книги из ГПНТБ / Клюев, А. С. Автоматическое регулирование

ЯЁЛяеі'ся исключительной, не оказывает влияния l-iä рас­ пределение корней и направление штриховки в ней не меняется. Если при обходе границы Ь-области для ка­ кого-либо со полином S(co) обращается в нуль, но не меняет своего знака на обратный, эта точка не будет исключительной и через нее не будет проходить особая прямая.

Таким образом, необходимыми и достаточными усло­ виями наличия исключительной точки на кривой грани­ цы областей D являются обращение в нуль полинома 5 (со) и изменение в этой точке его знака.

Выполнив £>-разбнение, мы получим в плоскости пе­ ременных параметров области с различными числами от­ рицательных корней, в том числе область, в которой число таких корней будет наибольшим. Однако эта об­ ласть может и не быть областью устойчивости. Для за­ ключения об устойчивости системы в этой области необ­ ходимо для какой-либо удобной точки, взятой внутри этой области, с помощью критериев устойчивости прове­ рить систему на устойчивость. Так, иа рис. 4-9,а обла­ стью с максимальным числом корней в левой, комплекс­ ной полуплоскости является область D(n—т, т).

Проверив систему на устойчивость в точке А с пара­ метрами, равными ѵ А и г )л . можно определить, является ли эта область устойчивой.

Если в точке А система устойчива, то и для всех то­ чек этой области все корни характеристического уравне­ ния находятся в левой комплексной полуплоскости; сле­ довательно, т = 0 и эта область является областью устой­ чивости D(n, 0), где п — степень характеристического уравнения.

в) Выделение областей устойчивости в плоскости одного параметра системы

Если необходимо выяснить влияние, которое оказыва­ ет на устойчивость системы регулирования один пере­ менный параметр у, линейно входящий в коэффициенты характеристического уравнения, то характеристическое уравнение надо представить в виде

M(p)+yN(p)=0. (4-37)

Параметр у можно рассматривать как комплексный параметр S = y+jX, действительная часть которого равна интересующему нас параметру.

2 2 0

ной полуплоскости, будут служить точки пересечения

быть только области, находящиеся внутри заштри­ хованных петель кривой разбиения, поскольку эти обла­ сти 'всегда соответствуют наибольшему числу корней характеристического уравнения, лежащих в левой ком­ плексной полуплоскости.

Так как система может быть неустойчивой в этой области, необходимо проверить систему на устойчивость с помощью критериев устойчивости для какого-нибудь значения параметра уі, лежащего па том участке ве­ щественной оси, который находится внутри предполагае­ мой области устойчивости (участок 1—2).

г) Выделение областей устойчивости для системы третьего порядка

Характеристическое уравнение системы третьего по­ рядка имеет вид:

В качестве переменных параметров примем отноше­ ния коэффициентов этого уравнения

аі/йз=ѵ; ао/а2='П- Заменив в уравнении (4-40) символ р на /со, получим:

— /со3а 3— со2й2 -Ь /соаі + ао = 0.

Приравняв нулю действительную и мнимую части, запишем:

Подставив эти значения в уравнения (4-33) или непо­ средственно решив систему уравнений (4-41), находим:

2 2 2

Следовательно, граница областей D-разбиения в пло­ скости параметров р и ѵ представляет собой прямую, проходящую через начало координат с угловым коэффи­ циентом, равным единице (рис. 4-11).

го уравнения системы переходят из левой комплексной полуплоскости в правую или обратно.

дится в начале координат при со = 0.

Из выражения (4-35) находим уравнение особой пря­

т. е. особой прямой является ось ѵ, которая штрихуется однократно.

Очевидно, что областью устойчивости на плоскости г], V может быть только область в первом квадранте, заключенная между граничной прямой D-разбиения и особой прямой, совпадающей на рис. 4-11 с осью абс­ цисс. Чтобы решить, является ли эта область устойчивой,

223

проверим систему на устойчивость в точке Л(ѵі=2гіь гр) с помощью критерия Рауса. Имеем:

71 'II

Так как аіа2=2айа3>аоаз» то согласно критерию Рауса при всех положительных коэффициентах характеристиче­ ского уравнения (4-40) система в точке А устойчива. Следовательно, область в целом, которой принадлежит точка А, является областью устойчивости D (3,0) и все три корня характеристического уравнения системы для этой области находятся в левой полуплоскости комплекс­ ной плоскости корней.

д) Выделение областей устойчивости по критерию Рауса

Выделить области устойчивости в плоскости интере­ сующих параметров системы не выше четвертого поряд­ ка можно по критерию устойчивости Рауса.

Предположим, нам необходимо выделить область устойчивости в плоскости коэффициента усиления регу­ лятора kv и постоянной времени Т3 регулирующего кла­ пана системы автоматического регулирования нагрева­ тельной печи (см. рис. 2-1).

С учетом выражений (2-96) и (2-97), запишем харак­

■Из этого уравнения с учетом (4-2) находим условия устойчивости системы:

7 'з > 0 ; Т1Т2+ (Т,+ Т2)Т3>0-,

7’ і+ 7 'г + Г 3> 0 ;

( T J 2 + T2 T3 + T J 2 ) { Т , + Т г + Т з ) >

> ТіТ%Т3 (1 + ^ p Ä p o ^ o . p ) •

Так как при положительных постоянных времени ус­ ловия

Т ^Т г-Р ( Г і + 7 2) 7 з > 0 и 7'і + 7'^ .+ 7 'я > 0

л

выполняются, то граница области устойчивости в пло­ скости параметров kp и Т3 будет определяться зависи­ мостями

Исходя из условия устойчивости Рауса, в ряде случа­ ев можно оценить устойчивость системы по ее структуре.

Предположим разомкнутая система состоит из по­ следовательно соединенных двух интегрирующих звеньев и колебательного звена. С учетом (2-16) и (2-25) пере­ даточная функция разомкнутой системы имеет вид:

W(p) = --------5--------- ------------------- .

Р2{Т2Р*+ТіР+ 1)

Характеристическое уравнение системы в замкнутом состоянии

Тггрі + Tip3+ р2+ k = 0.

Из последнего уравнения в соответствии с критери­ ем устойчивости Рауса следует, что ни при каких значе­ ниях параметров системы 7ф Г2 и k при такой ее структу­ ре не представляется возможным обеспечить устойчи­ вость системы.

Если система имеет структуру, при которой невоз­ можно обеспечить ее устойчивость ни при каких значе­ ниях параметров системы (области устойчивости отсут­ ствуют), то такая система называется структурно не­ устойчивой.

Структурно неустойчивую систему можно превратить в устойчивую только путем изменения ее структуры.

При синтезе системы это можно обеспечить, напри­ мер, путем подключения параллельно интегрирующему звену усилительного звена или последовательного вклю­ чения дифференцирующих звеньев.

Примером структурно неустойчивой системы является

неустойчивое колебательное звено с передаточной функ­ цией

где

k ^O , Ti> 0 и П /Т ІС 2.

При Т2= О неустойчивое колебательное звено (4-48) превращается в неустойчивое инерционное звено с пере­ даточной функцией вида

которое также ни при каких комбинациях его параме­ тров не может быть устойчивым, т. е. является структур­ но неустойчивым.

Разомкнутая система, состоящая из нескольких по­ следовательных инерционных, интегрирующих и колеба­ тельных звеньев при ее замыкании может оказаться как структурно неустойчивой, так и структурно устойчивой.

С помощью критерия Михайлова можно доказать, что такая система после замыкания будет структурно не­ устойчивой, если она содержит:

1)более одного интегрирующего или неустойчивого инерционного звена (4-49);

2)одно интегрирующее и одно неустойчивое инерци­ онное звенья;

3)количество неустойчивых колебательных (или кон­

сервативных) звеньев (4-48) m ^n/4, где п — степень ха­ рактеристического уравнения системы.

Система, содержащая в разомкнутом состоянии толь­ ко устойчивые инерционные и колебательные звенья, является структурно устойчивой как в разомкнутом, так и в замкнутом состояниях.

е) Устойчивость систем с запаздыванием

Так как при наличии запаздывания в разомкнутойсистеме характер изменения переходных процессов в ней не изменяется, а только сдвигается на время запаздыва­ ния т, то такую систему можно представить в виде двух последовательно соединенных частей: части системы без запаздывания с передаточной функцией Wo(p) и запа-

—р\

здывающего звена с передаточной функцией W^{p)=e .

При этом передаточная функция разомкнутой систе­

2 2 6

При некотором критическом значении времени запа­ здывания тКр АФХ Wo(jcü) может деформироваться та­ ким образом, что АФХ системы с запаздыванием W (jсо) пройдет через точку (—1, /0) и, следовательно, система будет на границе устойчивости (рис. 4-12,6).

С учетом (4-54) для частоты ы,„ имеем:

’ Из выражения (4-55) находим критическое значение запаздывания в системе, при котором она окажется на границе устойчивости:

ш ш

где со™— значение частоты АФХ системы без запаздыва­ ния в точке ее пересечения с окружностью единичного

Рис. 4-13. Влияние времени запаздывания на вид АФХ системы при одном векторе единичного модуля

№o(ü>m)=l.

радиуса с центром в начале координат (рис. 4-12,6); Ф(Мт) — аргумент вектора АФХ системы без запаздыва­ ния при частоте сот -

228

Если окружность единичного радиуса пересекает АФХ в одной точке, то при т > т Кр, как это следует из рис. 4-13, АФХ системы с запаздыванием будет всегда охватывать

увеличении запаздывания система будет неустойчивой (рис. 4-15,а).

Рис. 4-15. Влияние времени запаздывания на вид АФХ системы рис. 4-14.

229