книги из ГПНТБ / Клюев, А. С. Автоматическое регулирование

чивые гармонические колебания с частотой сог и ампли­ тудой, равной 1. Выходной сигнал гармонической состав­ ляющей с частотой сог и амплитудой, равной 1, при пода­ че на вход системы будет суммироваться с поступающим сигналом, также равным 1. Суммарный сигнал с ампли­ тудой, равной 2, проходя через систему, при коэффици­ енте передачи разомкнутой системы, равном 0,5, будет иметь на выходе установившуюся величину амплитуды 2-0,5 = 1.

4-5. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ

Амплитудно-фазовый критерий устойчивости Найкви­ ста применим и в случае изображения АФХ в виде ло­ гарифмической амплитудной и фазовой частотных ха­ рактеристик разомкнутой системы.

Так если система устойчива в разомкнутом и за­ мкнутом состояниях, то АФХ разомкнутой системы (см. рис. 4-4,а) не охватывает точку (—1, /0), т. е. W (щ2) < 1 при ф(со2 ) = —л. Так как lg 1=0, то необходимым и доста­ точным условием устойчивости такой системы является пересечение ЛАЧХ оси абсцисс раньше, чем ЛФЧХ пе­ ресечет линию, соответствующую ее фазовому сдвигу —л. Если же ЛАЧХ пересекает ось абсцисс после пере­ сечения ЛФЧХ прямой —л, то значение ЛАЧХ при Ф(а>2 ) = —л будет больше единицы и, следовательно, это будет соответствовать охвату АФХ (см. рис. 4-4,6) точки

( - U 0 ) .

На рис. 4-8,а показаны логарифмические частотные характеристики, соответствующие АФХ на рис. 4-4,а для устойчивой системы в разомкнутом и замкнутом состоя­ ниях, а на рис. 4-8,6 приведены ЛАЧХ и ЛФЧХ, соот­ ветствующие АФХ на рис. 4-4,6 для устойчивой системы

ность чисел переходов ЛФЧХ разомкнутой системы ли­ ний —я, —Зя, —5л и т. д. снизу вверх (положительный переход) и сверху вниз (отрицательный переход) при положительных значениях ЛАЧХ в диапазоне изменения частот от 0 до оо будет равна половине числа положи-

210

тельных корней характеристического уравнения разо­ мкнутой системы.

Если АФХ разомкнутой системы при со = 0 совпадает с отрицательным направлением вещественной полуоси (см. рис. 4-5,а и б) и конец ее вектора находится слева от точки (—1, /0), то при этом ЛАЧХ будет положитель­

Рис. 4-8. Логарифмические частотные характеристики разомкнутых систем.

а —устойчивых в замкнутом и разомкнутом состояниях; б — устойчивых в разомкнутом, но неустойчивых в замкнутом состоя­ ниях; в — неустойчивых в разомкнутом состоянии ( т —1) и устой­ чивых в замкнутом состоянии; г — неустойчивых в разомкнутом (/п=1) и замкнутом состояниях.

от входных, то такой отход ЛФЧХ от прямой —л; сле­ дует принимать за 1/2 перехода снизу вверх.

Так, на рпс. 4-8,в и а приведены ЛАЧХ неустойчивых систем в разомкнутом состоянии с одним положительным корнем характеристического уравнения (т — 1). Ло­ гарифмическая фазо-частотная характеристика систе­ мы па рис. 4—8,е имеет разность положительных и от­ рицательных переходов при L(co)>0, равную 1/2= т/2. Следовательно, эта система в замкнутом состоянии бу­ дет устойчивой.

Логарифмическая фазо-частотная характеристика си­ стемы на рис. 4-8,г имеет разность таких переходов

Следовательно, эта система в замкнутом состоянии будет неустойчивой.

4-6. СПОСОБЫ ВЫДЕЛЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

а) Понятие о D-разбиении пространства коэффициентов характеристического уравнения

Коэффициенты дифференциального уравнения систе­ мы, которым описываются переходные процессы в ней, определяются конструктивными особенностями элемен­ тов системы, их динамическими свойствами и парамет­ рами настройки регулятора.

Устойчивость системы регулирования зависит от со­ отношения коэффициентов дифференциального и соот­ ветственно характеристического уравнений [см. форму­ лу (4-1)]. При изменении тех или иных параметров си­

При конструировании системы ряд параметров и звеньев является заданным, так как они определяются требованиями технологического процесса и конструк­ тивными особенностями объекта регулирования. В то же время в распоряжении конструктора имеется несколько параметров, которые он может изменять в определенных пределах. Например, можно применить для целей регу­ лирования различные регуляторы, выбирать различные регулирующие органы и т. д.

212

При разработке системы регулирования необходимо выбрать параметры, па которые нет существенных огра­ ничений, таким образом, чтобы обеспечить требуемые динамические свойства системы в целом, сохраняя в то же время величины твердо заданных параметров. В свя­ зи с этим практически весьма важно знать, в каких пре­ делах и какие именно параметры системы можно изме­ нять, обеспечивая при этом ее устойчивость.

Так как все корни характеристического уравнения устойчивой системы расположены на комплексной плос­ кости слева от мнимой оси, а характеристическое урав­ нение неустойчивой системы имеет не менее одного ве­ щественного или двух сопряженных комплексных корней, расположенных справа от мнимой оси, то если при из­ менении п параметров устойчивой системы она при­ ближается к неустойчивому состоянию, корни характе­ ристического уравнения будут перемещаться по левой полуплоскости в сторону правой. При определенных со­ четаниях величин изменяемых параметров система вы­ ходит на границу устойчивости; в этот момент один ве­ щественный или два комплексных сопряженных корня будут расположены на мнимой оси.

При выходе на мнимую ось одного действительного корня характеристического уравнения он становится равным нулю, а при выходе на мнимую ось двух сопря­ женных комплексных корней характеристическое урав­ нение имеет два чисто мнимых корня ±/со.

Таким образом если мы в характеристическом урав­ нении (4-1) заменим р на /со, или, что то же самое, при­ равняем нулю годограф Михайлова [формула (4-4)], то получим уравнение геометрического места, разграничи­ вающего области, имеющие различные количества кор­ ней в левой полуплоскости; это геометрическое место располагается в «-мерном пространстве, координатами которого являются « переменных параметров системы, и может представлять собой как один непрерывный гео­ метрический элемент (линию, поверхность), так и их со­ вокупность.. Точки этого геометрического места можно

переменных параметров, при которых левая часть урав­ нений (4-4) обращается в нуль. Совокупность получен­ ных граничных геометрических элементов делит «-мер­ ное пространство переменных параметров на области;

213

все точки, лежащие внутри одной и той же области, ха­ рактеризуют системы с одинаковым числом корней характеристического уравнения, лежащих в левой ком­ плексной полуплоскости. Число таких корней для двух соседних областей может различаться на один, два или три корня.

Только та область в пространстве переменных пара­ метров, в которой все корни характеристического уравне­ ния располозісены слева от мнимой оси комплексной плоскости, является областью устойчивости (число кор­ ней, как уже указывалось, равно порядку характеристи­ ческого уравнения).

Области с одинаковым числом корней в левой полу­ плоскости называются областями D, а само разбиение пространства переменных параметров системы на эти области называется Д-разбиением.

Если, например, какая-нибудь область имеет m кор­ ней в правой полуплоскости и п— т корней в левой по­ луплоскости, то эта область обозначается D(n—т, т). Устойчивой областью при степени характеристического уравнения, равной п, будет только область D(n, 0).

При числе переменных параметров больше двух на­ хождение областей устойчивости является достаточно сложной задачей в связи с необходимостью графических построений для пространства трех и более измерений. Поэтому практически области устойчивости исследуют­ ся только при числе переменных параметров не более двух, так как в этом случае все построения производят­ ся в плоскости параметров системы или комплексной плоскости. Одним из основных достоинств П-разбиения является возможность суждения об устойчивости систе­ мы при изменении ее переменных параметров без повтор­ ных проверок условий устойчивости, что необходимо многократно выполнять при использовании других кри­ териев.

Допустим, что необходимо выделить области устой­ чивости при двух переменных параметрах системы ѵ й і ] , линейно входящих в коэффициенты характеристического уравнения.

214

Вынеся интересующие нас параметры из коэффициен­ тов характеристического уравнения, запишем его в об­ щем виде

где Р(р), Q(p) и R(p) — полиномы от р. Заменив р на ja, получим:

Разделяя в каждом полиноме действительную и мни­ мую части, находим:

v[Pi(co) + /P 2(CO)]-|-T][QI (CO) +/Q 2(CO)] +

Так как комплексное выражение равно нулю только в случае, если отдельно равны нулю действительная и мнимая части, имеем:

со от •—оо до оо, получим для каждого из них определен­ ные величины V и г], которые на плоскости этих пара­ метров определяют точку. Совокупность этих точек (рис. 4-9) дает графическое изображение границ обла­ стей Р-разбиения.

Так как при подстановке в характеристическое урав­ нение величины ja вместо р действительную часть урав­

215

ка границы .D-разбиения лежит область с большим числом корней, имеющих отрицательную вещественную часть, граница со стороны этой области заштриховывает­ ся. При обходе D-граніщы в направлении от —оо к оо штриховка накладывается слева от границы, если

5(со)>0, и справа от нее, если S(<a)<0.

Так как граница области D обходится при изменении со от —-оо д о оо дважды и при изменении направления движения S(cö) меняет свой знак, то граница области оказывается заштрихованной дважды с одной стороны (рис. 4-9).

216-

При переходе через D-границу из заштрихованной области в незаштрихованную число корней с отрица­ тельной вещественной частью уменьшается, а при обрат­ ном переходе — увеличивается. При переходе через дважды заштрихованную границу теряются или приоб­ ретаются два таких корня (сопряженные комплексные), а при переходе через границу, заштрихованную одно­ кратно,— один отрицательный корень (вещественный).

Так, например, на рис. 4-9,а для системы, имеющей п корней характеристического уравнения, при изменении со от •—оо до нуля будем иметь 5(со)<0, а при измене­ нии со от нуля до +О0 знак 5 (со) изменится на обратный. Поэтому слева от D-границы, заштрихованной дважды, лежит область, в которой число отрицательных корней (п—т) на две единицы больше, чем в области, лежащей справа от D-границы, где число таких корней равно

/ г — т — 2 .

Решив совместно уравнения (4-26), можно найти не­ посредственную зависимость между параметрами ѵ и т), линейно входящими в коэффициенты характеристическо­ го уравнения системы:

Граннца области D, построенная по выражениям (4-27) и (4-28) на плоскости переменных параметров, во многих случаях не дает возможности получить все обла­ сти с различными числами отрицательных корней, так как при некоторых значениях частоты со нарушается однозначная зависимость между v, г] и со; тогда уравне­ ния (4-26) становятся равносильными и каждое из них определяет одну и ту же прямую линию.

Например, при со = 0 полиномы Pz(со), '(2г(сй) и ЯгЫ) будут также равны нулям, так как они обязательно' со­ держат во всех слагаемых в качестве множителя вели--

247

чину 'to в нечетных степенях [именно поэтому они и обра­ зуют мнимую составляющую в уравнении (4-25)]. В этом случае согласно уравнениям (4-29), (4-30) и (4-31) имеем:

S,(0)=:0; S4(0) = 0 и S(0) = 0.

Выражения (4-32) и (4-33) примут вид:

Если при 0 = 0 окажется, что Рі(0)=0, а Qi(0)^=0, то коэффициент при ѵ в выражении (4-35) будет равен нулю и, следовательно, при любых значениях ѵ пара­ метр т| будет равен:

Следовательно, в этом случае на плоскости перемен­ ных параметров, помимо кривой D-разбиения, получаем прямую, параллельную оси ѵ и проходящую через точку

точками. Прямые, проходящие через эти точки, назы­ ваются особыми прямыми.

Переходу через особую прямую, получающуюся па плоскости переменных параметров ітри <и = 0, соответст­ вует на комплексной плоскости корней переход одного вещественного корня из левой полуплоскости в правую (или наоборот) по оси абсцисс через начало координат (например, на рис. 4-3,6 из р3 и ptk или обратно); следо­ вательно, особые прямые также являются границами областей D и должны штриховаться один раз со стороны

218

области с большим числом корней, лежащих в левой комплексной полуплоскости.

Так как при переходе через собую прямую, парал­ лельную оси V (рис. 4-9,6), мы из областей D(n—от, от) и D (n—от—2, т + 2) попадаем в одну и ту же область, лежащую под особой прямой, и так как все точки этой области должны иметь одинаковое число корней, нахо­ дящихся в левой комплексной полуплоскости, то очевид­ но, что это будет обеспечено только в том случае, если при переходе через особую прямую из области D (n—от, от) один корень переходит в правую комплексную полу­ плоскость, а при переходе из области D(n—от—2, т + 2 ), наоборот, один корень переходит в левую комплексную полуплоскость.

Из изложенного следует простое правило штриховки особой прямой, заключающееся в том, что стороны всех углов, образованных кривой D-разбиения и особой пря­ мой, пересекающимися или соприкасающимися в исклю­ чительной точке, должны быть обращены друг к другу заштрихованными .или незаштрихованными сторонами.

Особая прямая может пройти также через точку, соответствующую а> = оо.

и, следовательно, 5 (со) при со=оо обращается в нуль. Таким образом, вторая исключительная точка находится в бесконечности на оси т] и второй особой прямой будет прямая ѵ = 0. Правило штриховки особой прямой в этом случае остается тем же: однократная штриховая накла­ дывается справа.

В общем случае полином S(co) может обратиться в нуль и изменить знак при со = соо, отличном от нуля, и тоже дать особую прямую. В этом случае согласно пра­ вилу штриховка особой прямой имеет вид, изображен­ ный на рис. 4-9,6, и штрихуется дважды. Один раз она заштриховывается при проходе через особую точку в од­ ном направлении, а второй раз — при проходе в обрат­ ном направлении. При переходе через эту прямую теря­ ются или появляются два сопряженных комплексных кор­ ня с отрицательной вещественной частью.

Если в точке пересечения особой прямой и кривой Z+разбиения полином S(co) не обращается в нуль или обращается в нуль, но не меняет знака, то эта точка не

219