книги из ГПНТБ / Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики
.pdfРешение системы уравнении (2.1) будем искать в виде:
И =0 - bo 1-І
Если подставим (2.2) и (2.3) в (2.1), то получим
Решением системы уравнений (2.4) будет
1=1 |
b l |
1ДС t
^ a ? » * V b * y « r . л г „ - ? і * ї х - у » - 5 ^ , m V - * , - i » - V l f
Система динамических уравнонжй теории связанной термоупругоети в цилиндрических координатах имеет вид:
Г \ ^ . Л — \ ^ - ( t u |
ЛіЛЇУь ї л и , |
-»г ц* ^ і " * Ч + ^ |
- |
" U e ^ i * V J , |
( 2 ' 6 |
|
Решением этой системы уравнений будет |
|
|||
Т ^ Н ъ J + t* Т>ч* |
її* |
~ «Ч гллЛ та ) |
|
|
« • " " > • ' |
* |
\ ' |
(2.7) |
|
и=о icro X - i
. .4 00 00 S C X * |
(тЛ |
(2.7) |
|
||
И ~ D 1С-О |
|
' |
|
= / |
АС"."> А^'"' Л'"'1" »T"'"') |
Л0 "'^ |
« |
|||
А 4 Ч |
|
, А 1 г |
= А г і |
= А „ - A v l - - o , A r t |
|
||
А4*' - а З |
|
|
= ^ |
, A ^ ^ ) A - - y J _ |
|||
+ *•*<v f |
, S j = t o * w |
* i ' ? |
4 ^ |
. ^ 1 ( |
л |
, p -- H j . , |
|
Рассмотрим пример. Пустьг.аш часть трубы конечного размера с внутренним и внешним радиусами О- и і и высотой Vi . На границах заданы:
( e V ^ e ^ W ) , r w - |
( 2 ' 8 ) |
d = о,и -, і - о\ .
Для решения этой задачи решение (2.7) можно представить так:
Ц =е 2 - 2 . 2 - \ A . t c v ^ ^ c ^ j
4 u t |
£2, £° JL, |
c« ^ |
0 = e |
2- 2- L |
CLX A > 9 (о&миу fcuK3 |
Решение (2.10) автоматически удовлетворяется граничным услови ям (2.9). Разлагая (2.8) в ряд Фурье по синусу и косинусу и
сравнивая с (2.10), вычисленными при |
х~с |
, получим 8 алге |
браических уравнений, и решая, найдем |
а^1 '"1 - |
Если подставим |
на£денные значения в (2.10), то получим искомое решение задачи. Аналогичным способом легко решается следующие задачи:
1)первая, вторая и смешанная задачи для бесконечной трубы,
2)пгрвая и вторая (внутренняя и внвавяя) задачи для пданндра
идругие.
§3. РАЗДЕЛЕНИЕ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ.
Неоднородные уравнения температурного равновесия в де картовых координатах имеют вид:
Ч=» V ~-»*»a -»*•»* '
- W |
T»*W |
.TV |
,VUP |
.; "bV |
-vr |
|||
^ |
* ^7» * ^ |
|
Т |
Г |
* |
|
r * |
- |
где ^ - ( л * г у р |
, |
p « J / |
f J , |
|
|
|
||
Пусть температурная функция Т |
разлагается в ряд Фурье |
|||||||
|
T = £ Z I > . < 4 |
|
• |
(3.2) |
||||
Решение системы уравнений |
(3.1) |
будем искать в виде: |
||||||
|
|
оо |
оо |
V |
|
|
|
|
|
|
оо |
«і |
|
|
|
|
(3.3) |
|
|
КІ Стхоо"ї"мС' а1і * ! |
|
' |
|
|
||
к = Е Е Е £ - Л
Если подставим (3.2) и (3.3) в (3.1), то получим
Решение СЇСТЄІЙ даффврвнпжальных уравнений (3.4) будет
A r £ £ 7 7 ) l e |
У ; е J * * e |
Ц е doc], |
2 . = ° , v ^ ' . V ^ , |
V " * e ^ |
Система динамических уравнений теории связанной термоупругостя в пространственных декартовых координатах имеет вид:
г |
a |
a |
<3.6) |
Решением этой системы уравнений будет
U x = e |
Ц Е Н А : |
C*)«f\ |
|
|
kc-co tn=* j= і * |
* |
|
|
• .1 Ю W I |
#.. _ , |
(3.7) |