книги из ГПНТБ / Клюев, А. С. Автоматическое регулирование

В зависимости от знака подкоренного выражения (2-32) при нахождении оригинала по его изображению (2-33) могут возникнуть три случая:

1.При 7’і/7'2> 2 оба корня характеристического урав­

По этому изображению согласно таблицы преобра­ зовании Лапласа (см. п. 20 Приложения 1) находим оригинал:

Таким образом, при Г,/Г2> 2 переходный процесс оп­ ределяется двумя экспонентами и в этом случае диф­ ференциальное уравнение (2-24) характеризует переход­ ные процессы соединения, состоящего из двух соединен­ ных последовательно апериодических звеньев. Это видно также непосредственно из передаточной функции соеди­ нения, если ее записать в виде

дить лонятия нового типового звена, хотя на практике часто такое соединение называют инерционным звенолі второго порядка.

2. При 7’1/Г2=0 характеристическое уравнение имеет два одинаковых вещественных отрицательных корня

Рі= Р2=—а = —1/Т2.

С учетом этого запишем выражение (2-33) в виде

^Хопх____

-^вых (р)--

т\р(р + °.у-

■10

По таблице преобразования Лапласа (см. п. 19 Приложения 1) находим:

Переходный процесс периодический. Так как при этом передаточная функция (2-25) может быть представлена в виде

два сопряженных комплексных корня где

(2-36)

С учетом этого запишем выражение (2-33) в виде

41

Таким образом, переходный процесс звена при Ті/Т2<2, характеризуемый уравнением (2-38), периоди-

щая со корней характеристического уравнения является круговой частотой колебательного звена. Период коле­ баний Т = 2я/(о. Оценкой переходного процесса колеба­ тельного звена служит степень затухания колебаний. Степенью затухания ф называется отношение разности

4 2

Чем ближе к единице величина і|з, тем быстрее зату­ хают колебания переходного процесса.

Степень затухания зависит от отношения веществен­ ной составляющей комплексных корней характеристиче­ ского уравнения а к их мнимой составляющей со. В свою очередь это отношение определяется отношением посто­ янных времени Tj/T2:

4. При Ті= 0 Т1/Т2 = 0 вещественная и мнимая со­ ставляющие корней характеристического уравнения бу­ дут равны:

а = 0; со= 1/Т2.

Подставив эти зна­ чения в выражение (2-38) для переходного процесса колебательно­ го звена, получим

—sinj^—|-arctg 00

—вх ^ 1 COS j .^ ^ .

43.

Следовательно, для уменьшения колебательности си­ стем регулирования в колебательных звеньях необходи­ мо увеличивать постоянную времени 7^ и уменьшать Тг. Однако это целесообразно делать лишь в определенных пределах, так как при чрезмерном увеличении отноше­ ния Ті/То, переходный процесс затягивается (см! рис. 2-9) и время регулирования увеличивается.

Лі + / т р + / п р = / в х .

Учитывая только силу вязкого трения, которая пропорциональна скорости перемещения подвижной системы, получим:

,, rf&SnvtX

fnp= cASnblz,

где с — жесткость пружины.

Подставив значения сил в уравнение равновесия, получим:

В настоящее время принято составлять дифференциальные урав­ нения звеньев в безразмерных (относительных) единицах.

Безразмерной единицей давления будем считать отношение АРВх к максимальной величине давления Ямакс на мембрану, при котором

клапан полностью закрывается; безразмерной единицей перемещения

кого трения мембранный пневматический клапан при Ь/Ѵ тс< 2 яв­

ляется колебательным звеном.

Постоянные времени и коэффициент передачи его равны:

вязкое трение не всегда является нежелательным. В данном случае достаточно высокое вязкое трение обеспечивает устойчивую работу клапана, так как постоянная времени Тх пропорциональна коэффи­ циенту вязкого сопротивления Ь.

Практически, когда силы вязкого трения в механических элемен­ тах недостаточны, применяют дополнительное демпфирование под­ вижной системы, т. е. вводят дополнительную силу, противодействую­ щую перемещению подвижной системы и пропорциональную скорости

Следовательно, в этом случае можно пренебречь инерционностью . подвижных частей пневматического клапана и представлять его в ди ­ намическом отношении как апериодическое звено с передаточной функцией, определяемой формулой (2-22).

45

Па рис. 2-11,6 приведена электрическая схема, переходный про­ цесс которой также описывается дифференциальным уравнением вто­ рого порядка.

Постоянные времени и коэффициент передачи в этом случае

тырех сопротивлений н двух емкостен. Это является ее недостатком, так как параметры настройки, определяющие динамические свойства звена, взаимозависимы. П оэтому установка оптимальной величины одного из трех параметров настройки в большинстве случаев не дает возможности получить оптимальные значения такж е для двух осталь­ ных параметров. Кроме этого, такая настройка трудоемка и требует высокой квалификации наладчика.

д) Дифференцирующее звено

Выходная величина дифференцирующего звена про­ порциональна производной по времени от входной вели­ чины

Передаточная функция

W(p)=kp. (2-43)

Из выражения (2-42) следует, что выходная величина дифференцирующего звена пропорциональна скорости ■изменения входной величины..

Если входная и выходная величины имеют одинако­ вую размерность, то коэффициент /е измеряется в секун­ дах. В этом случае его принято обозначать через Т и называть постоянной времени дифференцирующего звена.

Примером дифференцирующего звена может служить тахогенератор, если за его входную величину принять угол поворота его вала ßBX, а за выходную величину—■ напряжение пВЫх тахогенератора, так как последнее

46

пропорционально угловом скорости вращения соВх, кото­ рая в овою очередь равна производной от угла поворота:

И'вых—■/гшвх-=/г ^Рвх dt ■

е] Запаздывающее звено

Выходная величина в запаздывающем звене точно повторяет входную величину, но с некоторым запаздыва­ нием по времени т:

^выхСО = хвк(І х).

Для определения передаточной функции звена най­ дем изображение выходной величины по Лапласу:

и учитывая, что дифференциал dx постоянной величины равен нулю, получим:

(/>)=*-*" 00J х ъх{Х)е-ргаі.

о

Так как согласно формуле (2-7) интеграл в этом вы­ ражении является изображением Хвх(р) функции *вх(Я) — xBX(t—т), получим:

^ в ы х (р) = е~р'Х-вх (р)-

Таким образом, запаздывающее звено имеет переда­ точную функцию

Переходный процесс запаздывающего звена при скачкообразном изменении входной величины на Ховх представлен на рис. 2-12.

47

Типичными примерами запаздывающих звеньев явля­ ются поточно-транспортные устройства, если за входную величину принято поступление сырья, -продукции и т. д. на транспортер, а за выходную— съем их с транспортера.

Ыа рис. 2-13 пред­

W(p) = e

2-4. СОЕДИНЕНИЯ ЗВЕНЬЕВ. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ СОЕДИНЕНИЙ

Определив передаточные функции звеньев автомати­ ческой системы регулирования, можно найти передаточ­ ную функцию системы в целом, решая систему элемен­ тарных алгебраических уравнений вида (2-12) методом последовательного исключения промежуточных входных и выходных переменных звеньев. Однако понятие пере­ даточной функции дает возможность дополнительно упростить задачу расчета АСР, так как при этом пере­ даточную функцию системы, состоящей из нескольких соединенных звеньев, можно определить непосредствен-

48

по по передаточным функциям ее звеньев, не решая сП-1 стемы алгебраических уравнении.

В АСР звенья могут соединяться в самых различных сочетаниях. Однако систему любой сложности можно всегда рассматривать как совокупность трех видов со­ единений 'элементарных звеньев: последовательного, па­ раллельного и встречно-параллельного.

а) Последовательное соединение звеньев

При последовательном соединении звеньев выходная величина предыдущего звена является входной величи­ ной последующего.

Рис. 2-14. Последовательное соединение звеньев.

Так, для трех последовательно соединенных звеньев, изображенных на рис. 2-14, можно записать:

Хвых1= Хвх2І ХВых2= ХвхЗ-

Входной величиной хах всего соединения служит входная величина первого звена.

Выходной величиной хВЫ соединения является вы­ ходная величина носледного звена.

В соответствии с выражением (2-12) имеем:

Х ВыхЗ (p) = W3(p)XBX3(p).

Учитывая, что Хвх3(р) = Х вых2(р) и Хвх2(р) = Х вых1{р),

находим:

ХВВтг(р)—W3(p) W2(p)XBX2(p) —

- w 3 (р) W2 (р) Wi (р)Хвхі (р).

Так как передаточная функция соединения в целом равна W(p) = Хвых(р)/Хвх(р), то с учетом того, что

ХВыхз(р) — ХВВіх(р) и Хвхі (д) =Хвх(р), получим*