книги из ГПНТБ / Клюев, А. С. Автоматическое регулирование

точной функции. Так как элементы системы обладают свойством детектирования, то с учетом выражения (2-12) лередаточная функция системы может быть най­ дена по передаточным. функциям отдельных ее элемен­ тов. Для упрощения задачи нахождения передаточных функций элементов системы целесообразно систему пред­ варительно .представить в виде структурной схемы с эле­ ментарными, желательно типовыми в динамическом . отношешш, зв еиьями.

2-3. ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ И ИХ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ

Звеном системы называется ее элемент (часть), об­ ладающий определенными свойствами в динамическом отношении. Звенья систем регулирования могут иметь самую разнообразную физическую основу (электриче­ ские, гидравлические, механические и т. п.) и конструк­ тивное выполнение, но при этом относиться к одной функциональной группе. Соотношение входного и выход­ ного сигналов в звеньях одной и той же группы описы­ вается одинаковыми дифференциальными уравнениями. Это свидетельствует о том, что такие звенья имеют оди­ наковые динамические свойства.

Так как процесс автоматического регулирования оп­ ределяется только динамическими свойствами системы (а следовательно, и ее звеньев), то в основу классифи­ кации звеньев положены их динамические свойства. Та­ кая классификация звеньев по виду описывающих эти звенья дифференциальных уравнений дает возможность разработать стройную теорию АСР и единые методы их

а) Усилительное звено

В .усилительном звене выходная величина в каждый момент времени пропорциональна входной величине, т. е.

30

[Здесь « в дальнейшем для сокращения записи выраже­ ния хъыx(t) и Хвх(і) записываются как яВЫх и хВх. Пере­ ходные процессы рассматриваются при нулевых началь­ ных условиях.]

Коэффициент пропорциональности /г называется ко­ эффициентом усиления или коэффициентом передачи звена.

Уравнение усилительного звена (2-13) алгебраиче­ ское. Это свидетельствует о том, что усилительное зве­ но передает сигнал мгновенно, без динамических пере­ ходных процессов и искажений.

Рис. 2-3. Передаточная функция и переход­ ный процесс усилительного звена.

На рис. 2-3 представлен характер изменения по вре­ мени выходной величины усилительного звена при пода­ че на его вход постоянной входной величины я0вх-

Передаточная функция звена с учетом выражения (2-10) имеет вид:

Примерами усилительных звеньев могут служить ме­ ханические передачи, потенциометрические датчики, бызынерционные усилители (например, электронные) и т. п.

б) Интегрирующее звено

Выходная величина интегрирующего звена пропор­ циональна интегралу входной величины, т. е.

\t

k j" Х в \ d t .

О

31

Дифференциальное уравнение интегрирующего зве­

Коэффициент к называется коэффициентом усиления или передали звена по скорости. Он численно равен ско­ рости изменения выходной величины при единичном зна­

Если входная и выходная величины имеют одинако­ вую размерность, то из выражения (2-15) следует, что коэффициент к имеет размерность секті. В этом случае

Рис. 2-4. Передаточная функция и переходный процесс интегрирующего звена.

дифференциальное уравнение (2-15) удобнее записы­ вать в виде

где Г*=1/6.

32

При этом передаточная функция звена примет вид:

(2-17)

Величина Т называется постоянной времени интегри­ рующего звена.

На рис. 2-4 представлен характер изменения выход­ ной величины интегрирующего звена при подаче наего вход постоянной входной .величины Хоах, изображение которой (см. Приложение 1) Хвх(р) =х0вк/р. Тогда из уравнения (2-16) получим (см. п. 7 Приложения 1):

х пкх = £ - 1[Хт х(р)]=££- kx,'ОВХ—pZ j1-- ■& W -

Примером интегрирующего звена может служить гидравлический исполнительный механизм (рис. 2-5,а ), который находит широкое применение в современных системах регулирования. Входной вели­ чиной для него является перепад Л Рг

давлений АРвх—Рі— Рг, а выход­ ной— перемещение Д 5 ПыХ поршня.

Сила давления на поршень

При небольших отклонениях от состояния равновесия расходы жидкости через вентили Ві и В2 пропорциональны перепадам дав ­ лений на вентилях

в левую полость исполнительного механизма при расходе Qi со­

ставляет Qidt. За счет этого поршень переместится на величину

clAS-aыX-

Так как объем поступившей жидкости равен приращению объема левой полости исполнительного механизма, то можно записать:

Qldi=FdASaaz-

или

^ ят __ Qi

В случае, если можно пренебречь величиной внешней нагрузки fu.it> уравнение примет вид:

dt /ѵДР”х>

где

№1

ß “ Кг + /С2 Р

— коэффициент передачи интегрирующего звена, величину которого можно изменять в широких пределах с помощью вентилей Ві и Вг.

Таким образом, дифференциальное уравнение гидравлического исполнительного механизма имеет вид (2-15) и, следовательно, в ди ­ намическом отношении он является интегрирующим звеном.

Другим примером интегрирующего звена может служить элек­ тродвигатель постоянного тока Д (рис. 2-5,6) с независимым воз­ буждением и малой электромеханической инерцией, если входной величиной является напряжение САх, а выходной — угол поворота якоря ßobii- В этом случае при изменении напряжения якоря на величину Д(Увх изменение числа оборотов двигателя Ап в единицу времени будет пропорционально AUпг:

Ди = /фДПв.г.

Увеличение угла поворота двигателя dA ßBux за бесконечно м а­

интегрирующего звена:

Коэффициент передачи рассмотренного интегрирующего звена к=К\Кг может изменяться путем изменения величины напряжения Но.в, подаваемого на обмотку возбуж дения двигателя.

в) Апериодическое звено

Апериодическому звену соответствует дифференци­ альное уравнение

3 4

Величина Т имеет размерность времени и называется постоянной времени. На рис. 2-6 представлены переход­ ные процессы апериодического звена при различных значениях постоянной времени.

Из кривых переходного процесса ясен физический смысл постоянной времени звена. Опа может быть опре-

Рис. 2-6. Передаточная функция и переходные про­ цессы апериодического звена при различных значе­ ниях постоянной времени.

делена как время, в течение которого выходная величи­ на достигла бы своего нового установившегося значения, если бы она изменялась с постоянной скоростью, равной скорости изменения ее в начальный момент времени.

Рис. 2-7. Графическое определение по­ стоянной времени апериодического звена.

36

Постоянная времени определяет динамические свой­ ства звена. Чем она больше, тем медленнее протекает переходный процесс в звене, и наоборот. В частности, при Т = 0 процесс протекает в звене мгновенно и инерци­

37

откуда находим передаточную ф ункцию звена:

к

Коэффициент передачи звена регулируется величинами сопро­ тивлении Ri и /??.. При этом пропорционально коэффициенту пере­

Постоянная времени изменяется путем изменения величины со­ противления R.

Электрическая цепь, представленная па рис. 2-8,6, является апе­ риодическим звеном с коэффициентом передачи, равным единице.

г) Колебательное звено

Колебательное звено имеет дифференциальное урав­ нение

Т \ р ' + Т хР+ I

Переходный процесс колебательного звена можно исследовать путем аналитического решения дифференциального уравнения (2-24), которое является неоднородным линейным дифференциальным урав­ нением второго порядка.

Д ля получения общего решения неоднородного дифференциально­ го уравнения

3 8

Одним из частных решении неоднородного уравнения (2-26) при скачкообразном изменении .v,s = .i'o вх будет новое значение Хопых, установившееся после окончания переходного процесса.

Так как производная постоянной величины равна нулю, то частное решение уравнения (2-26) при новом состоянии равновесия

Оно получается, если приравнять нулю оператор левой части не­ однородного дифференциального уравнения или, что то ж е самое, приравнять нулю знаменатель передаточной функции \Ѵ(р) звена.

Характеристическое уравнение в общем случае может иметь і одинаковых корней p t и, помимо того, п—і неодинаковых корней

где Си Cz, . - Ai, Az,..., Ai — постоянные интегрирования, которые находятся из начальных условий.

Характер переходного процесса звена или соедине­ ния, определяемого дифференциальным уравнением (2-24), зависит от расположения корней его характери­ стического уравнения

С учетом (2-25), (2-12) и таблицы преобразований Лапласа (см. п. 8 Приложения 1), находим изображе­ ние выходной величины:

39