книги из ГПНТБ / Клюев, А. С. Автоматическое регулирование

то корню Рі= —a+ /ß, всегда соответствует корень рг—

——а—/[3. Произведение же сомножителей

(Р—Рі) (P—Pz) = (p ± a —jß) (p + a+jß) = (р + а)2+(32

всегда дает положительные коэффициенты при перемен­ ной р.

Таким образом, в случае отрицательных веществен­ ных корней и комплексных корней с отрицательной ве­ щественной частью характеристическое уравнение не может иметь отрицательных коэффициентов. Если харак­ теристическое уравнение имеет отрицательные коэффи­ циенты, то при этом оно обязательно будет иметь поло­ жительные вещественные корни или комплексные корпи с положительными вещественными частями.

Следовательно, необходимым условием устойчивости системы является требование, заключающееся в том, чтобы все коэффициенты ее характеристического уравне­ ния были положительными.

Это условие является необходимым, но не достаточ­ ным. Как будет показано ниже, уже для системы выше второго порядка только положительность коэффициен­ тов характеристического уравнения еще не гарантирует устойчивость системы. Необходимые и достаточные ус­ ловия устойчивости системы определяются с помощью критерия Рауса, критерия Михайлова и амплитуднофазового критерия Найквиста.

4-2. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАУСА

Первый критерий устойчивости был предложен Рау­ сом в виде неравенств, составленных по особым прави­

как уже указывалось, пишется в виде (4-1).

Наиболее просто пользоваться этим критерием устой­ чивости, прибегая к помощи табл. 4-1. В первой строке табл. 4-1 по столбцам последовательно выписываются через один все коэффициенты характеристического урав­ нения, начиная с коэффициента при старшем члене.

Во второй строке по столбцам последовательно вы­ писываются все остальные коэффициенты. Индексы при величинах с^ і, вычисляемых и вписываемых в третью и последующие строки таблицы, означают соответствен­ но номер столбца и номер строки Значения величин /у и

190

Т а б л и ц а 4-1

ст р о ­ Значение г

ны.

нятному из табл. 4-1.

Для того чтобы система была устойчивой, необхо­ димо и достаточно, чтобы все величины первого столбца табл. 4-1 были положительными при полозісительном ко­ эффициенте при старшем члене ап характеристического уравнения.

Вкачестве примера' определим, устойчива ли система

схарактеристическим уравнением

5р6+ 1 2р5+ 20/?4+ 25р3+ 15р2+ 6р +1 = 0.

Результаты расчетов по алгоритму Рауса представле­ ны в табл. 4-2. Так как все величины первого столбца табл. 4-2 положительны, то эта система будет устойчи­ вой. Рассмотрим в общем виде условия устойчивости различных линейных систем с помощью алгоритма Рауса.

191

192

а) Система первого порядка

Характеристическое уравнение системы аі/Н-с0 = 0.

В этом случае в табл. 4-1 будут заполнены только строки 1 и 2 столбца 1.

Таким образом, для устойчивости линейной системы первого порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были по­ ложительными:

йі>0; й0>0.

б) Система второго порядка

Характеристическое уравнение системы

агр2 + а1р + а0 = 0.

В этом случае будут заполнены три строки табл. 4-1. Условия устойчивости запишутся как

an= a2> 0; aJl_I= ai>0;

Cl, 3~ Un-Л— /"ой^-З^О-

Так как « = 2<3, то йп_з= 0 и, следовательно,

Сі,з=йп_2>0.

Таким образом, для устойчивости линейной системы второго порядка необходимо и достаточно, чтобы все ко­ эффициенты характеристического уравнения были поло­ жительными:

п 2> 0 ; й і > 0 ; й 0> 0 .

в) Система третьего порядка

Характеристическое уравнение системы

а3р3+а2р2+а1р + а0 = 0.

При составлении таблицы по алгоритму Рауса будут заполнены четыре строки. Условия устойчивости запи­ шутся как

я3> 0 ; «2> 0 ; сиз = а1~ .^ ~ а 0> 0 : с,А — а0> 0 .

«а

Таким образом, для устойчивости линейной системы третьего порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были по­ ложительными и, кроме того, чтобы произведение сред­ них коэффициентов уравнения было больше произведе­ ния его крайних коэффициентов:

Следовательно, для устойчивости системы третьего порядка недостаточно одного только условия, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были по­ ложительными. Это условие необходимое, но не доста­ точное.

Для обеспечения устойчивости системы наклады-

.вается дополнительное ограничение на относительные величины коэффициентов характеристического уравне­ ния, определяемое неравенством (4-2).

г] Система четвертого порядка

Характеристическое уравнение системы

а.',р4 + а3р3+ а2р2+ ахр + а0=0.

При исследовании этой системы на устойчивость в табл. 4-1 по алгоритму Рауса будут заполнены пять строк. Условия устойчивости запишутся так:

Подставив Сі,з в выражение для сі,/и и учитывая, что CZ,3= CIQ, получим, решив неравенство Сі,4> 0 :

аіа3а3—a2iß4—а3а23> 0.

Таким образом, условия устойчивости для системы четвертого порядка запишутся как

Следовательно, для устойчивости системы четвертого порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффи-

19 4

циенты характеристического уравнения были положи­ тельными и, кроме того, чтобы их значения удовлетво­ ряли неравенствам (4-3).

4-3. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА

Заменим в характеристическом уравнении (4-1) за­ мкнутой системы комплексную переменную р мнимой пе­ ременной /со. Получим функцию мнимого переменного /со, в которой со может принимать любое значение от

+ оо до —о о ;

А (/со) = a n ( / f f l ) n + ß n - i ( / c o ) n _ 1 + • • • + а і ( / с о ) + а 0.

. (4 - 4 )

С учетом того, что j = Y —1, а /2= —1, можем запи­ сать:

(/со)2= —со2; (/со)3= —/со3;

(/со)4=со4;

(/а)5 = /со5 II т. д.,

т. е. четные степени /со вещественны, а нечетные — мнимы.

Разделив действительную и мнимую части, получим:

— модуль функции А (/со);

(4 -9 )

— фаза или аргумент функции И (/со).

Из сказанного следует, что для обеспечения устойчи­ вости линейной сиэ-темы необходимо и достаточно, что­ бы все корни характеристического уравнения на пло­ скости комплексного переменного располагались слева от мнимой оси (в левой полуплоскости).

Каждый множитель выражения (4-11) изобразится на комплексной плоскости вектором, проведенным из конца вектора Ор; в точку /(, которая представляет со­ бой конец вектора /и, отложенного по мнимой оси от точки О (с учетом знака). Так, например, из векторного треугольника ОріК очевидно, что

ОК = Ор1-\- р,К,

откуда

РЛ =О Л ' - Ор, = /ш — р,.

Представим множители выражения (4-11) в показательной форме:

фп—)(со) и т. д.

На рис. 4-2,а показаны фазы фі(со) и ф2(со) векторов (/со—рі) и (/со—р2) для двух сопряженных комплексных корней рі= —.а - Ь /ß и р2= —а—/ß характеристического уравнения с отрицательными вещественными частями а, а также фазы'ф3(со) и ф4 (со) векторов (/со—Рз) и (/со—р4) для отрицательных вещественных корней р3 и р4 того же характеристического уравнения.

197

-poo, то точка к будет перемещаться по положительной

Орі и Оръ а их фазы равны соответственно уі и —уі (рис. 4-2,а), т. е. равны и противоположны, а следова­ тельно, сумма этих двух фаз равна нулю. Фазы векторов (ja—Рі) для любых вещественных корней рі при со = 0 равны нулям. Тогда согласно формуле (4-13)

(“U o = <M °) = 0-

При монотонном увеличении со от нуля до + оо каж­ дый из векторов (/со—Рі), соответствующих веществен­ ным отрицательным корням характеристического урав­ нения (например, р3 и р!и на рис. 4-2,а), повернется на угол л/2 против часовой стрелки.

При тех же условиях векторы (/со—Рі), соответствую­ щие каждой паре комплексных корней, имеющих отри­ цательную вещественную часть (например, корней рі и рі на рис. 4-2,а), повернутся тоже против часовой стрел­ ки на углы

~2~"Ь Y и *2---- К *

Суммарное приращение фаз обоих этих векторов со­ ставит:

" Г + Т< + -£- — Y* = 2 - g - .

Следовательно, если система устойчива и все.л кор­ ней характеристического уравнения расположены в ле­ вой полуплоскости, приращение фазы функций А (ja)

198

числу его корней.

Например, для устойчивой системы, характеристиче­ ское уравнение которой имеет два вещественных и два сопряженных комплексных корня в левой полуплоскости (рис. 4-2,а), приращение фазы функции А (ja) при изме­ нении о от 0 до оо будет равно:

fA( ° ° ) = 4 - J - = 2 I E .

Если система неустойчива, часть корней ее характе­ ристического уравнения расположена справа от мнимой оси (например, р3 на рис. 4-2,6). Векторы (/со—/?,), со­ ответствующие этим корням, при изменении со от 0 до оо повернутся на угол тс/2 по часовой стрелке. Эти из­ менения фаз войдут в уравнение (4-13) с отрицательным знаком.

Если из п корней характеристического уравнения т корней находятся в правой полуплоскости, то при изме­ нении со от 0 до оо получим:

?А(оо) = (п — т ) ^ - — т-^- = (п — 2т) -А- . (4-15)

Для системы, корни характеристического уравнения которой изображены на рис. 4-2,6, получим:

п = 4; т = 1 и <?А (оо) = (4 — 2-1) -2 -= п .

Функция А (/со) на комплексной плоскости изобра­ жается вектором, начало которого расположено в точ­ ке 0, а конец определяется координатами UA (iо) и УА(а>) по выражениям (4-6) и (4-7). С увеличением со модуль (длина) и фаза вектора изменяются и конец его описы­ вает кривую, называемую годографом* Михайлова по имени А. В. Михайлова, предложившего в 1936 г. использовать эту кривую в качестве критерия устойчиво­ сти линейных систем.

Годограф Михайлова строят по точкам, задаваясь различными значениями со в уравнениях (4-6) и (4-7);

199