книги из ГПНТБ / Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики
.pdfзо
В случае внешних задач для крута і - Я/,
Аналогичным способом легко мокно получить формулы для второй задачи теории упругости.
З А М Е Ч А Н И Е .
Из репонных задач в §§ 4, 5, 6 следуют, что легко решаатся следутие задачи: I) первая, вторая я смешанная задача туи коль ца. 2) первая и вторая внутренняя' ч внешняя задачи для круга,
3)упругая область, разделенная круговыми границаш раздела,
4)первая, вторая г сгятанная зшіачи для часта сектора и сек тора н другие.
§ 8. РАЗДЕЛЕНИЕ ДЕКАРТОВЫХ КООРДШАТ.
Система дифференциальных уравнений (І.Т) в декартовых координатах имеет вид:
1-і-О ^ ?
(8.1)
= о
где ^ = (>*j-Vf. ."^}* - упругие постоянные ЛЕЛІЄ.
ЗІ
Вышеуказанный способом решая (8.1), получим решение в такой
форме
u ^ C * С - s ± А ^ > ( а Г ^ . У |
|
J , |
||||
|
|
|
|
|
|
(8.2) |
S |
ic:li4 |
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
А,<.*0 = Є |
A |
t |
( » ) = |
— ' - 2 ) e |
C |
^ |
A , C^-}= Є |
A |
|
Cx.> = - ( ^ k x * d * a ) e |
|
|
|
С»' |
-«СО-»', |
|
Си) |
-IC(Q-3L5 |
|
|
§ 9. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ.
Пользуясь решениями (8.2) н известными формулами для вычисления
тензоров деформации н напряжения, найден тензоры напряжений в декартовой системе координат
(9.1)
P = f ' a 7 + |
t . t-x)(ot. Cswy-6. |
I ПР
1*1 |
-к(а-*.-) |
(„і |
-к(а--0 |
|
Ц (/»-) =-2у*Є |
_ |
Cfc ex}=2ic[Mj.(clicx*a)e |
|
|
,-,(.•0 |
-к(а-»-) |
-«са-о |
|
> 4 |
t*1 = d^i«e |
_ t 7 |
c-x.1 = 0.j«k(cii<:x-i)e _ (9.2) |
|
§ 10. |
П Р И М Е Р |
I . |
|
• 'ігть |
ткется бесконечная полоса. На границах; при |
= о и |
||
г = а |
заданы смешения: . |
|
|
|
|
•АІ |
= ^еСССУ) |
С = о , а |
|
|
1 1 |
•х. - с |
|
|
ье t. Сч) - периодические функции, удовлетворяющие условиям "яряхле. Разложение заданных функций в ряд Фурье дает
со |
с» |
( . 1 |
( .( |
|
|
Г; |
СУ) = Ц V^'wbUicy ч-5>к"(.Є)С«Х:у) . |
(10.2) |
|||
Сравнивая (8.2) |
при |
* = ° |
и ^ = а |
с (10.2), |
получим 8 алге |
браических уравнений с 8 неизвестными функциями |
|
||||
. С - ? > а |
, ЄГ:*Са-РГса>Л. |
. ( I Q .3 ) |
|||
2 а Г в Г с Ч - ? Г с о . i r V l o - . - U , |
( I 0 , 3 ) |
Решая системы уравнении (10.3), получим
( Ю |
С*0 |
0 ( o l |
Cxi |
(.-•.) |
(10.4)
a . = A . / ^ - » _ &. = ^ / ^ ' |
, u i > |
Если подставим (10.4) в (8.2), то получим формальное решение. Покажем, что полученное решение (8.2) является искомым. Для этого докажем сходимость и возможность их дифференпгрозания. Пусть
дифференцирование по |
у |
в |
п |
раз |
дает: |
|
|
|
||
Т) Uj |
|
и |
<«i |
г„ 1-і |
-г- |
со |
|
.г -і |
||
|
|
і - і |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда получаем оценку |
|
|
|
|
|
|
|
|||
И |
М |
* |
|
|
|
|
|
|
|
„ 0 . 7 , |
Если подставим |
(10,4) |
в |
(10,7), |
то получим после |
преобразования |
|||||
X |
|
а |
і |
»..,, |
|
2>- |
& |
і |
, |
(10.8)* |
« « 1 - |
|
1 |
|
|
||||||
где
О, ^ = 2^ка(<t tea ^ . 2 ) е |
, с £ = 3 (jк « ^ + 2 ) е |
Применяя к ряду (10.8) признак Даламбера, приходим к выводу, что они сходятся.
§ I I . П Р И М Е Р |
2. |
|
|
Пусть имеется бесконечная полоса. На границах при =с = о |
за |
||
даны смещения и при ж = а напряжения |
|
||
( " О ж , в = * > ) , |
0 U _ Q = F ; c y ) , |
( п л ) |
|
Нормальное напряжение в декартовых координатах имеет вид:
^ |
= V |
+ |
? • |
(П.2) |
Для наше! задачи при |
•х=а |
: |
°^ = і , р = о . |
|
Тогда на этой границе |
напряжения будут иметь вид: |
|
||
( ^ Л х = о = ( А 0 ^ т > ) , ^ . ^ W W |
( П ' 3 ) |
|||
Разложение заданных функций ( I I . I ) в ряд Фурье дает
£ \ Ы = £ |
/ а + |
£ |
у * у«С^кчЛ . |
(II-4) |
|
Сравнивая (8.2) и (9.1) |
при |
х = о |
и х = а |
с ( І І Л ) , |
получим |
систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов
а|К1 и |
. Подставляя найденные значения в (8.2) и (9.1), |
|
получим искомое решение задачи. |
|
|
|
§ 1 2 . П Р И М Е Р |
3 . |
Рассматриваются первая, вторая и третья смешанные задачи теории упругости для прямоугольной области со следующими граничными ус ловиями:
1) пусть заданы на границах прямоугольника смещения и их производные, т.е.
V 4 i ? U c _ ^ t 4 ) . t u , ) 4 = c , = 4' x C^ , с=о,а . |
( 1 2 Л ) |
2) пусть заданы на границах прямоугольника напряжения и их нормальные производные, т.е.
(12.2)
3) пусть заданы на двух границах смешения я их нормаль ные производные, а на остальных напряжения и их нормальные про изводные, т.е.
Для решения этих задач решения системы уравнений Ламе, найденные методом разделения переменных, можно представить так
(12.4)
ОО L. і \
где
1*1 к ^ й I * ' < о Л
і
1*1 K^tO С о К ^ Л
Сперва рассмотрим первую смешанную задачу. Вычисляя (12.4) при •X = с , у = d . разлагая (I2 . I) в ряд $урье по синусу и ко синусу и полученный результат сравнивая, получим систему 8 ал-
гебраических уравнений.
.let |
' |
«> |
ioS |
-.dl |
|
, |
где UK |
, |
fK |
, ^ |
, v K |
- коэффициенты ряда Фурье. |
|
|
|
|
|
|
( к ) |
л с*0 |
Решая систему уравнений |
(12.5), |
найдем а- |
и ь- , и под |
|||
ставляя найденные значення в (12.4), |
получим искомое решение |
задачи. |
|
§13 . П Р И М Е Р |
4 . |
Пусть дан прямоугольник, на границах которого заданы смещения і напряжения
( и » > « а е - |
, C ? , a ) y . _ d - < % , |
(I3.I) |
Решение уравнения равновесия теории упругости (8.1) можно представить так:
U , = Z £ К \ W f c - ^ < ^ « v 0 ' |
(13.2) |
и тензоры напряжения имеют вид:
^ А 1 СЮ |
-СО |
|
(*) • СЮ |
C I |
-) |
(13.3)
» 3 <=c 1-і 1 |
|
л (.«1 г • C"l |
. СИ.І -. |
где
-кг, л
й = а , у • it - 1Я |
w - ^ |
Проекции нормального напряжения имеют вид:
V |
V |
* v |
- |
В нашем случае: |
|
|
|
х = о , а : j = •» ; |
у> = о |
||
у = о,& |
-. |
f - - ї ї |
, j = 0 |
В силу (13.5) выражение (13.4) будет иметь вид:
ІЛ1
= ^ ( У )
(13.5)
(13.6)
Разлагая (13.6) и (ІЗ.I) в ряд Фурье и сравнивая подученные ре зультаты с выражениями (13.2) и (13.3), вычисленными при -х = с
• у = d , получим систему 8 алгебраических уравнений. Решая
вту систему уравнений, находим а.'" и |
В^14 , затем подставляя |
найденные значения в (13.2) и (13.3), |
получим искомые смещения |
и напряжения. |
|
I I ) . Пусть заданы на границах прямоугольника смещения и напряжения такогв вида:
( с - - о а • А,о,1 )