книги из ГПНТБ / Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики
.pdfс
то получим решение задачи для многослойного изотропного круга, разделенного круговыми границами раздела.
Аналогичным способом легко решаются следующие задачи:
1)первая, вторая и смешанная задачи для кольца,
2)первая, вторая и смешанная внутренняя и внешняя задача для круга,
3)первая, вторая и смешанная задачи для части сектора и сектора,
4)упругая область, разделенная круговыми границами раздела и другие.
Г Л А В А 2.
РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В СИСТЕМАХ УРАВНЕНИЙ СТАТИКИ И ДИНАМИКИ 0РТОТРОПН0ГО ТЕЛА Г КРИЮЛИКЕЙЙШ АНИ30ТРОПИЯШ В ТРЕХМЕРНОМ ЭВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ.
§I . ОБЩЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ.
Вработе разыскиваются все системы криволинейных орто гональных координат, в которых системы уравнений статики и ди намики ортотропно^о упругого тела с криволинейными анизотропн ями в трехмерном эвклидовом пространстве допускают разделение переменных.
Система уравнений ортотропного тела с криволинейными анизотропиями в трехмерном эвклидовом пространстве имеют вид:
(1-І)
.У* l i b + . у _Ц^£"Нху1 tt.-flw |
/ і ->их 4>~>н> |
А^ , если |
1.= І , tc=1 , |
А„ . е с л и |
і = 1 к = з , |
I л |
о.если і = vc .
ТЕОРЕМА. Разделение переменных в системах уравнений статики и динамики в эвклидовом трехмерном пространстве возмож но лишь в двух случаях:
1)в декартовой,
2)цилиндрической системах координат.
Эта теорема доказывается аналогичным способом, рассмотренным в главах I , 2, 3 и 4, часть I .
§ 2. РАЗДЕЛЕНИЕ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ.
Системы уравнений статики и .динамики ортотропного упру гого тела в декартовых координатах имеют вид:
* А „ - % * А ^ % Ч А Л ^ Ч А п ^ ^ - о , (2Л) A 5 S ^ - А ^ * А „ — г г 4 A n * A „ ^ t 4 ^ * A t u ) | ^ , 0 j
А и ^ ? ' А « - ^ ї ^ А ^ ^ Ч А ^ А ^ ^ Ч ч ^ М ^ - . ^ ,
^ А п ^ . А а ^ Ч А » ^ ) ~ . ( А ^ Л ^ , ^ ,
^ I x ' A w l 5 » И ' V И А " Ч л * ^ A » * V K j J i ' - ? T ^ '
Решением системы уравнений (2.1) будет
U r S I E B i w a V ( м ) |
(2-3) |
где
B["W = 4HA »Г[+А)-^?^Г |
( 2 '4 ) |
где |
определяется из уравнения |
|
||
a |
|
|
|
|
А 1 Л 5 А и г в * [ А к А м а * А 1 - 1 А 5 5 и А 1 . А ь 6 с ч . А к т У . |
|
|||
- A 5 S ^ 2 ] t 4 * [ a 6 A 5 5 4 с А Л 1 + а с А ь ь - н 2 С и ^ ^ + |
( 2 5 ) |
|||
+ 6 (™ $0* + с (W f - (« |
•) Am ] г 5 ^ с - а (и m j ) 1 ^ , |
|
||
Решением системы уравнений |
(2.2) будет |
|
||
U x = e |
А |
С У ^ |
|
|
U |
- - e " ' Z Z |
I B |
C ^ Q w . O . |
{2.6) |
где
І
a =§u?7 -h? -Ab t -m2 As s |
, h j ^ - n |
А и - ^ А |
н |
|||
С =?", 2 -h *A t t - n ^ A „ |
, ^ |
= A1 2 |
* A H , |
|
||
f = АІЇ+ A5 5 |
, ^ =A 2 1 + A U i |
, |
|
|
||
где T • |
определяется из уравнения |
|
|
|||
О |
|
|
|
|
|
|
Al t А5 5 |
Ab t Л |
[Ass \ b a * A„ A5 5 і - Au At l c + |
|
|||
А^тг ^+ А5 5 п2 =і2 ]^[аЕ.А55 -&сАи +ac A^ +• (2.7) |
||||||
+ 2 (и w Wf.^ + t (m ftf +• С (hcif- ( n n j у A,,"} r |
+ |
|||||
+ аьс - a ( n m ^ =o.
§ 3 . П Р И М Е Р I .
Пусть заданы на гранях ортотропного параллелепипеда смещешения и их нормальные производные
0 - O ^ = < ' W v v c e u • (3-D
( U ^ ) , , ^ - Ф ( « )
О ї - U - * * < « • • > •
Для решения этой задачи решение (2.3) представим в такой форме 52. ^ -Я, ' Си "О с»,"і
** V\ = D*n=OL-l |
І0.<&/ |
|
» |
° ° <L, / с«,"0 с» |
^. |
1 Д А АГ Ы - И ( V ^ ? CAut-NeО] ^ є * 1 *
- ^ ( г Й К А ^ а ^ - с ^ г * |
Де*1*, (3-3) |
а § - - ("f)V C ^ f A5 S , Є, = |
- С T )*АМ - |
іде t определяется из уравнения
А, Л * A M t.% [ a - A s A e 6 < А и А„ - с |
, Ап АЬ ( + дь ь ('^Р)2 + |
№ ї ^ . ( ^ с Л ^ ) і с |
^ Х , > в + ( 3 - 4 ) |
a^4^)V(^fA S 5 , |
(3'5) |
|
&^§--(^tAt f c -mV. |
|
|
C i = ^ - ( ^ ) \ 5 |
4 ^ f A v ^ |
|
где X L - определяется из |
уравнения |
|
Aj,j,A(,6 + S 2 A M A^ - i - CjA 1 1 A b t - t
Ч* T ) 2 Au + ( ^ ) W * La А^ + ^ А „ *
^ ^ ^ ^ Б Х ^ ^ Ч С ^ О ^ ^ Є И К (3.6)
+ a A c , - ( ^ ) V ^
С ^ Ч ^ Е - ' К ^ ^ Ї С А Я ^ ^ Ж ^ * (3.7)
а 3 = ( ^ ) X S А^ ,
где X - определяется |
)ia уравнения |
|
||
Л гз А^ А5 , t |
І - [а, А,4 |
А5 5 4 3 |
А„ А ^ « . с |
3 д и А 5 5 + |
|
. in . д.. а |
„ „ |
|
|
- ( * £ ) V - |
) А Я ] г Ч [а £ А* Л Л А „ + |
|||
- С ^ П Х У . а.3Є3е5 - а г в о..
Разлагая (3.1) в ряд Фурье по синусу и косинусу,затем вычисляя (3.2) при^="5 . У ^ Ї и г = ї и полученный результат сравнивая , получим систему 18 алгебраических уравнений с 18 неизвестными. Внося найденные значения в (3.2),получим искомое решение задачи.
Аналогичным способом легко решаются следупщие задачи:
1).Первая.вторая и смешанная задачи для бесконечного слоя,
2).Первая и вторая задачи для полупространства и многослойного пространства,
3).Первая,вторая и смешанная задачи для ортотропного параллелепи педа и другие задачи.
§ 4. РАЗДЕЛЕНИЕ Щ1ЛИНДГИЧЕСКИХ КООРДИНАТ.
Систсла уравнений статики и динамики ортотропного упругого тела с цилиндрической анизотропией в ци.тэщярической системе ко ординат ии5гот вид:
д Т У А Л- A n l i i t _ А , , , , . А_ьс-£ц, д A W , .
А^тАц^іи t |
Дц*Ац, Л , _ -VU, |
* г 1 "И |
г. -»гЛч ~ . ' |
|
га |
1,^ 4 |
» |
* 'ції |
t |
-Ю>ч" |
|
(4,->> |
|||||
A |
« V T t l |
г " * г |
* ч ) гг -ьч* 55т>гг |
г чгГзг1" |
||
t |
An+Att">Ut t |
А>г + Ац->аиь |
_0 |
|
||
Агг^-Ац TiUt. Агг,тAsr У с ? _ 0
Решением система уравнений (4.1) будет
и.-е^ІЕГтГАЇс^Ф.ї,
д ^ - \- ^—• І—» *—' * ;
;4.з)
И:0 Ш"=С Д = 1
где пш j = i и ]=1
" \ с Г / |
' ' W r |
а і = _ |
с. |
v ; . < с |
^ ; |
д ( в )
^ > ^ Ъ ( ^ л [ ( А 5 г у ) А л > ) ^ ^
=t"s =«і,,\[2»Сї*лОВ4С^О-с<"В(.ак«і](Аїї-^/л(|е> ,
oL^ = m*{ A ^ 4 V ? * Y K ^ - ) 4 4 r ^ А Д г ^ - А ^ О І С ^ А С Ц / л ^ .
_M *{A(w>[J<2 Ч А ^ - ^ А ^ У Н А ^ К ^ С ^ ^ / Д О О .
° < - i V ^ { A s ^ t A O * " ^ - ' B ^ t O A ^ a - c ^ i ' r t C A ^ - f ^ / i C ^ ,
• Ь С ^ О ^ Ч А г г ^ А и - С ^ А ^ у
X ( Y W 0 ] , A l ( 2 * » 0 = ( A „ * A M 4 V 1 , t * 1 ) * A M * A M . ,
Аг 1»о=А„Суа " ) 1 - и " А * . • 1^)=(А1&+А55)Стг^20+A„+ASJj
где "R^ определяется из уравнения |
|
||
Аи Т1%и А„ = о. |
|
||
Когда j = г , j = v |
, j = 5 |
и j - 6 |
, А^с~.~-) ,"В^С-.*-1 и С^с»,*) |
определяются по следующим формулам |
|
||
. ф |
~ CP |
4к Л! |
|
„їй |
" Ф |
4к»тг;+1 |
j « - ^ ( А щ - ^ А С м / д ^ . К* =[J A&0-a(i«1 AjCi-il/a^,,).