книги из ГПНТБ / Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики
.pdfАи , ЄСЛИ ї-і ^ и: = 4.
а ; „ = 0..,. =
ТЕОРЙМА. Разделение переменных Б системах уравнений статики и динамики в эвклидовом пространстве двух измерений возможно лишь в двух случаях:
1)в декартовой,
2)полярной системах координат.
Эта теорема доказывается аналогичным способом в главах I , 2, 3 и 4, часть I .
§ 2. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЛОСКИХ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ.
Системы уравнений статики и динамики ортотропного тела в плоских декартовых координатах имеют вид:
А ИМ**.А " ^ U X ^ A л \ ^ U Y „
Решением уравнений (2.1) |
будет |
|
|
|
к., j - i |
J |
і |
/' |
(2.3) |
fe" і'-1 |
|
|
|
|
где т.- определяется из уравнения |
|
|
|
|
А ^ А и г ' ^ Ч А ^ а А ^ А ^ - А ^ А ^ к Ч А с ' ' 0 - |
( 2 > 4 ) |
|||
Мы рассматривали случай, когда
A = [ A % 2 A l a A f e 6 - A 1 A 2 ] - 4 A 1 A A t > 0 - |
( 2 - 5 > |
Случаи, когда Д=о и Д<о , рассматриваются аналогичным способом. Решением системы уравнений (2.2) будет
- L u ) t ~ b |
/ д |
і |
а і . . t-x |
(2.6) |
k = „ j = i |
|
|
|
|
/• О О |
л О О |
|
v |
|
где t - определяется из уравнения a
+( ^ - к 2 А 2 2 ) ( ? ^ - ^ А " ) = ° -
§ 3 . П Р И М Е Р I .
I ) . Пусть дан прямоугольник с основанием а и высо той (? . На границах заданы смещения и их нормальные произ водные
(3.1)
Решение (2.3) можно представить в такой форме
(3.2)
1С = о V = 1
, д е |
л ^ 1 |
/ |
Ттс |
|
A j |
^ ^ ( А ^ А ^ е ^ |
|
t j - корни характеристического уравнения
A n A a T ^ l < ' C A n + 2 A i 5 A 6 t - A 1 ] A 1 2 ) t ^ ^ A M A S 4 = o .
А, СУ> = ( А 2 2 г г і с у АЬ й ")е * ,
t- - корни характеристического уравнения
- ^ = —
Раалагая заданные функции на границах |
прямоугольника в ряд |
||
Фурье по синусу и косинусу и вычисляя |
(3.2) |
при х=с и у = ct |
|
и полученный результат сравнивая, |
получим систему 8 алгебра |
||
ических уравнений с 8 неизвестными |
с^"1 и |
6 ^ . |
|
Решая эту систему уравнений и подставляя найденные значения в (3.2), получим искомое решение задали.
2). Пусть дан прямоугольник с основанием а и высотой В . На границах заданы смещения и их нормальные производные
3). Пусть дан прямоугольник с основанием а и высотой & . На границах заданы смешения и их нормальные производные
4). Пусть 'дан прямоугольник с основанием ct и высотой 6 . На одних границах заданы напряжения и их нормальные про-, изводные, а на других смещения и их нормальные производ ные
Рассмотрим вторую задачу.
Для решения этой задачи решение (2.6) представим в таком виде:
'•У- <- м м |
( 3 -6 ) |
1 <S |
|
194 |
|
где |
( l 0 |
- корни характеристического уравнения
А. С у ) = ( А 1 1 г і * ^ - » с а A e t ) e J ,
|
N - і |
- |
К У |
a. |
|
- |
корни характеристического |
уравнения |
|||
А 2 2 А |
« ^ * 1?* |
( А « |
- A w |
) ^ |
( А % 2 А1гА.<. - |
- A u А м ) ] г 4 |
+ |
к3 2 А |
|
A w ) = о. |
|
Разлагая |
заданные функции |
(3.3) |
в ряд Фурье, сравнивая получен |
||
ный результат с выражениями (3.6), |
вычисленными при^-с и а=<і , |
||||
получим систему 8 алгебраических уравнений для определения а/"1 и £j . Если подставим найденные значения в (3.6), то получим искомое решение задачи.
Аналогичным способом остальные задачи решаются легко.
Из этих задач следуют, что легко решаются следующие задачи:
1)первая, вторая и смешанная задачи для полосы,
2)первая и вторая задачи для полуплоскости и другие.
§ 4. РАЗДЕЛИЛЕ ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТ.
Системы уравнении ортотропного тела с круговой ани зотропией имеют вид:
A„-Al t /-»U„ |
. |
_ |
(4.2)
г А ц г t -дЦх tu^ _ Uv, л _
Решением системы уравнений (4.1) будет
и г = f Е С А ^ А ^ А ^ А ^ я Л г Ч а Г ^ 4 Г ^ )
где |
определяется из уравнения |
- А и ( А « + А 2 1 ) ] ^ А г г А и ( ^ - О г = о .
Решением системы уравнений (4.2) будет:
и-о j=» |
|
* |
( 4 . 5 ) |
„ = OJ = l |
|
|
|
гдЄ А Ї ^ - З Д Ч * ^ < W £ e 2 ^ ~ . |
|
||
Kit |
' |
к:=о |
' |
Е ^ № ^ ^ . . . . . а У ) Е ? \
A(a*> - A u C * j W - А и - * г А « ,
5 (г*) = и * І А м ^ А „ - С А и + А м ) С ^ * 2 к , ]ч
A ^ I O = ( A w * A w ) t y i * ) + A M + A t t ,
Д(2>0 = А(г*уВ1 (ак^А1 С2кЖ2к'> . где R; определяется из уравнения
A 1 1 A « ^ - [ A l t C A w + H l A M ) + ( A 2 2 + n X ) A « -
|
§ 5 . П Р И М Е Р |
I . |
|
|
|
I) |
Пусть на границах кругового кольца заданы смещения |
||||
|
|
|
|
|
(5.1) |
Разлагая заданные фикции в ряд Фурье, |
будем иметь |
||||
|
|
|
|
|
(5.2) |
|
и*1 |
|
|
|
|
Сравнивая (4.3) при г = а |
и г = 8 с |
(5.2), |
получим систему 8 |
||
алгебраических уравнений для определения а^и> |
и б'"' . Если |
||||
подставим найденные значения в (4.3), |
то получим искомое реше |
||||
ние задачи. |
|
|
|
|
|
2). |
Пусть дан многослойный ортотропннй круг |
с цилиндрической |
|||
|
анизотропией, разделенный круговыми границами раздела, у |
||||
|
которого на границе L - |
слоя заданы смещения |
|||
|
|
|
|
|
(5.3) |
и условия сопряжения на границах |
і - |
слоя |
|
||
|
|
|
|
|
(5.4) |
|
Y = I , 2, 3, . . . , ( і - I ) |
|
|||
Решение системы уравнений ортотрошого тела с цилиндрической анизотропией любого I - слоя в полярной системе координат можно представить так:
^ |
К=0 j= l |
* |
* |
1 |
(5.5) |
|
|
|
|
|
|
СО |
^ |
^ - ч 1 " 1 |
, I " |
о 1«Л |
\ |
где
а - А ^ ( А ^ ) - и Ч С А * ) % а А ^ А * -
- A l t A J 2 } |
, |
|
|
определяется по формуле |
|
||
I |
: |
' — : — : |
1 |
V |
2 А;; А;; |
|
|
Здесь для получения ограниченного решения в центре круга X, |
|||
н Хг берутся с |
положительным знаком. |
|
|
Если разложим граничные функции(5.3)в ряд Фурье, то получим
^ ^ = Й Ь ^ ^ „ и „ . |
( 5 . 6 ) |
Из условий сопряжения (5.4) будем иметь 4( I - I ) уравнений
Г 1 J |
1 |
>"1 * |
(5.8) |
Сравнивая (5.6) с выражениями (5.5), вычисленными при <^="Ri , получим четыре уравнения
(5.9)
І"1
2 |
^ |
Последовательно решая системы 4-;. уравнений (5.8) и (5.9), найдем а.ы н . Если подставим найденные значения в (5.5), то получим искомое решение задачи для каждого слоя.
Если положим
л і ; * * 1 ' .АЇЇ-Г".