книги из ГПНТБ / Клюев, А. С. Автоматическое регулирование

где Ай и Bh — постоянные величины; /г=1, 2, 3 — пока­ затель степени.

С учетом выражения (3-4), (3-11) и (3-13) находим:

Таким образом, система относительно задающего воз­ действия не будет иметь установившейся ошибки при условии

При задающем воздействии вида (3-8) максимальное значение показателя степени k, при котором соблюдает­ ся условие (3-15), равно ѵ—1. Следовательно, система имеет астатизм порядка ѵ.

Если задающее воздействие является постоянной ве­

личиной (k = 0), то система будет астатической при ѵ>

> 0.

Так, при ѵ= 0 система уже будет иметь нулевой по­

При ѵ=1 установившаяся ошибка е(оо)=0 и система будет иметь астатизм первого порядка. Таким образом, необходимым и достаточным признаком астатичности системы относительно задающего воздействия является наличие сомножителя р в знаменателе передаточной функции (3-10) разомкнутой АСР. При этом степень этого сомножителя определяет порядок астатизма систе­ мы. Структурная схема астатической системы относи­ тельно задающего воздействия представлена на рис. 3-4,а.

■ По отношению к возмущающему воздействию систе­ ма называется статической, если при постоянной вели­ чине возмущающего воздействия регулируемая величи­ на будет иметь в установившемся оостоянии некоторое отклонение от заданного значения.

При этом установившаяся величина отклонения регу­ лируемой величины зависит от величины постоянного возмущающего воздействия.

Если при различных постоянных значениях возму­ щающего воздействия по окончании переходного процес-

110

действию является наличие сомножителя р в знаменате­ ле передаточной функции цепи обратной связи, т. е. астатизм цепи обратной связи. При этом порядок астатизма цепи обратной связи определяет порядок астатнзма системы в целом. Астатизм прямой цепи не оказыва­ ет никакого влияния на астатизм АСР по каналу воз­ мущающего воздействия.

• Структурная схема АСР регулирования по каналу возмущающего воздействия представлена на рис. 3-4,6.

Из выражения (3-11) и рис. 3-4,а следует, что по ка­ налу задающего воздействия по отношению к установив­ шейся ошибке, регулирования структурную схему систе­ мы можно представить в виде схемы, изображенной на рис. 3-4,ö.

В этом случае астатизм системы по отношению к за­ дающему воздействию определяется астатизмом цепи обратной связи.

Необходимый порядок астатизма системы достигает­ ся включением ' в обратную связь интегрирующих звеньев.

Из рис. 3-4 следует, что порядок астатизма системы по отношению к задающему воздействию не определяет астатизм по отношению к возмущающему воздействию, так как астатизм цепи обратной связи системы по отно­ шению к задающему воздействию определяется астатиз­

аастатизм цепи обратной связи системы по отношению

квозмущающему воздействию определяется только

астатизмом регулятора

Это следует также из выражений (3-15) и (3-18) при

будет статической по отношению к задающему и возму­

щающему воздействиям.

2. О б ъ е к т с т а т и ч е с к и й , р е г у л ' я т о р а с т а ­ т и ч е с к и й . В этом случае т = 0, ѵ—тФ.0 и ѵфО. Си-

112

стема будет астатической по отношению к задающему и возмущающему воздействиям.

3. О б ъ е к т а с т а т и ч е с к и й , р е г у л я т о р ста - т и ч е с'к и й. Так как при этом тфО, ѵ—гіг—0 и, следо­ вательно, ѵ=т, то система будет астатической по отно­ шению к задающему воздействию и статической по отно­ шению к возмущающему воздействию.

к задающему, так и возмущающему воздействиям.

3-2. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Под временными характеристиками системы в об­ щем случае понимается графическое изображение про­ цесса изменения выходной величины в функции времени при переходе системы из одного равновесного состояния в другое в результате поступления на вход системы не­ которого типового воздействия.

Так как дифференциальное уравнение системы тоже определяет изменение выходной величины в функции времени при некоторых начальных условиях, то времен­ ная характеристика изображает собой решение диффе­ ренциального уравнения системы для принятого типово­ го воздействия и, следовательно, полностью характери­ зует динамические свойства системы.

Так как временные характеристики могут быть по­ лучены не только путем решения дифференциального уравнения системы, но и экспериментально, то возмож­ ность определения динамических свойств системы по временной характеристике имеет исключительно важное практическое значение, поскольку в этом случае не тре­ буется выводить и решать дифференциальное уравнение, что является в общем случае очень трудоемкой, а иногда

инеразрешимой задачей.

Вкачестве типовых воздействий наиболее широкое применение находят единичное ступенчатое и импульс­ ное воздействия.

Математическое выражение единичного ступенчато­ го воздействия может быть записано в виде

Под единичным импульсным воздействием понимаем­ ся предельно короткий импульс

I оо при і = 0;

\ 0 при і й 0,

площадь которого равна единице, т. е.

СО

—оо

Выражение для единичного импульса б(і) в матема­ тике принято называть дельта-функцией.

Графическое .изображение реакции системы на еди­ ничное ступенчатое воздействие называется переходной характеристикой.

Аналитическое выражение переходной характеристи­ ки обозначается h(t) и называется переходной функ­ цией.

Графическое изображение реакции системы на еди­ ничное импульсное воздействие называется импульсной переходной характеристикой.

Аналитическое выражение импульсной переходной характеристики обозначается со(і) и называется

импульсной переходной функцией или весовой функцией (функция веса).

При практических расчетах наиболее широкое при­ менение находит временная характеристика в виде пе­ реходной характеристики, так как ее достаточно просто получить экпериментально и, кроме того, определяемый ею переходный процесс в системе часто возникает при включениях и изменении задания регулятору.

Для определения временных характеристик единич­ ное скачкообразное постоянное или в виде импульса воз­ действие принято для того, чтобы однозначно оценивать динамические свойства звена или системы, так как при различной величине воздействий выходная величина да­ же одной и той же системы будет изменяться по-раз­ ному.

Кроме того, использование ступенчатого постоянного или импульсного воздействия в виде стандартного вход­ ного сигнала имеет также то преимущество, что дейст­ вительные, любой формы, возмущающие воздействия на систему можно представить в виде последовательности таких сигналов.

114

Так, входной сигнал, изображенный на рис. 3-5,6, можно представить в виде суммы постоянных ступенча­ тых сигналов

Явх{t) —Хц+ Ах і (і—М) ^rAxz(t—2АІ) +

Просуммировав временные характеристики системы с учетом начального времени воздействия каждого скач­ ка, а также их фактической величины, можно получить характер изменения выходной величины при входном воздействии по форме рис. 3-5,6.

Рис. 3-5. Примеры входных воздействий на систему.

а — ступенчатое входное воздействие; б — представление вход­ ного воздействия произвольной формы суммой входпых сту­ пенчатых воздействий.

При поступлении на вход звена или разомкнутой си­ стемы с передаточной функцией W (р) входной величины *овх=1 на выходе получаем переходную характеристику

Хвых—ІІ{t) ■

Согласно Приложению 1 входная и выходная вели­ чины в преобразованном по Лапласу виде запишутся как

Х вх[р) = 2 [ х въх] = 2 [1 ] = ± ;

X[h(t)] = h(p) = X №*{p).

С учетом этих соотношений получим:

. Из выражения (3-19) следует, что по временной ха­ рактеристике системы (например, по переходной функ­ ции) можно получить передаточную функцию системы. В настоящее время разработано несколько инженерных

методов .'нахождения передаточной функции системы по

ееэкспериментальной переходной функции.

Всвою очередь изображение по Лапласу переход­ ной функции определяется выражением

Из выражения (3-20) с помощью обратного преоб­ разования Лапласа можно определить переходную функ­ цию разомкнутой системы:

Аналогично переходная функция замкнутой системы имеет вид:

Переходные функции типовых звеньев систем регули­ рования имеют вид переходных процессов, изображен­ ных на рис. 2-3—2-11, т. е. h(t)=x Bых при *овх=1.

3-3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Если на вход системы (или отдельного звена) пода­ вать синусоидальные (гармонические) колебания с по­ стоянными амплитудой и частотой xBX(t) =А ВХsin co^, то после затухания переходных процессов на выходе также возникают синусоидальные колебания .хВых(0 = = ^ Bbix(smoL^+cp)c той же частотой, но с другой ампли­ тудой и сдвинутые по фазе относительно входных коле­ баний (рис. 3-6).

На комплексной плоскости входная величина xBX(t) = =/4BXsincötf для каждого значения времени, например tu определяется вектором A BXJ проведенным из начала ко­ ординат под углом atu

Как следует из рис. 3-6,6, действительная часть гар­ монической входной величины, представленной в ком­ плексной форме, равна Авхcostal, а мнимая Авхsin <afj.

Обозначив значения комплексной входной величины для различных значений времени в виде x BX(t), получим выражение для входной величины в комплексной триго­ нометрической форме:

116

Так как согласно формуле Эйлера

то входная величина в комплексной показательной фор­ ме запишется как

Аналогичным образом выходная величина в ком­ плексной показательной форме имеет вид:

‘•ВЫХ{ І ) =АЪ /<<»<+9н«>

Подавая на вход системы гармонические колебания с одной и той же амплитудой, но различными частотами,

на выходе системы тоже получаем гармонические коле­ бания с теми же частотами, но различными амплитуда­ ми и фазами относительно входных колебаний.

Если начальная фаза входной величины не равна ну­ лю, то в общем случае имеем:1

В Х ( t ) ~ A BXe1(®<+ч>ах)

117

Отношение выходной величины системы к входной ве­ личине, выраженное в комплексной форме

называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ) системы. ■

Отношение амплитуд АвыхМвх является модулем АФХ, а разность фаз фВЫх—фвх является ее фазой.

Амплитудно-фазовая характеристика системы не за­ висит от времени. В этом ее принципиальное отличие от временной характеристики. Если временная характерис­ тика определяет поведение системы в переходном про­ цессе, то АФХ выражает зависимость параметров установишихся выходных колебаний от тех же параметров входных колебаний при различных частотах.

Однако, несмотря на то, что АФХ отображает только установишиеся процессы в системе, она в полной мере определяет также ее динамические свойства подобно временной характеристике или дифференциальным урав­ нениям. Так как

чая воздействия на нее гармонических колебаний x BX(t)

получим:1

[а-п(ja)* + On-, (ja)*'1+ ■..+£, (ja) +

118

При 'сравнении выражений (3-28) и (2-ІО) видно, чтб для получения АФХ не нужно производить каких-либо математических преобразований, а достаточно в пере­ даточной функции звена или системы 'W(р) заменить переменную р на /со.

Так, АФХ системы регулирования температуры су­ шильного шкафа, изображенной на рис. 1-5, с учетом формулы (2-88) имеет вид:

Аналогично из формулы (2-95) получаем АФХ АСР нагревательной печи, принципиальная схема которой представлена на рис. 2-1, а структурная схема — на рис. 2-27:

Обозначив в формуле (3-26) АВЫХ/АВХ = Ѵ?(ш) и ?вых —

—получим:

Зависимость отношения амплитуд выходных и вход­ ных колебаний от их частоты называется амплитудночастотной характеристикой (АЧХ)

Амплитудно-частотная характеристика • является мо­ дулем АФХ

Зависимость разности фазы выходных и входных ко­ лебаний от частоты называется фазо-частотной характе­ ристикой (ФЧХ) системы

Фазо-частотная характеристика является аргументом. АФХ системы.

Так как

Q (/с о ) =b0+jwbt—со262—/с й 3 6 з + Ф 4 0 4 + / с о 5 &5— . . . ;

Р(/оз) =ао+/шаі—со2аг—/ш3аз + аРсц+ ] а ъаъ— ...,

119