книги из ГПНТБ / Клюев, А. С. Автоматическое регулирование

Однако при т,ф2 = (ф2 + я)/со2 система вновь окажется на границе устойчивости, а при тКр2 < т < Т к Рз снова будет устойчивой (рис. 4-15,6J.

При Ткрз— (фі + 3л)/сйі вектор W (/c o i) вновь совпадает

сотрицательным направлением действительной полуоси

иего конец совместится с точкой (—1, /0). Система опять окажется на границе

устойчивой. Такое чередование полос устойчивости и не­ устойчивости показано на рис. 4-16.

Полосы устойчивости, начиная со второй, если за пер­

Число полос устойчивости будет конечным. Это объяс­ няется тем, что'приращение аргумента югг при монотон­ ном увеличении запаздывания нарастает быстрее, неже­ ли приращение аргумента согт, так как соі>о)2 .

Это приводит к тому, что точка т і бежит по окруж­ ности быстрее (см. рис. 4-14), чем гпг.

В связи с этим от полосы к полосе интервалы устой­ чивости будут уменьшаться.

При некотором значении времени запаздывания ткрэт точка піі догонит точку /п2 и при дальнейшем его увели­ чении точка (—1, /0) окажется все время охваченной АФХ; система будет неустойчивой (см. рис. 445,г).

Точка гпі догонит точку т 2 тогда, когда разность приращений аргументов опт—со2т будет равна углу 2я + + (фі—іфг) (см. рис. 4-14).

• Следовательно, из условия

шіт— <о2т = 2 я - Т (фі— фг)

230

можно найти критическое время запаздывания тКрп, при котором чередование полос устойчивости и неустойчи­ вости прекратится и система при дальнейшем увеличе­ нии запаздывания будет неустойчивой:

Число полос устойчивости можно найти из условия (4-57), полагая интервал устойчивости равным нулю

Решая это уравнение относительно п и учитывая, что число полос устойчивости т на одну больше я, находим:

Найденное по выражению (4-59) значение т необхо­ димо округлить до нижнего целого числа.

4-7. ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ АСР НА УСТОЙЧИВОСТЬ

Пример 4-1. П о к р и т е р и ю Р а у с а и с с л е д у е м на у с т о й ч и в о с т ь с и с т е м у р е г у л и р о в а н и я т е м п е р а т у ­

в ы р а ж е н и е м (2-89).

Характеристическое уравнение замкнутой системы получаем из

Согласно Критерию Рауса условие устойчивости (4-2) запишется

как

Т ш -f- Тн ^ ^ о б ^ р Т * П і7 н .

Так как элементом настройки системы регулирования является коэффициент усиления регулятора, то из условия устойчивости мож­ но найти пределы его настройки, при которых система не теряет устойчивости:

Максимально допустимое по условиям устойчивости (критиче­ ское) значение коэффициента усиления регулятора определяется равенством

231

Подставив числовые значения постоянных времени и коэффици­ ента передачи объекта (см. § 2-10), получим значение критического коэффициента усиления регулятора:

Приравняв нулю действительную и мнимую части, найдем:

^ о б & р — { Т т + 7 ’п ) с о 2 = 0 ;

6 о б А , + с й — Т ш 7 'н С О 3 = 0 .

ИЛИ

с различными числами отрицательных корней характеристического уравнения системы.

Коэффициенты усиления регулятора при этих предельных значе­

232

Корни этого уравнения имеют вид:

т. е. два корня — вещественные отрицательные и один — нулевой. Последний корень является переходящим из области II в область I. При переходе его с граничной кривой в область I он станет от-

Рис. 4-17. Выделение областей устойчивости в плоскости коэффициента усиления регулятора АСР по рис. 1-5.

рицательным, т. е. отрицательными будут все три корня характери­ стического уравнения. Следовательно, область / является областью устойчивости системы.

с т и у с т о й ч и в о с т и а в т о м а т и ч е с к о й с и с т е м ы р е г у ­

л и р о в а н и я н а г р е в а т е л ь н о й п е ч и (с м. р и с. 2-1) в п л о ­ с к о с т и к о э ф ф и ц и е н т а у с и л е н и я kv П - р е г у л я т о р а и п о с т о я н н о й в р е м е н и 7 3 р е г у л и р у ю щ е г о к л а п а н а

233

Обозначив fep=v и 7'з=г|, согласно формуле (4-26) запишем:

Яі(ш)=Лр.0£о.Р; /32(со)=0;

Q I(0)=P2(0)=Q2(0)=/?2(0)=0; Р,(0 ) = М » . р ! Л і(0)=К

По выражению (4-34) находим уравнение особой прямой:

что все члены первого уравнения обращаются в нуль, а второе урав­

т. е. вторая особая прямая совпадает с осью ѵ.

234

Рис. 4-18. Выделение областей устойчивости системы регулирования по ;рис. 2-1 в плоскости коэффициента усиления регулятора и постоянной времени регулирующего

клапана.

При со=0 кривая ß -разбиения имеет исключительную точку с ко­ ординатами

в третьем квадранте, а при дальнейшем увеличении ев возвращается из бесконечности в первый квадрант.

235

тий через бесконечность. Убедиться в том, что эта область действи­ тельно является областью устойчивости, можно, подставив в урав­

параметров kp и Т2, можно найти допустимые пределы их совмест­ ного изменения без нарушения устойчивости системы.

у с т о й ч и в о с т и с и с т е м ы н а р и с . 2-1 в п л о с к о с т и к о ­

236

или

I з —0; kр —— 1; 1

(4-47) и (4-68), полностью совпадают с результатами, полученными методом 0-разбиения.

Как и следовало ожидать, величина критического коэффициента усиления' совпадает с его значением, полученным исходя из крите­ рия устойчивости Найквиста.

ГЛАВА ПЯТАЯ

КАЧЕСТВО ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ систем

5-1. ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА ПРОЦЕССА РЕГУЛИРОВАНИЯ

К АСР предъявляются требования не только в отно­ шении ее устойчивости. Для работоспособности систе­ мы не менее необходимо, чтобы процесс автоматическо­ го регулирования осуществлялся при обеспечении опре­ деленных качественных показателей.

Требования к качеству процесса регулирования в каждом случае могут быть самыми разнообразными, однако из всех качественных показателей можно выде­ лить несколько наиболее существенных, которые с до­ статочной полнотой определяют качество почти всех АСР.

Качество процесса регулирования системы, как пра­ вило, оценивают по ее переходной функции (рис. 5-1).

Основными показателями качества являются время регулирования, перерегулирование, колебательность и установившаяся ошибка. Кроме того, следует отметить,

237

что в конкретных условиях к качеству регулирования мо­ гут'предъявляться и другие требования, например мак­ симальная скорость изменения регулируемой величины, основная частота ее колебаний и т. д.

Рассмотрим основные показатели качества регулиро­ вания.

Рис. 5-1. П ереходная функция системы с перерегулированием.

В р е м я р е г у л и р о в а н и я . Временем регулирова­ ния tp называется время, в течение которого, начиная с момента приложения воздействия на систему, отклоне­ ния регулируемой величины Ah(t) от ее установившего­ ся значения йо=/г(оо) будут меньше наперед заданной величины е. Обычно принимают, что по истечении вре­ мени регулирования отклонение регулируемой величины от установившегося значения должно быть не более е=

называется максимальное отклонение А/гмакс регулируе­ мой величины от установившегося значения, выраженное в процентах от ho— h{oo).

Абсолютная величина ДЛмаКс определяется из кривой переходного процесса:

А/імакс = Ймакс h ( о о ) .

238

Соответственно перерегулирование будет равно:

рактеризуется числом колебаний регулируемой величины за время регулирования tp.

Если за это время переходный процесс в системе со­ вершает число колебаний меньше заданного, то считает­ ся, что система имеет требуемое качество регулирования в части ее колебательности.

У с т а н о в и в ш а я с я о ш и б к а (см. § 3-1). Устано­ вившееся значение регулируемой величины по оконча­ нии переходного процесса зависит от астатизма ѵ си­ стемы.

В астатических системах (ѵ^О) согласно (3-13) и (3-14) установившаяся ошибка е(оо)=ео = 0 и, следова­ тельно, установившееся значение регулируемой величи­ ны Іг0 будет равно ее заданному значению х0.

В статических системах (ѵ= 0) установившаяся ошиб­ ка при постоянной величине входного воздействия не равна нулю и, следовательно, установившееся значение регулируемой величины будет отличаться от ее задан­ ного значения на величину установившейся ошибки.

где go — постоянное задающее воздействие; 'k— коэффи­ циент передачи системы.

По каналу возмущающего воздействия величина ошибки согласно (3-16) и (3-17) определяется выраже­ нием

где /о — постоянное возмущающее воздействие; k0e — ко­ эффициент передачи объекта регулирования; kv — коэф­ фициент передачи регулятора.

Из выражений (5-2) и (5-3) следует, что величина установившейся ошибки в статической системе зависит от величины входного воздействие и от коэффициента передачи объекта и регулятора, причем чем больше ве-

239