книги из ГПНТБ / Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики
.pdfРешением это! системы уравнений будет:
Ъ |
П . о j » l |
і |
« |
і |
|
|
|
|
|
|
, і ОО С |
( л і |
( м ) |
Ґ„\ |
где А*рС« = 3 . О - " ^ , A ^ w = /У.(;«,г), д^Ч,= у
»
•А';Ъч= ^н0"і'»-). С і г ) =п3п(^г);А11"(г) = пл/п(і^г)>
с["1хі=ч, Зн(і"»«) , C w = 9 y . a ^ , t ) , с£сг>=у1 '3И с;«ч'0,
Рассмотрим пример. Пусть дано кольцо с внутренним и внешним радиусами о. и & , на границах которого заданы смещения и температура
-;u>t (.ил
|
|
(2.9) |
Разлагая заданные функции (2.9) в |
ряд Фурье и подученный резуль |
|
тат сравнивая с выражениями (2.8), |
вычисленными при г = Ъ. , по |
|
лучим 12 алгебраических уравнений для определения аД"' |
и 4£"\ |
|
Если подставим найденные значения |
а р 1 и 1^ в (2.8), |
то полу |
чим искомое решение задачи. |
|
|
Аналогичным способом легко решаются следующие задачи:
1)вторая и смешанная задачи для кольца,
2)первая и вторая задачи для круга и другие.
Г Л А В А 2.
РАЗДЕЛЕНИЕ ITEPBMEHHMX В СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕС КИХ УРАВНЕНИЯХ ТЕОРИИ СВЯЗАННОЙ ТЕРШУПРУГОСТИ
ВТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ.
§I . РАЗДЕЛЕНИЕ СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТ.
Уравнения температурного равновесия в векторной формг имеют БЕД:
(Ti+^Q/wddivU + J i v i u + f =^>^t.ee!T . |
( I . I ) |
Проектируя ( I . I ) Ea оси сферических координат, получен
_ b ~ S e |
1 j ^ i -в,» S t ( S » r A * , |
* Й О Т ^ 4 > ( * « . > 4 & - » A , , |
(1.2) |
Разложим заданные функции А. в ряд такого вида:
где оЛ ^ д . |
- |
функции зависят |
только от г і |
определяются |
по следующим формулам: |
|
|
||
0 |
О |
|
|
|
о т |
|
|
||
•С а» |
|
e J l f , |
(1.4) |
|
|
|
|
||
?» = * Г ^ \ t A e P - " ^ » e c M B l V + |
h . A ^ 5 « M ^ ( l e j ( f |
|
||
— С"0 Г ( |
" |
ТзС1"^ |
' Cm! |
|
їа= |
U m \ ? » ^ m c ? - A 9 ? H t " ' L e C o s m l o - j j e d ( < ) |
Решение системы уравнений (1.2) будем искать в виде:
Н*е rm:o |
J |
|
(1.5)
где а І |
, |
зависят |
только от t я пока неизвестняе фушщц |
|
Если подставим (1.5), (1.3) в |
(1.2) н приравняй коэффициента п |
|||
Si* №kf I |
GKWM" ЕУЛВ, TO ПОЛУЧИМ |
|||
|
|
_ |
(1.6) |
|
2)А = - г ^ , ^ Ь + 5 7 |
- г е . , |
Я ^ ъ ^ , |
||
Решением'системы уравнений |
(1.6) будет |
|
|
|
Q=t Z<*, |
А,ад+SLt СЧ , |
Qa= Za. |
в.en +s£<x\ |
|
K=Zb; |
А-»)*Асо, |
6t=£E-, |
ь . см - ^Ь |
(1-е) |
где A^Ctt Ъ'Т*-> Флі> определяются по формулам (13.5) главы 2
Система динамических уравнений теории связанной термоупрутости в сферической системе координат имеет вид:
Решением этой системы уравнений будет
-vvj-t" " ' |
(«1 |
. C-,m1 |
(и, п., |
и = о tnrC |
l - » J |
d |
J^-J K |
vc
1 |
(I.II) |
0 r e I Z Z l 1 , V w ( a , Ь ^ ч ^ С ™ ч ) , |
|
Рассмотрим пример. Пусть дана сферическая оболочка с внутрен ним и внешни радиусами о. н 6 .На гра ницах заданы смещения и температура
(I.I2)
Разложим (I . I2) в ряд такого вида
иг* m =о
Сравнивая (І.ІЗ) с выражениями ( I . I I ) , вычисленными при г = к ,
получки 16 алгебраических уравнений для определения |
aL"'"\^"•"'\ |
ж d^"'"5 . Если подставим найденные значения в |
(ї1 .П),"1 то |
получим искомое решение задачи. |
|
Аналогичным способом легко решаются следующие задачи:
1) первая и вторая (внутренняя и внешняя) задачи для шара, 2) вторая и омешанная задачи для шаровой оболочки и другие.
§ 2. РАЗДЕЛЕНИЕ ІЕШНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТ.
Уравнения температурного равновесия в цилиндричес ких координатах имеют вид:
Т |
/ |
s -,,1 |
г т я й 1 " ^ |
U ^ - W l a * . |
Разложение зманных функций в ряд и интеграл Фурье дает:
^-Q ОСІ**1
oo oo і |
(2.2) |