книги из ГПНТБ / Клюев, А. С. Автоматическое регулирование

При со = 0 вектор АФХ совпадает с положительной вещественной полуосью и конец его расположен в точке (1,/OJ.

При увеличении частоты конец вектора АФХ повора­ чивается по окружности по часовой стрелке, так как ФЧХ отрицательна.

При бесконечном увеличении частоты вектор W(ju>) бесчисленное число раз поворачивается вокруг начала координат.

При его повороте на 360° он займет первона­ чальное положение. Так как приращение фазы при этом будет равно—2л, то <р(со)=—сот=—2л. Следова­ тельно, в исходное положение вектор АФХ вернется при

диться в точке (—1, /0).

Таким образом, запаздывающее звено на выходе вос­ производит входные колебания без искажений по форме, но с отставанием по фазе. Это отставание тем больше, чем больше запаздывание звена и чем больше частота входных колебаний.

140

представляет собой прямую, совпадающую с осью абс­ цисс. Логарифмическая фазо-частотная характеристика строится по выражению ср(со) = —т(га) в полулогарифми­ ческом масштабе.

3-5. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СОЕДИНЕНИЙ И СИСТЕМ

а) Частотные характеристики соединений и разомкнутых систем

Разомкнутая система представляется как последова­ тельное соединение нескольких звеньев. Представляя АФХ каждого звена в тригонометрической форме (3-31), с учетом (2-45) получим выражение АФХ разомкнутой системы в виде

W (/ш) = W, (<o)Wa(*)...Wn (a)é/ [ч>. ( <■>) + '<?з (“ ) + ... + <р„ («)]

Если частотные характеристики звеньев заданы гра­ фически, то для получения значения АЧХ системы при какой-либо частоте необходимо перемножить величины АЧХ звеньев, соответствующих этой частоте, или модули векторов АФХ звеньев на этих частотах.

Фазо-частотная характеристика системы получается простым суммированием соответствующих ординат ФЧХ звеньев. Вектор АФХ системы для данной частоты будет равен по модулю значению АЧХ системы на этой часто­

вектора АФХ W(ja) системы, состоящей из двух после­ довательных звеньев с передаточными функциями

Wi(ja>) и W2(ja) на частоте сщ.

144

На этой частоте имеем:

W(o)[) = Wi(cöi) Wz(ai);

Ф(иі) ='фі(/®0+ф2('сйі>);

W (hi) = Wi(jm)W2(m).

Так как определение АЧХ системы требуется выпол­ нить для всех значащих частот, то это связано с боль­ шими трудностями. По этой причине такой метод графи-

Рис. 3-21. Построение АФХ системы по АФХ двух последовательно соединенных звеньев.

ческого построения АЧХ системы в инженерной практи­ ке применяется редко. В этом отношении большое преимущество имеют ЛАЧХ.

Логарифмируя выражение (3-72) и выражая величи­

Следовательно, ЛАЧХ системы в этом случае будет равна сумме ЛАЧХ отдельных звеньев

і = 1

что существенно упрощает все инженерные расчеты. Логарифмическая фазо-частотная характеристика

разомкнутой системы в соответствии с (3-71) также равна сумме ФЧХ отдельных звеньев

142

Ьсли известны аналитические передаточные функций звеньев, то по ним с помощью выражений (2-45) и (2-47) можно найти передаточную функцию соединения или системы. Заменяя комплексную переменную р на

143

совой стрелке, при одновременном умножении их моду­

В общем случае при астатнзме системы, равном ѵ, АФХ системы уходит в бесконечность при ср(0)— »— ѵя/2 вдоль мнимой оси при нечетном ѵ и вдоль вещественной оси при четном ѵ. В качестве примера на -рис. 3-22 при­

Следует отметить, что при последовательном присое­ динении к статической системе инерционных статиче­ ских звеньев система хотя и остается статической, но у всех векторов ее АФХ фазовый угол увеличивается, кроме вектора при со = 0, причем тем больше, чем 'боль­ ше частота. При этом модуль векторов АФХ также из­

дического звена с коэффициентом передачи k (кривая 1) и АФХ соединений этого звена последовательно с одним (кривая 2), двумя (кривая 3) и тремя (кривая 4) апе­ риодическими звеньями с коэффициентом передачи, рав­ ным единице.

При последовательном подключении к этому соеди­ нению интегрирующего звена система будет астатиче­ ской с астатизмом первого порядка (АФХ системы име­ ет вид, представленный кривой 5).

144

замкнутой системы.

Из выражения (3-79) можно получить ЛАЧХ за­

быть получены все остальные частотные характеристики; при этом можно пользоваться формулами (3-33) — (3-40), имея в виду, что полином P(jc£>) =7?р(со) + //р(со) должен быть заменен Полиномом А (/со) = 7 ? а ( с о ) + / / а ( с о ) , имеющим ту же степень, что и полином Р (ja).

Так, например, для анализа систем регулирования существенное значение имеет АЧХ Ф(со), которая может

ФЧХ определяется как разность аргументов:

9Ф('©) = arg Ф(/со) = arg W (/со) —arg [1 + W (/со)].

(3-82)

Из выражений (.3-76) — (3-82) следует, что частотные характеристики замкнутой системы однозначно опреде­ ляются через частотные характеристики разомкнутой си­ стемы.

Для определения частотных характеристик замкнутой системы по частотным характеристикам разомкнутой си­ стемы, кроме аналитических расчетов, применяются спе­ циальные номограммы.

â-è. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СОЕДИНЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ТИПОВЫХ ЗВЕНЬЕВ

а) Частотные характеристики реального интегрирующего звена

-во

-135

-130°

Рис. 3-24. Частотные амплитудно-фазовые и логарифмические ха­ рактеристики реального интегрирующего звена.

146

Таким образом, асимптотическая ЛАЧХ имеет одну сопрягающую частоту при м= 1/Т. При со<1 /7 ЛАЧХ имет наклон —20 дб/дек, а при ©>1 /Т —40 дб/дек. При

•I рифмические амплитудно-частотные и фазо-частотные ха­ рактеристики для различных значений постоянных вре­

Из рис. 3-24,а следует, что при со— »-0 АФХ звена в треть­ ем квадранте уходит в бесконечность, асимптотически приближаясь к прямой параллельной мнимой оси с абс­ циссой —kTі (или —kT% или —кТз). Звено имеет астатизм первого порядка.

Чем больше постоянная времени, тем выше отстава­ ние по фазе выходных колебаний от входных при низ­ ких частотах. При со ~ 0 ср (0) = —я/2. При больших ча­ стотах ф (оо)= —я. Чем больше постоянная времени, тем меньше сопрягающая частота ЛАЧХ.

б) Частотные характеристики реального дифференцирующего звена

Частотные характеристики реального дифференци­ рующего звена получим из его передаточной функции

kTp

W(p) = Т р + 1 ■

Амплитудно-фазовая характеристика

Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики звена имеют вид

Используя зависимости (3-89) и (3-90), получим:

Амплитудно-фазовую характеристику можно, так же как и для инерционного звена первого порядка, привести

к виду (3-51). Но в этом случае при ©>0 получаем по­ луокружность в первом квадранте (рис. 3-25,а), а при со<0 — полуокружность в четвертом квадранте.

реальное дифференцирующее звено ведет себя как уси­ лительное звено с коэффициентом усиления k. Ампли­ тудно-частотная и фазо-частотная характеристики этого звена построены на рис. 3-25,6 и в. Из этих кривых сле­ дует, что при одной и той же частоте входных колебаний амплитуда выходных колебаний тем больше, чем больше постоянная времени звена; при этом также уменьшается сдвиг фаз между входными и выходными колебаниями.

Так как ф(со) >0, то выходные колебания опережают по фазе входные колебания. При малых частотах (со«0) это опережение равно 90°, а коэффициент усиления ра­ вен нулю.

148

В области низких частот, когда Г2ц>2<СІ, получим асимптотическую прямую с наклоном +20 дб/дек, орди­ ната которой при со = I/Г будет равна 20IgA.

>Рис. 3-26. Логарифмические характеристики реального дифференцирующего звена.

Вобласти высоких частот, когда Г2ш2> 1, из выраже­ ния (3-91) получаем:

L((Ö) =20 lg А+ 20 lg (ÜT—20 lg а>Т= 20 IgA,

т. е получим вторую асимптоту, которая сопрягается с первой на частоте а~1/Т. Логарифмическая амплитуд­ но-частотная характеристика звена представлена на рпс. 3-26,а. На рис. 3-26,6 представлена ЛФЧХ звена.

В полулогарифмическом масштабе ФЧХ (рис. 3-26,6)

рис. 3-17) отрезками прямых в интервалах частот со<0,1/7 — прямая cp(co)=jt/2;

0 ,1 /Т ^ а ^ . 10/Т — прямая с наклоном 90°/дек\

со^Ю/Г — прямая ф(со)=0.

в) Частотные характеристики интегродифференцирующих звеньев и их соединений

149