книги из ГПНТБ / Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики

Г Л А В А

I I .

РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В УРАВНЕНИЯХ

ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ.

§

I . Общее исследование разделения переменных в

стр.

уравнениях электродинамики.

241

Ч А С Т Ь

У.

МЕТОД КВАДРАТИЧНЫХ

овднж.

Г Л А В А

I .

ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ТЕМПЕРАТУРНОГО НАПРЯЖЕНЕН.

§ I . Общзе решение система уравнений творис температур-

ного напряжения.

247

§ 2.

Краевые задачи.

249

§ 3.

Решение и тензор напряжения в различных системах

координат.

253

Г Л А В А

П .

КОНКРЕТНЫЕ

ЗАДАЧИ.

§

I . Задачи в двухмерном пространстве.

259

§

2.

Конкретнне задачи в трехмерном пространстве.

263

Ч А С Т Ь

I .

р і а д о в з в израшшш в зшжтх

ТЕОРІЯ УПРУГОСТИ.

Г Л А В А

І .

РАЗд&Енив т ж а в ш ш : в УРАШКНИД

СЖВ№

УПРУГОГО Т Ш в ДВУШРНОЦ ПРОСТРАНСТВЕ.

(1.2)

Введем заавау переменных по формулам

и ^ н . и ^

(1.3)

Тогда система ураваенні

( I . I ) будет иметь вац:

її?n^"

u * ' і

v n , ^ И

(1.4)

d

•

где «/ = (?i+2j.y^,

-

упругие постоянные.

Предположив, что система дразнений (1.4) допускает раздедешке

псреиевжЕ

U s = u " U v ) U ' ' c ^ .

( i . s )

Подставлял (1.5) в (1.4), получай

•• <!>

, •, ill

,U>

• U l

, ,41

U» + J . U i - « l a U t

" < U

J " 0 ,

(16)

«£4 = —Ь,ЇІ\

» .1.0

і

(1.7)

1

" П ,

її» j

? * - » ч Г ^ а -

Так как ш положим, что и"'

есть равеюга системы обнкновен-

иых джфференпдальанх уравнений 2-го порядка, то =£v

a ^L -фужк-

щш, зависявце

только от переменное

0^ .

Интегрируя (1.7), будем жнеть

Пвтенщромяха

(1.8)

дает

£b.=4>V

—

v'v'

(1.9)

Если почленно умжоххм (1.9),

та падучая

H t ' V ' W t a O V O .

С 1 Л 0 )

Подставляя (1.10) в (1.9), получи

^ M U A i M ^ A O .

(І.І2)

^ % r ^ > r « r ^ r ^ C u r - o .

( І Л 4 )

Из третьего выражения (I.16) следует, что правая часть $ъ

есть ,

фуакція только от переменной

, левая часть - фуащея и ва-

ремеосД о^г

. Для того, чтобы зто выражение наш» моем, необ­

ходимо к достаточжо, чтобы каждая часть

(правая жлж левая) была

равна постоянное

/і

\ " і

, J Л » - 2 U.

„ С И

(I.I7)

^ - ' ^ • ^ И а ' - ц т

=?г .

Из четвертого вираженая (І.І6)

следует,

что

l a l U<" сЦг

1 ~ V

4 - s

t \ ¥ ^ ^ w m - m ? m ^ ,(2.1)

Для решения снстеда уравнений

(2.1) выполним подстановку

Uj ^Ъ.СЯЧФСчу

,

U ^ V O ^ b O .

(2.2)

После подстановки (2.2)

в (2.1)

и разделения переменяю: подучим

11г

°>- d

N . а гл d

(2.3)

= о

Полохнм

dl ^ г

(2.4*

Функция

ф по синслу должна иметь период Зтт

, что м<зхет

быть только прж ~к

,

равному квадрату целого числа и или

нуль. Полагая Ъ=-нг

,

(2.4)

можно налигать так:

Гос. публичная

научно - техни

иая

библмото.чч

СССР

ЭКЗЕМПЛЯР

ЧИТАЛЬНОГО

ЗАЛА

Внчлтая из первого второе, имеем

Умножая второе уравнение (2.6) на

и

дифференцируя по $ ,

получим

' і ї ч Н М і Ш - ' -

1 2 Л 0 )

Внчжтая из (2.10) первое уравнение

(2.6),

получим

Решениями уравнений (2.9) и (2 . II)

будут

А ^ Г

И Г '

, В ^ . Г 1

^ ^ - " * 1 .

(2.12)

Если подставжм

(2;12)

в (2.6), то получим