книги из ГПНТБ / Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики

Ы

.г (a-*)

(У)

-г»

<,Ч) - t ^

Р

= £ £ Х Ж с«лчвл«,-г ї і і ),

(ел)

где

o i }

f = -х, у, г

,

В.

- Ъ . ="В. - C L

*4 *с.

5 j + ci.

Bj

=Qj

e,*^

B j

= C X J

б ' + ^

в » .

B

<X,m1

l^"*

і

„ ^ " ^ J

' " . " • ] _

= » V * j ^ ~

1 - * * »

A

Q

с

в

+ ot4a£.J&

)

A $

= 2рКЄ

,

A4

=-2m (A*j-te

Cy,y)

.1-4,11

R

І .

«i*2Vi

-t(a~x1

, CM.W

(8.2)

= -2j«<ce

, A v '

= [ а і Г ^ ї - 2 Г г / о і ] е

,

A,

= - 2 r * e ,

. (.4,41

,

- t «

ЦП

,

- tco - *)

«,«

c*,*i

A t

=-2>»"

Є

, A v

=-2j.w

e

A,

= A s

=0 ,

,«,«

г

і

-і - ll* - *)

.4,*)

,

г

. 1 * «,»|

= - 2 m l U*r)b

,

А.

= Г * Т Є

,

Аг

= j . K ( t r t x - ' i p ) t t ( a ^

»<•*.«)

к 1

-г(.а-=Л

.

і*.

(.«.«і

_ 1 я с

t ^ , 4 i

Д г

=

г - е

Ч » е

, A v

Я у к ( 2 г * * * 3 ) е 1 * A l

t ' % ..

,

/ ,

-ч

(»,s1

, _ t

-tfa-x.-)

< ч „

s p m O c ^ x e ^ , A f ' ^ ^ e 1 ' " '

A ^ - f n , ^ ^

І*,Ї>

,

otvax

<x,^

^ -т(а-ї.і t»,n

(8.2)

§ 9 . П Р И М Е Р I .

Пуста имеется бесконечный слой, на границах которого при

х = о

заданы смещения ж при тс = а

напряжения:

( u i W f № > > С Ї А ^ - Г І ^ ,

(9-і)

іде

и F.' - периодические функции, удовлетворяпцие

условиям

Дирихле.

Разложение заданных функций (9.1) в

ряд Фурье дает:

Т.

" - ї ї ?! « і ; * :

, ^ S . ^ Z I I f f f . .

0.2)

Р, -

L ^ - L

,

і » * . * , * -

(9.3) •

Для навей задачи:

при -х- -

a. ;

«С*. - і ,

c4s =

= о .

(9.4)

Проекции (9.3)

на оси декартовых координат

будут иметь вид:

? ч і

=

?

? ^

•

(9.5)

В силу (9.4) формулы (9.5)

будут иметь вид:

0 * ) ж а а

а (

0 «

„ а

=

Р - Д М )

•

(9.6)

Вычисляя значения выражений

(7.2)

при ^ = о

и (8.1)

при =с = а

и полученный результат

сравнивая

с

(9.6),

получим систему ал-

гебраических уравнений для определения

а ^

,• • , <^

Если найденные значения подставим в

(7.2)

или (8.1), то получим

искомое решение задачи.

§ 1 0 . П Р И М Е Р

2

Пусть имеется бесконечный слой, на границах которого при

ас = о

и .эс = а

заданы напряжения

^•Х-.о^^

.

( ї ^ =

а - -

г

> , * ) ,

{ 1 0 Л )

где F-t

и F

-

функции,

абсолютно интегрируемые.

Разложение заданных функций (10.I) в интеграл Фурье по у

и і

дает:

СП

OQ шО

ї \0 » . *Ц

V " ' 1

' "

t T ^ , J ) » \ \ S ^ І к - Л т .

(Ю.2)

-CO -00 ^

-о» - Оо

Для нашей задачи:

при

•х=а:

^ в ^ " 1

» 1

0 ,

(10.3)

при

эс = о •

«і х = -і f

d.^ =

- о

В силу

(10.3) формулы (9.5)

примут такой вид:

( Р Л . . - ( р « 0 „ . ' т

і ^ ) .

( ^ . . - M ^ - T i v v

( 1 0 - 4 )

Вычисляя значения

(8.1)

при *L = O и х = а

и полученный резуль­

тат сравнивая с

(10.2),

получим систему алгебраических уравнений

для определения

СХ-

, •••

Если подставим найденные значения в

(8.1),

то получим искомое

решение задачи,

причем в выражении (8.1)

вместо £, £

заменя-

етея интегралами

j\C

)сік dm .

с (II.3) при -x.ro

и -х = <х , получим систему 6 алгебраи­

ческих уравнении с

6 неизвестными. Решая и подставляя найден­

ные значения а.

в (II . 3), получим искомое решение задачи.

. r ^ A p t -

, " ^

m рі-і» ,4".-»

\

<

v f L r

m

»t"'-a,'">

, ( « , ^ w l t ,

_

(»>

n - i

.

,

-и-г

A s

= ь

г

,

A t

г

_

Сні

n-1

t«1

-и-4

-

г

,

\

= г

,