книги из ГПНТБ / Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики
.pdf
|
|
|
|
|
* 2 ? |
|
%9 |
- корни характеристического уравнения |
г = к-и™ +j |
-з* |
|||
A : |
C t ) = t e ' |
, Ь Сг) = * е » |
, С. |
^--**\^ |
\\ I |
1 £ |
і |
I |
^ |
1 |
L |
"tj -К-r» -y> |
|
X- - корни характеристического уравнения
(eUi)t*-[<^О(ЇЬ^ - j * - г я ^ К - [ c w > \
-»- ОІ^"1 (АМСІ^*"г і
(гГ=<г.1 , м .
Рассмотрим пример. I ) . Пусть дан бесконечный слой, на границах которого при «• = о и V-»а. задана сме шения и температура
• ( б ) х , - е ^ ^ . |
( 3 - 8 ) |
Разлагая (3.8) в ряд Фурье, сравнивая полученный результат с вираженнями (3.7), вычисленными при «.=с , получим систему 32 алгебраических уравнений для определения а"*~\ Е0"'™' , с1 *'"*и
I
2)Пусть дан параллелепипед с основаниями а и
іи высотой с , на гранях параллелепипеда заданы напряжения, смещения и температура
-tut сі)
: е < W ) ,
-Cu)t СЇ1
(3.9)
( Ъ Л |
- Ф ^ Г ^ |
( 3 - 9 ) |
Дія решения этой задачи решение (3.7) и тензори напряжения можно представить так:
., -luii v V V |
Г (.<.™к^"4 |
и ж = е 2, 2- L |
La i A: C^Sin^Suw, і * |
0 « e X £ £ k |
0). w S i « y s - ' v * + |
Р ч= Є |
2- Г І- I |
а |
; [X A: C*> - K^^jOB, l«l |
OO - |
н |
|
|
|
- ^ |
^ c « ) l S t * ^ M s i |
• Cj |
[O^j-)Aj U) ДКІЬ. сі) ЛM,C. tw - |
|||
P„ |
=e |
H U S K |
j»lKe Ai c«)*B,c»)JU^S:-»nl l ** |
|
||
|
. |
.1 CO OO в , |
(.«..Г"). |
(.«.") |
„ ( " . " І П Л |
~ |
ї ч і = e |
Е Z Z \a j V |
со - |
с-)] Hs^y u ^ i |
- |
||
* м г ^ ' Ч ^ 1 |
^ г с г ? u > |
где V ^ T T • " V 5 * 1 * ^ > |
= 4 |
X^C.sO-'KopHH уравнения
=0
г.(л")-корни уравнения
Проекции нормального напряжения имеют вид:
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
В нашем случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
|
|
: |
^ - - и , |
^ = о , |
* t =o, |
|
|||
при |
з = т_ |
•. |
^ , |
= 0 , |
* і , |
^! - о j |
(З.ГЗ) |
|||
при |
Ї-^ |
: |
|
о, |
£ t = 0 , |
Y t = ? l . |
|
|||
В силу (3.13) |
будут иметь место следующие выражения |
|||||||||
Г 1 |
) |
v |
|
_ |
|
1 |
|
|
|
(3.14) |
Пользуясь (3.14), |
разлагая |
(3.9) |
в ряд Фурье и сравнивая полу |
|||||||
ченные результата |
с выражениями |
(З.ІІ) |
и (3.12), |
вычисленными |
||||||
при х= ^ , ч=і |
|
и |
|
|
, получим 24 алгебраических уравне |
|||||
ний для определения |
а'*-"1 , |
Є'и,,"> и |
Ci C K , m > . |
|
||||||
Д4 о
Подставляя найденные значения в (ЗЛО) и ( З . П ) , получим иско мое решение задачи.
Аналогичным способом легко решаются следующие задачи:
1)первая и вторая задачи для полупространства,
2)вторая и смешанная задачи ждя слоя и другие.
Г Л А В А 3.
О НЕКОТОРЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ СВЯЗАННОЙ ТЕРНОУПРУГОСТИ.
§ I . ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ СВЯЗАННОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ В ПЛОСКИХ ДЕКАРТОВЫХ
КООРДИНАТАХ.
Система днффэренцаальных уравнений теории связанно! териоупругости в плоских декартовых координатах имеет вид:
( I . I )
Применяя преобразования Лапласа с учетом следующих начальных условий
0$) |
= Cu,V *Ce) =o . |
(1.2) |
систему уравнений ( I . I ) в изображениях можно написать так:
•ь-х1 т>а1
( ^ |
(1.3) |
где |
o^=(>t-5.Vj« . у |
' <•» = */?• |
радением уравнений (1.3) будет
J |
(1.4) |
Рассмотрим пример. I ) . Пусть дана бесконечная полоса, на гра ницах которой заданы смешения и темпе ратура
( e w V t * . * ) . |
( I - 5 ) |
Применяя преобразования Лапласа, |
получим |
|
(1.6) |
Разлагая (1.6) в ряд Фурье и сравнивая полученные результаты с выражениями (1.4), вычисленными при х = с , получим 12 уравне
на*. Затем решая полученные уравнения, |
находим a |
ж б^"' , |
подставляя найденные значения в (1.4) |
и применяя обратные пре |
|
образования Лапласа, получим искомое решение задачи. |
||
2). Пусть дан прямоугольник с |
основанием 2а |
|
и высотой 2в |
, на границах заданы |
|
( " * > * « - - * > . * ) ,
Применяя преобразования Лапласа, будем иметь
Для решения нашей задачи решения (1.4) и тензоры напряжения можно написать так:
+ 6. [UK ts)-Ka(x*2^bj С У ) - К С . oolite,-*},
(I.IO)
пі"! |
Г - ОО |
.ОО |
-І |
\ |
|
где |
(*•> |
2 |
\г |
, |
|
|
А. Сї) = к і е |
|
|
||
A. W = t-.e-
t - удовлетворяет уравнению