
+ |
|
• |
Ot,i«> оси* |
(".«Ни»1 |
-, |
fo тп\ |
U * Z Ь |
2_. l Q i |
с*)&;пк«у С«^Ї + |
* |
І |
a I |
Ч«,«о -0£,»Л .. |
• |
(3.II) |
+ epyKAj^^B^lCH^S^m,,* . с ^ ' ^ С р ] , (3.II)
its. |
j»l 1 |
ГД9
Д. (ai = Y |
a l e |
|
, |
Bj сл> * к:Є |
1 |
||
|
|
|
|
|
л |
||
С; t ^ « W * l * * — |
|
4 |
— U |
|
|||
33 |
^ ° ; И |
^ |
Л |
> ^ |
г |
і t ]е* |
|
» |
^ |
|
' |
|
|
t l j . C * l - V c i - w i . - f . |
|
t-^sL) - |
корнж уравнения |
|
|
|
|
||
С..с ^ = т л г с С ^ е
73. (so=o , ( л = і д ) ,