книги из ГПНТБ / Клюев, А. С. Автоматическое регулирование

В этом случае мы получаем к о н с е р в а т и в н о е з в ено .

Амплитудно-фазовая характеристика консервативно­ го звена определяется выражением

<3 ' 6 8 >

Графически эта характеристика при изменении вход­ ной частоты и о т 0 до оо имеет вид двух полупрямых (рис. 3-12). Первая полупрямая начинается при со = 0 на вещественной положительной полуоси в точке k и при возрастании м до со = соо уходит в бесконечность по веще-

Рис. 3-12. Амплитудно-фазовые частотные характери­ стики колебательного звена.

ственной полуоси в положительном направлении. Вторая полупрямая совпадает с отрицательной вещественной полуосью. Начало полупрямой — в бесконечности при со = соо, а конец — в начале координат при со = оо .

Определяя первую производную АЧХ по частоте и

130

и не зависит ни от значений постоянных времени Ті и Т&

ных времени приближается к значению ТѴГ2= Ѵ~2, тем ближе подходит вторая точка экстремума к первой.

При Ті/Т2^ у 2 АЧХ имеет только один экстремум при ші= 0. Так как при изменении со от 0 до оо АЧХ

(3-56) стремится к нулю, то при Ті/Т2^ У 2 экстремаль­

ная точка W(®i) = W (0) =k является максимумом кривой

W(0).

Рассмотрим второй экстремум кривой W(со), появля­ ющийся при ТіГі2< V 2. Подставив в выражение (3-56) величину со2 из формулы (3-59), найдем:

k

а/2< 1— правильная дробь и притом подкоренное выра­

Частота а2 является собственной частотой колебаний звена. При дальнейшем увеличении частота АЧХ стре­ мится к нулю.

Амплитудно-частотные характеристики колебательно­ го звена для различных значений постоянных времени представлены на рис. 3-13.

При уменьшении отношения Ті/Т2 максимум АЧХ увеличивается, увеличивается и значение частоты, при котором наступает этот максимум, приближаясь к соб­ ственной частоте колебаний консервативного звена too-

теристики ф ( со) для различных отношений Ті/Т2 равны

тельна, то выходные колебания во всем диапазоне изме­ нений со отстают от входных колебаний.

132

Рис. 3-13. Амплитудно-частотные №(ш) и фазо-частотные ф(со) характеристики колебательного звена.

Из частотных характеристик колебательного звена следует, что при малых частотах входных колебаний (со ^ 0) оно по своим свойствам приближается к усили­ тельному звену, а при больших частотах входных коле­ баний вообще не пропускает сигнала. Логарифмируя выражение (3-56), находим:

L (ш) = 201g k — 201g j/~(1 — Т\ со2)3 -(- 7"j (о2 (3-61)

или

(3-62)

На рис. 3-14 по выражению (3-62) при k = l для раз­ личных отношений Т\1Т% приведены ЛАЧХ звена в отно­ сительных частотах со/соо==Г2со. Из рис. 3-14 видно, что

133

ЛАЧХ при низких частотах приближаются к асимптоте, совпадающей с вещественной осью, а при высоких ча­ стотах— к асимптоте в виде прямой с наклоном —40 дб/дек.

Это также следует из выражения (3-62). Так, при со/соо~0 находим аналитическое выражение для первой асимптоты:

Tai (со) = 20 lg k—20 lg 1 = 2 0 lg k.

Рис. 3-14. Логарифмические амплитудно-частотные характеристики колебательного звена.

ОСЬ ПрИ C0/lCüfl= 1 .

Так как первая асимптота совпадает с вещественной осью, то сопряжение асимптот происходит при относи­ тельной частоте <B/ COO= 1 . Абсолютное значение частоты при этом равно <о = со.о= 1/Тг.

134

Из выражения (3-61) следует, что при кФЛ вид ЛАЧХ сохраняется, но они только перемещаются парал­ лельно оси абсцисс на величину 20 lg /г.

женной ЛАЧХ с погрешностью, не превышающей 3 дб. Для звеньев, у которых , это отношение находится вне

Рис. 3-15. Поправочные кривые к аппроксимированной двумя прямыми ЛАЧХ колебательного звена.

указанных пределов, необходимо строить точные ЛАЧХ. Это можно сделать или по выражению (3-62), или же графически с помощью кривых поправок к приближен­ ной (асимптотической) ЛАЧХ, представленных на рис. 3-15.

Логарифмические фазо-частотные характеристики представлены на рйс. 3-16.

135

При Ті/Т£>2 колебательное звено (2-25) представля­ ется двумя соединенными последовательно апериодиче­ скими звеньями с передаточными функциями

При этом передаточная функция соединения имеет вид

k

(3-63)

1)(7 > + 1 )

где Г3=1/аі и Т4=1/аг, здесь —си и —аг —корни харак­ теристического уравнения (2-31), определяемые выраже­ нием (2-32).

Рис. 3-16. Логарифмические фазо-частотные харак­ теристики колебательного звена.

Из выражения (3—63) с учетом (3-49) и (3-52) по­ лучим:

L (ш) = 20 lg £ — 20 lg ] / " Т23со2—}—1 _201g)/7^u>2- f 1 . '

(3-64)

№

ЛАЧХ представляет собой ломаную линию, образован­ ную: отрезком прямой, параллельной оси абсцисс и про­

Логарифмическую фазо-частотную характеристику можно также аппроксимировать в виде ломаной линии.

При(о=0составляющая ЛФЧХ срі(ш)=—arctgТзСО=0.

При со = 0 ,1 /7 ’зфі('со) = —arctg0,1 = —6°.

Рис. 3-17. Асимптотические логарифмические частотные характеристики колебательного звена при Т1/Г2> 2 .

При <в = 10/Тз фіі(со)=—arctg 10= —84°, а при io= oo Фх(со)=—90°. Следовательно, на участке частот О ^со ^

^10/Г з равен двум декадам, то на нем фі(ш) можно ап­ проксимировать в виде прямой с наклоном — АЪ°/дек.

Таким же образом можно аппроксимировать состав­ ляющую ЛФЧХ ф2(со)=—arctg74tt> в интервалах частот

0<©<0,1/7Ѵ ОД/Гі ^ со^Ю /Г і; IO /T ^ Ö—►оо.

137

Так как ЛФЧХ приближенно' выражается в виде суМ-

функция соединения (3-63) при Ті/Т2>2 и 0,1/7’з<10/Г4 может быть приближенно представлена в виде ломаной

Ю /^^со^ДО/Тз — прямая с наклоном — 45 °/дек\ (и^ОД/Г4 — прямая фі(со) =0;

д) Частотные характеристики дифференцирующего звена

Частотные характеристики идеального дифференци­ рующего звена с передаточной функцией (2-43) имеют вид:

Амплитудно-фазовая характеристика дифференциру­ ющего звена совпадает с положительной мнимой полу­ осью (рис. 3-18,а).

При всех частотах выходные колебания опережают по фазе входные колебания на угол 90°, так как фазо­ частотная характеристика

138

лых частотах (ю-О) сигнал через звено не проходит (рис. 3-18,6).

Скачкообразное единичное изменение входной вели­ чины вызывает мгновенное изменение выходной величи­ ны от 0 до оо и мгновенный спад ее от оо до 0.

Логарифмируя W (а) в выражении (3-66), получаем:

L(<B)=201gÄ+201g£o. (3-67)

Логарифмическая амплитудно-частотная характери­ стика дифференцирующего звена представляет собой прямую (рис. 3-19,а) с наклоном +20 дб/дек, ордината которой при ш=1 равна 20 lg А.

Рис. 3-19. Логарифмические частотные харак­ теристики дифференцирующего звена.

Фазо-частотная характеристика звена в полулогариф­ мическом масштабе в соответствии с (3-66) представ­ лена на рис. 3-19,6.

е) Частотные характеристики запаздывающего звена

В соответствии с формулой (2-44) передаточной функ­

ции звена W (р) — е~р' частотные характеристики запаз­ дывающего звена имеют вид:

W (/со) = е~,т = COS ют — / sin сот;

Так как АЧХ такого звена равна единице и не зави­ сит от частоты, а ФЧХ пропорциональна частоте с коэф­ фициентом пропорциональности, равным т, то АФХ пред­ ставляет собой окружность единичного радиуса с цент­ ром в начале координат (рис. 3-20,а).

139