книги из ГПНТБ / Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики
.pdfн о Вели подставим (1.24) и (1.25) в (1.22) и (1.23), то получим
|
- |
|
а |
мы |
|
|
|
= 0 . |
|
|
(L26> |
|
|
E |
|
E |
a L |
В. (о^Сську |
|
|
|
||||
• |
It: |
= і |
1 = 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Разлогим |
|
у |
в ряд Фурье в промежутке ( оп зг |
) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
Т = |
Е ? т ; S l M l e s • |
|
|
(1-27) |
|||
|
|
|
|
|
|
w:-i |
1 |
|
|
|
|
|
Сравнивая |
(1.27) с (1.26), получим |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
І=І |
|
|
11 |
|
|
^Р* |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
(1.28) |
|
|
|
|
£ a L |
B.t |
to) = о , |
|
|
|
|||
или систему |
(1.28) |
можно представить так |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
a . -2<a + а г |
( а + к ) = ^ r — : |
, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.29) |
|
|
|
|
Clt |
а -<- а2 к = о . |
|
|
|
||||
Ревия |
(1.29), пoлvчнм |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
а Г = - Н / ; к Р |
3 а г |
р |
. a r = ^ V j r p V r p |
' |
а.ЗО) |
||||||
Если подставим |
(1.30) |
в (1.24), то подучим |
|
|
||||||||
|
|
U ~ Е — " Г ^ |
|
( а ё е - к : г е а Х ^ ^ « у с а |
|
|||||||
|
|
~ |
|
V |
^ = / 0 - а " „ - u v |
|
|
l I - 3 I ) |
||||
Применяя обратные преобразования Лапласа, |
получим искомое решение |
|||||||||||
задачи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IC-1 "ft
+
U» = S i ^ М Ч ^ х ) - ^ ^ > Ц ^ « |
( I ' 3 2 ) |
где К = 1,3,5, ...
Пржнер Ш . Пусть дана полуполоса, на границах заданн
(І.ЗЗ)
тА
Применяя преобразование Лапласа и разлагая в ряд Фурье в (о,А ), получим
иО,
(1.34)
(їїД У -1 = О ,
Для решения задачи решение (1.4) моано представить так
И=1 L=l
nx,
'у
атензорн напряжений имеют вид
оо2
М= 1 1-і
? |
= £ £ |
а Г |
Ь ^ |
) - т ^ г ^ |
М ^ |
^ а , |
(1.36) |
|
П = 1 1-1 |
|
|
|
|
|
|
В нашем случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
(' р |
\ |
= - i ? ^ |
|
|
(1.37) |
|
Подставляя (1.35) и (1.36), пользуясь |
(1.37) |
и полученный резуль |
|||||
тат |
сравнивая, |
получни |
|
|
|
|
|
|
1 : а Г к ^ г |
) А ^ - ^ в Г ^ Ь - ^ , , |
|
||||
|
|
а. Б. |
|
|
|
(I.J8) |
|
|
1= 1 |
= о |
|
|
|
||
или систему уравнений (1.38) в явном виде цояно переписать так
п з
&Л2и*а |
C«v„*. h V \ _ 4<Г. |
|||
l |
d. |
^ |
V |
2 |
|
а. |
|
J. ^ SfMH |
|
(1.39)
Решая (1.39), получим
Бели подставим (1.40) в (1.35), получим
(I.4I)
Применяя обратные преобразования Лапласа, получим искомое речение задачи.
t
о
Замечание.
Аналогичным способом легко решаются следующие задачи:
1.Первая, вторая х сметанная задачи для полосы.
2.Первая и вторая задачи для полуплоскости • многослойной полуплоскости.
3.Задачи для прямоугольника х другие.
§2. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ.
Система уравнений дннамшш в полярных координатах имеет вид
i r ± x f o i M < V j ^ i / x r i . T L r o i n i ^ O - ^ i i * |
{ 2 Л ) |
Применяя преобразование Лапласа с учетом начальных условий
систему уравнений (2.1) можно переписать так
Решением этой системы уравнений (2.3) будет СО J+.
її= X Z | . д ? К а Г ^ ^ - С Ь , » ^ )
Рассмотрим пример I . Пусть дав круг радиуса "ft |
, на границе |
|
круга заданы смешения |
|
|
C i V . " ^ |
• і ' * * • |
я . » |
Применяя преобразование Лапласа (2.5), получим
Разлагая (2.6) в ряд Фурье, сравнивая полученный результат с ре шениями (2.4), вычисленными при ^=R , получим 4 алгебраически уравнения
а |
(2.7) |
Z o i T ^ r W - ^ * . |
где
Реивя (2.7), подставляя найденные значений а£" и б" в (2.4) ж применяя обратные преобразования Лапласа, получим искомое реженже задачи.
Замечание.
Аналогичнь">1 способом легко ремавтся следуюане задачи:
1.Первая, вторая ж смешанная задачи для кольца.
2.Первая и вторая внутренняя ж внешняя аахачи для круга ж мно гослойного круга.
3.Первая, вторая н смененная задачи для частя сектора в секто ра ж другие.
§ 3. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ.
Система динамических уравнений теории упругости в декартовых координатах имеет вид
и* |
^ |
~ № ^ > й £ • |
( з л ) |
Применяя преобразование Лапласа с учетом начальных условий
получим следующую систему уравнений
4 |
т>х* т>уа |
тгіг |
V.T>=ciiy -Ь^ЬІ / п u » , |
1 5 » * |
Д % ^ № + 1 И Л - _ ^ o r |
||
Решением системы уравнений (3.3) будет
A X Y |
w^t |
|
, |
A „ |
c-)=~|e |
, A x t c * > = - ^ e . |
, |
|||||
Ay, |
С<0=кЄ |
, A d 2 |
Сх)=ке |
, А у г ( о с ) = Є |
|
|||||||
А У 5 |
Wee |
|
, |
As J r |
с о = А У 4 |
с ^ = 0 ) |
А и w = m e |
|||||
У11.КІ |
_СХ |
.<••","> |
0~,>О |
|
|
л"" . "" 1 |
-6-Х. |
|||||
A i a |
w=we. , A„ w = A i S |
w=">, |
|
Ai s c^ = e , |
||||||||
^ - l |
C ^ = |
Q |
i |
|
|
S . * C i |
6 |
|
^ |
6 |
- |
|
|
С ^ - а А |
б |
^ |
|
|
< 4 " d i б-а, |
||||||
|
Cw,u--1 |
|
|
( m |
-j |
„(.т.Ю |
„ О , * " ) |
|
|
|||
c j j - ^і-и icy ^і-и m 1 |
^ б"2 = їкику G>»rn і |
|
|
|
||||||||
6ъ |
- Co^ »C-iJ |
|
»и ї |
, |
<5^ = Си icy Сої in 3: |
|
|
|||||
|
|
|
г |
^ |
• |
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим пример I . |
Пусть дан трехгранный угольник, на од |
|||||||||||
|
|
|
|
|
ной из граней произведен удар и гранич- |
|||||||
г |
|
|
|
|
ные условия представим так |
|||||||
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(3.5) |
|
|
|
|
|
|
C P ^ |
U r 0 |
' |
(3.6) |
|||
|
|
|
|
|
|
( U J . . _ |
° |
го |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
У - |
|
|
|
|
( " 0 |
= о |
|
( U y ) 2 = ^ ° ,
Притеняя преобразование Лапласа к (3.5), (3.6)
= °>
= о , |
|
( і и ^ = 0 |
|
= |
0 |
|
Ї |
( П Д = 0 = |
0 |
|
і |
= ° , |
|
- |
0 |
(3.7)
и (3.7), получим
(3.8)
(3.9)
(ЗЛО)
Для решения етой задачи решение (3.4) можно представить так |
|
|||||||
] - |
_ |
ОО |
Оо % |
С"-,Ю |
|
|
||
^ |
v |
^ , |
|
|
||||
U x |
- |
2 - |
|
2^ |
а, |
А. |
Оэо^учсакита- |
|
Uy |
|
Е |
/ ^ - |
1 |
Б . |
C*0 Сики Ьіи »u Ї |
/о тт\ |
|
|
|
1 ^ = 1 n v = i j - l |
" |
J |
і |
K O . - U - / |
||
1 |
К , . В . Я j * » |
° |
• ' |
A t t o = - c e |
, |
А2 |
с*)=-ке |
/е ,Аг с:«ї=-гг,е /g , |
||
B t |
С*"> = кЄ |
, |
Ъ а |
с *)=е |
, Ь 3 W |
= o , |
а тензоры напряжений имеют вид |
|
|
||||
p - L |
Z £ • a . |
[a^-)A. t«v>Kb w - ^ ^ j |
t ^ l s ^ ^ s ^ i |
|||
J |
= |
Z Z |
Z |
a |
i |
M j |
C*V^»b |
С *>^С > * 2 ^ |
С ^ - ^ ^ ї |
|||
2 |
3 |
l£=i IKl j " 1 |
|
|
|
^ |
|
|
|
|
||
|
|
~ |
~ |
* |
r ^ ^ r ^ L " ^ |
Д |
^ |
і , |
t |
(3.12) |
||
P H i = Z Z Z a. u [ m r t « d |
' w l c ^ u i , |
|||||||||||
|
|
i c ^ i |
m ^ i j=\ |
0 |
J |
|
4 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
K-l |
m = l |
i=» |
<> |
« |
|
|
J |
|
|
|
В нашем случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
( Р , Л . о = |
|
|
|
|
|
(3.13) |
||
( ? « и -
Подставляя (3.12) в (3.13) и пользуясь (3.8), (3.9) и (ЗЛО), получим