книги из ГПНТБ / Клюев, А. С. Автоматическое регулирование

Решение:

1.Определим величины t*n п <*27:

Умножив числитель и знаменатель АФХ на сопряженные мно­ жители знаменателя и разделив мнимую и действительную части,

180

получи м :

Ѵ Т г П + Т . Т . + Т;. Т,

181

Полагая, что Р (ш )= 0 , из формулы (3-137) находим, что дей ­ ствительная ось пересекается в трех точках: при со= 0 и

Рис. 3-42. Амплитудно-фазовая частотная характе­ ристика нагревательной печи, приведенной на рис. 2-1.

182

183

Г Л А В А Ч ЕТ ВЕРТ А Я

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ

4-1. ПОНЯТИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Как указывалось выше, основным назначением АСР является поддержание заданного постоянного значения регулируемого параметра или изменение его по опреде­ ленному закону. При отклонении в данный момент вре­ мени величины регулируемого параметра от заданного значения, что может произойти или в результате появ­ ления возмущающих воздействий па систему, или при изменении заданного значения регулируемой величины, автоматический регулятор воздействует на систему та­ ким образом, чтобы ликвидировать это отклонение. Тог­ да система переходит из одного равновесного состояния в другое, т. е. в ней возникает переходный процесс, оп­ ределяемый динамическими свойствами системы.

Если возмущающее воздействие будет снято или если постоянное по величине возмущающее воздействие или изменение на постоянную величину управляющего воз­ действия будет сохраняться и при этом система после окончания переходного процесса снова приходит в пер­ воначальное или другое равновесное состояние, то такая система называется устойчивой.

Если при тех же условиях в системе или возникают колебания со все возрастающей амплитудой, или про­ исходит монотонное увеличение отклонения регулируе­ мой величины от ее заданного равновесного значения, то система называется неустойчивой.

Для того чтобы определить, устойчива или неустойчи­ ва система, необходимо изучить ее поведение при ма­ лых отклонениях от равновесного состояния. Если при этом система стремится вернуться к равновесному со­ стоянию, то она будет устойчивой. Если же в системе возникают силы, которые стремятся увеличить отклоне­ ние системы от равновесного состояния, система будет неустойчивой. В качестве примера рассмотрим переме­ щение шара по поверхностям различного профиля под влиянием кратковременных внешних воздействий нанего.

На рис. 4-1,а изображен шар, находящийся внутри сферической поверхности. При отсутствии внешних сил

184

шар устанавливается в положении I и его сила тяжести F уравновешивается силой реакции сферической по- ■ верхности.

Если при воздействии внешних сил шар перемещает­ ся в положение II, то его сила тяжести разложится на две составляющие. Составляющая Fi будет уравновеши­ ваться радиальной силой реакции, а тангенциальная со­ ставляющая Fz окажется ничем не компенсированной и

шивается реакцией плоскости. При воздействии внеш­ них сил шар будет катиться по плоскости только до тех пор, пока действуют эти внешние силы. При прекраще­ нии их воздействия на шар ■ он останавливается в том положении, в котором находился в момент исчез­ новения внешних сил (если не учитывать инерции мас­ сы шара).

Системы, в которых одной и той нее входной величине (воздействию, выводящему систему из равновесного со­ стояния) соответствует бесконечное множество значе-

185

ний выходной величины (воздействия, уравновешиваю­ щего систему), называются нейтрально устойчивыми.

Поведение АСР при наличии в ней возмущающих и управляющих воздействий описывается уравнением про­ цесса автоматического регулирования. Решение этого уравнения состоит из двух составляющих:

ХпЫ Х . = % 0 ПЫХ + Х’вЫn(t)i

где Ховых'—вынужденная составляющая изменения вы­ ходной величины; хш.іх(0— переходная составляющая изменения выходной величины, изменяющаяся по време­ ни в течение переходного процесса.

Первая из этих составляющих однозначно связана с изменением входной величины и является частным ре­ шением уравнения процесса регулирования. Для общего случая системы второго порядка она согласно формуле (2-27) в определенном' масштабе повторяет изменения входной величины x0Dx-

Для того чтобы система могла правильно отрабаты­ вать управляющий входной сигнал g(t), т. е. изменение заданного значения выходной величины, необходимо, чтобы переходный процесс, протекающий при переходе системы из одного заданного равновесного состояния

вдругое, был затухающим, т. е. составляющая хПых(0

стечением времени должна стремиться к нулю. Только

вэтом случае регулируемая величина по окончании пе­ реходного процесса примет новое заданное значение, изменившись на величину изменения управляющего воз­ действия g(t), или, иными словами, отклонение регули­ руемой величины от нового заданного значения станет равным нулю.

Необходимо также, чтобы переходная составляющая Хпых(і) с течением времени стремилась к нулю и при воздействии на систему кратковременных возмущающих воздействий f(t), так как только в этом случае вызван­ ное возмущающими воздействиями отклонение регули­ руемой величины Хвых от заданного значения с течением времени станет равным нулю и равновесное состояние системы восстановится.

Переходная составляющая изменения выходной ве­ личины является общим решением однородного диффе­ ренциального уравнения (2-28), которое характеризует динамические свойства системы.

186

В общем случае переходная составляющая' как функ­ ция времени определяется выражением (2-30) через корни характеристического уравнения (2-29) однородно­ го дифференциального уравнения (2-28).

Как это следует из уравнений (2-30), (2-34), (2-35) и (2-37), переходная составляющая определяется сум­ мой членов, каждый из которых содержит экспоненци­

альную составляющую е аі, где а представляет собой корень характеристического уравнения, если он веще­ ственный, или вещественную часть этого корня в случае, если корень комплексный. Число экспоненциальных сла­ гаемых, входящих в выражение переходной составляю­ щей, равно числу корней характеристического уравне­ ния.

Таким образом, чтобы каждый член выражения ЯвыхОО с течением времени стремился к нулю, необходи­ мо и достаточно, чтобы все вещественные корни харак­ теристического уравнения были отрицательными, а в комплексных корнях отрицательной должна быть вещественная часть корня. Тогда показатели степени всех экспонент будут отрицательными, а их абсолютная величина будет возрастать пропорционально времени, в результате чего с течением времени абсолютные зна­ чения всех экспоненциальных слагаемых будут стремить­ ся к нулю.

Из изложенного выше следует, что корни характери­ стического уравнения в полной мере определяют устой­ чивость АСР.

Линейная АСР устойчива, если все вещественные корни и вещественные части комплексных корней харак­ теристического уравнения отрицательны.

Если хотя бы один корень характеристического урав­ нения или вещественная часть одного из комплексных корней будут положительными, система будет неустой­ чивой. В этих случаях член переходной составляющей, соответствующей этому корню, будет содержать экспо­ ненту в положительной степени, величина которой с те­ чением времени будет беспредельно возрастать; следо­ вательно, теоретически будет стремиться к бесконечности и значение регулируемой величины. Практически не­ устойчивость системы автоматического регулирования приведет к аварийному режиму работы системы, в ре­ зультате чего она потеряет свою работоспосо.бность либо вследствие отключения ее специально предусмотренной

187

защитой или оператором, либо по причине выхода из строя того или иного элемента или устройства системы.

Особо следует рассмотреть случай, когда характери­ стическое уравнение системы имеет только один вещест­ венный нулевой или одну пару сопряженных мнимых корней, т. е. если уравнение имеет одни корень рі = 0 или два сопряженных, вещественная часть которых аі = 0. Согласно (2-30) и (2-36) в этом случае переходная со­

системы, имеющие только мнимые сопряженные и ну­ левые корни, являются нейтрально устойчивыми. В ли­ нейных нейтрально устойчивых системах выходная вели­ чина будет принимать произвольное значение; одному и тому же управляющему воздействию g(t) будет соот­ ветствовать бесконечное множество значений выходной величины Хвых и система регулирования не будет выпол­ нять свои функции. Примером нейтрально устойчивой системы может служить интегрирующее звено, для кото­ рого, исходя из уравнения (2-16), характеристическое уравнение запишется так:

Это уравнение имеет один корень /7 = 0.

Если на вход исполнительного двигателя (см. рис. 2-5,а), представляющего собой интегрирующее зве­ но, будет подано постоянное управляющее воздействие Дрвх=Рі—Рь то при Д/в.н=0 поршень исполнительного двигателя будет перемещаться с постоянной скоростью и его положение будет непрерывно изменяться. Поршень

электродвигатель (рис. 2-5,6), если за входную величину принять напряжение, подводимое к якорю двигателя, а за выходную — угол его поворота. Нейтрально устойчи­ выми являются все разомкнутые астатические системы, так как их характеристические уравнения имеют сомно­ жителем оператор р, а следовательно, и нулевые корни.

Выходная величина линейных систем, характеристи­ ческое уравнение которых имеет только одну или не­ сколько пар мнимых комплексных корней, при постоян­ ном значении управляющего воздействия g(t) будет со­ вершать относительно своего заданного значения неза-

188

тухающи.е свободные колебания с постоянной амплиту­ дой и частотой согласно уравнению (2-41). Такие систе­ мы также не отвечают требованиям, предъявляемым к АСР, и поэтому их практически относят к неустойчи­ вым системам.

Таким образом, чтобы ответить на вопрос, устойчива или неустойчива система, достаточно найти корни ее характеристического уравнения. Однако этим методом пользоваться во многих случаях практически невозмож- •но, так как искать корни алгебраических уравнений вы­ соких степеней очень трудно, а уравнения степеней вы­ ше четвертой вообще аналитически не решаются. Кроме того, найдя корни характеристического уравнения, мы определяем, устойчива или неустойчива система, но не сможем установить, как нужно изменить параметры си­ стемы для обеспечения или повышения ее устойчивости, и представить себе, как тот или иной параметр или сово­ купность параметров АСР влияют на ее устойчивость. В связи с этим в современной теории регулирования и инженерной практике нашли широкое применение кос­ венные методы исследования систем регулирования на устойчивость. Каждый метод сводится к определенным правилам и предлагает критерии устойчивости, с по­ мощью которых можно исследовать системы на устой­ чивость без решения характеристического уравнения.

Сравнительно просто по виду характеристического уравнения

А(р) ~сіпРп + ап-ір”- 1+ . . . + a2p2+ alp + a0=Q (4-1)

установить необходимый признак устойчивости системы. Запишем уравнение (4-1) в виде

ап(р—рі) (р—рг). ■.(Р—Рп) =0,

где рі, рь ■• Vрп — корни характеристического уравнения. Так как в устойчивой системе все вещественные кор­ ни отрицательные, а комплексные корни имеют отрица­

тельную вещественную часть, то при этом все сомножи-

П

. тели JJ (р—рі) при перемножении образуют положи- і=і

тельные коэффициенты при переменной р.

Это очевидно для действительных корней, а в случае комплексных корней в этом легко убедиться. Действи­ тельно, так как комплексные корни 'всегда сопряженные,

189