книги из ГПНТБ / Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики
.pdfПодставляя (I.41) в (1.26), наїдем
В силу (1.32) выражение (1.50) будет иметь вид:
Почленное умножение (1.52) на (I.5I) дает
І г = ї г і - |
(1.53) |
Пользуясь (1.46) и (1.32), выражение (1.44) можно написать так:
( 1 - и )
В силу (1.49) выражение (1.24) будет иметь вид:
kL^^~~Y~- (1-55)
Почленно умножая (1.55) на (1.54), получим
Пользуясь (1.32), линейный элемент (Ї.І9) можно написать так:
d s M W O M v i ^ ^ . ^ O 4 . |
(1.57) |
Мажет быть, гаю*™* элемент (1.57) не принадлежит евклидову пространству. Для того, чтобы он принадлежал евклидову простран ству, необходимо и достаточно, чтобы тензор кривизны обращался в нуль тождественно
Из линейного элемента (1.57) хмеем |
|
|
H t = V U . И ^ ї Д , |
, V * i V |
( 1 ' 6 0 ) |
Если подставим (1.60) в (1.58) |
ж (1.59), то получим |
|
(1.64)
(1.65)
(1.66)
Из выражений (1.64), (1.65) и (1.66) следует
JS» <Нг ' <Ч' ^ ' Ч |
( І -Є 7 ! |
Выражения (1.67) дают:
d b |
<*<^ . d<{% |
3, |
£ * . „ . i f . „ , |
|
|
а?г |
а<?г |
4) |
- ІІ?=о |
І ! і * о , |
5 ) |
i l ' = o |
i l L o , |
|
a * |
?*o, |
at,1 |
n |
7 ) |
|
- j — |
~o, |
|
n |
|
|
<Ц |
г |
Из выражений |
(1.68) |
имеем |
|
|
І1 *= о
^t o ,
а * *
—— =0, - r - i - o . < ^
t : = C l i \;*cx,i[*z,x*^t
где C; - постоянные интегрирования.
( I . , M
CI-7I)
( I ? 2 )
(174)
(I-75)
Если подставим (1.75) в (1.57), то получим линейный элемент в таком виде:
d S |
= d -3L + сі ^ +- d 2^ . |
(1.76) |
Выражение (I.W)) |
после интегрирования дает |
|
В силу (1.77) тензор кривизны (1,63) |
дает |
|
|
|||
2 |
d , * ^ V J I ? J 0 • |
|
( 1 -7 8 ) |
|||
Решениеи этого уравнения будет |
|
|
|
|
||
5» |
|
|
... |
|
|
(1.79) |
Если подставим (1.79) и (1.77) в (1.57), то получим |
|
|||||
d s * W £ * d £ |
сц . |
|
(1.80) |
|||
Выражение (1.70) дает |
|
|
|
|
|
|
В склу (I.81) тензор кривизны (I.6I) |
дает |
|
|
|||
Решением этого уравнения будет |
|
|
|
|
||
S*= ( c l ^ + O |
2 . |
|
|
(1.83) |
||
Подставляя (1.83) и (I.8I) в (1.57), получим |
|
|
||||
Аналогично из выражения (I.7I) имеем |
|
|
|
|||
V |
^ , |
1 Г 1 г . |
•-- |
' |
(1.85)" |
|
В силу (1.85) и (1.53) |
тензор кривизны (I.6IJ |
и (1.63) |
будут |
|||
иметь вид: |
|
|
|
|
|
|
2 d t f + ^ V 7 * J 4 ^ } * . = ° -
Решениями этих уравнений будут
\А°%А), |
|
|
A SufQ* |
|
(І.Я7) |
|
Если подставжм (1.87) • (1.85) |
в (1.57), |
то после несложного пре |
||||
образования получим |
|
|
|
|
|
|
d s * - d r « - t |
dl©%t |
Si«e«W\ |
|
(1.88) |
||
Путем интегрирования из выражения (1.72) |
будем иметь |
|
||||
|
|
, ч м ; . |
|
«•»> |
||
Подставляя (1.89) в тензор кривизны (1.62),жолучим |
|
|||||
d i i |
as.4 |
|
|
|
||
Выражения (1.89) и (1.90) противоречат выражению (I.7I), |
следо |
|||||
вательно, этот случай отпадает. |
|
|
||||
Выражение (1.73) после преобразования дает |
|
|||||
\ а К |
|
|
. |
|
( " і ) |
|
Если подставжм (I.9I) |
в тензор кривизны (1.62) и (I.6I), |
то по |
||||
лучим |
|
|
|
|
|
|
2 «U* |
*l*V<*tJ |
' |
|
(1.92) |
||
|
|
|
|
|
|
|
Решенхямв эткх уравненжЁ будут |
|
|
|
|||
*г = (.<V<0 |
, і] = ? ^ " |
Яч- /) • |
(1.93) |
|||
Пользуясь (1.93) и (І.9І) |
линейный элемент (1.57) можно написать |
|||||
в виде: |
|
|
|
|
|
|
^ а я |
> < а ч ; н - я > Ч А * • |
( 1 - 9 4 ) |
||||
Выражение (1.74) |
дает |
|
|
|
= |
, |
. |
= < • |
(1.95) |
Если подставки (1.95) в (I.6I), |
то получш |
|
||
|
|
|
|
(1.96) |
Выражение (1.96) противоречит выражению (1.74). Следовательно,
такого случая не может быть.
Дія линежннт элементов (1.76), (1.80) и (1.84) выражение (1.3) будет иметь вид:
а для (1.88) ж (1.94):
|
w |
|
, |
и ^ и Г и Г и Г . и ^ и Г ^ С |
(1-98) |
Яз нараженії (1.94), |
(1.88), (1.84) и (1.76) следует, |
что сис |
тема уравнений (І . І) в эвклидовом пространстве трех измерений допускает разделение переменных в декартовой, цилиндрической
• сферической системах координат, ~ти условия (1.76), (1.84), (1.88), (1.94), (1.97) ж (1.98) не только является необходимы ми, но также является достаточными. Достаточность доказывается непосредственной проверкой.
Сделаем некоторые срешения. В.В.Степанов (t08~l > пока зал, что скалярное уравнение Лапласа допускает разделение пере менных в одиннадцати координатных системах. А в напей работе показано, что система уравнений теории упругости лишь трех сис темах координат. Действительно, уравнение Лапласа после разде ления переменных можно написать
^ і - ^ У і |
І - ^ У . =0 , |
(1.99) |
где |
|
|
• ^ i ^ i |
"И? ' Н = Н * Н » Н 5 - |
(1.100) |
Коэффициенты Ламе в криволинейных ортогональных системах коор динат имеют вид:
в декартовой |
Н 1 = Н г |
= Н і = і , |
|
|
(І.І0І) |
в цилиндрической |
ігїt = J., |
Н г =Яг, ^ї = 1 . |
|
(І.І02) |
|
в сферической |
Н Г 1 - .• |
= <lj \ Н-і^Я^^Яа |
> |
|
(І.І03) |
в эллиптической цилиндрической |
|
|
|
||
В бШГОЛЯрНОЙ ЩЛИНДрИЧеСКОЙ H^H^t/.JU^+Co^") , Н3 |
= 1 5 |
(I.I05) |
|||
|
|
f t і Vi |
|
|
|
в параболлоидной пдлиндрической Н1 =Б, = ІчІ\,1*Яг) |
, н , - 1 1 |
(1.106) |
|||
в ларабоидаяьнон |
Н t = Нг -'ч Яі + t k ) 4 " , И^ЯчЯ» , |
|
(1.107) |
||
зсжатой эллипсоидальной Н^Н^^С^Ч,-^1 ^)^ уцДсц^гр.Юв)
ввытянутой аллипсовдальяой Hl=H,= t^.%'-4i-4,ti,H,=(.?4,4i.<iin.I09)
в |
биполярной |
Н4 = V |
Ц а , v u < v J : H , 4 5 u . ^ |
;,(ІЛІ0) |
|
в |
эллипсоидальной H 4 |
= (ДгЯаКЯг^Ц)/ |
н =- |
|
|
= ^-чоСЧа-ч-ОЛг» , |
H b 4 v v ^ V « w V 4 * |
( і . п і ) |
|||
в |
тороидальной |
Н^Н,^ t / f a ^ ^ r ^ . ^ - j . H ^ t s f c ^ ^ . ^ |
.-(1.112) |
||
в |
параболлической веретеобразной |
|
|
||
Первые одиннадцать формул, т.е. вираженая (І.ІОІ) - |
( І . І І І ) |
||||
удовлетворяю первому необходимому требованию (I.IQO). Следова |
|||||
тельно, уравнение Лапласа допускает разделене* в одиннаддатх |
|||||
системах координат, а |
в остальных системах (І . ІІ2) и |
(І . ІІЗ) |
|||
уравнение Лапласа не допускает разделения переыеиких. Для сис |
|||||
тема дзфіяренідиальннх уравнений теории упругости только перше |
|||||
три выражения (І.ІОІ), |
(І.І02) и (І.І03) удовлетворяют необхо |
||||
димым условиям (1.7), |
(1.8) |
и (1.9), |
а остальные (І.ІС4), ( І . І 0 5 ) , |
||
( І . І 0 6 ) , ( І . І 0 7 ) , (І . І08), |
( І . І 0 9 ) , |
( І . І Ю ) , |
( І . І І І ) , |
( І . І І 2 ) , |
|
(І.ПЗ) не удовлетворяют. Следовательно, разделение переменных |
|||||
зозиожно в решениях сястеш дифференциальных уравнений теория |
|||||
упругости лишь в трех случаях: в декартовой, |
цилиндрической ж |
||||
сферическоЗ системах координат. |
|
|
|
||
§ 2. РАЗДЕЛЕНИЕ ЦШВДДРИЯЕСКИХ КООРДИНАТ.
Уравнения статики упругого тела в цилиндрических коор динатах имеет вид:
i [ i L ( |
™<U 1-І»» А |
Л |
L £Ні |
Д п.1 („и І ~» U > 4 |
-о го -п |
|
, [ і Л . ( Л ^ + i~Lik. |
-ьаЦг"1 |
i-\u^ |
-УЧч + і."іН?ч .і.'£н? |
о2Н.« |
||
IS"»V |
^ <[т>ч"ь**; : *- їі 1 |
8 n |
"»<іг |
S'-xf-1 |
іпчії |
|
Решение |
системы уравнений |
(2.1) будем искать |
в жиде: |
|
||
|
U4~ А Д ^ Ф (.*)!(*) |
, |
|
(2.2) |
||
|
U j - А ь С ? ) Ф ^ ) І и ) . |
|
|
|||
Если подставим (2.2) |
в (2.1), то получим |
|
|
|||
E o n жмпжны |
|
Ф =~Р*Ф , Ї |
- к 1 , |
т# система ураигаюй (2 '3) |
примет таке! жид: |
* а * * о - * ь / , в ^ в с ) - ° .
їда
A - - ^ ( ^ V ? X / r * ' A > ,
УыЕожая второе уравнение системы (2.5) на § ж дифференцируя не ^ , получки
Вычжтел жз первого уравненжя (2.5) уравнение (2.10), получим
Решением уравнении (2.II) будет
где у , і -произвольные постояннее, 3pG*0 sW'ptiicO - функции
Бесселя первого и второго родов с ЫЕИЫШ аргументом. Джфференцжруя третье уравнение (2.5) по <> , получим
^ ^ + J - ^ J ^ ) ^ ] = o. |
( 2 Л З ) |
Вычитая из (2.13) первое уравнение (2.5), наядви |
|
ф \ г ^ Ь ? ^ И ^ Г мП = о. |
(2.14) |
Умеахая второе уравнение (2.5) на j |
и полученный результат вы |
||
читая жз третьего уравненжя (2.5), будем иметь |
|
||
Дифференцируя (2.14) по ^ |
, умножая |
(2.15) на ^ |
ж вычитая, по |
лучим |
|
|
|
" ^ " 1 Т Г С ^ Т ) Е " " 0 ' |
( 2 - I 6 > |
||
где |
|
|
|
|
|
|
(2.Г7) |
Решепиек уравнения (2.16) |
будет |
|
|
E ^ V ^ M ' ^ |
( 2 Л 8 ) |