книги из ГПНТБ / Клюев, А. С. Автоматическое регулирование

Si-ідНо из графика, приращение фазы каждого годогра­ фа при возрастании а от 0 до оо равно пя/2 и каждая кривая последовательно обходит п квадрантов.

На рис. 4-3,6 представлены годографы неустойчивых систем пятого и седьмого порядков, в которых последо­ вательность обхода квадрантов нарушена. Так, годо­ граф системы седьмого порядка из второго квадранта прошел обратно в первый, а затем в четвертый, после чего последовательность обхода выполняется. Определим

приращение фазы этого годографа при переходе его по квадрантам. Приращение фазы в первом квадранте при увеличении со от 0 до сох равно Дфі = я/2, так как вектор повернется на 90° против часовой стрелки.

Суммарное приращение фазы при увеличении соот • сох до © 2 равно нулю (Дф2=0), так как вначале вектор повернется на некоторый угол против часовой стрелки,

Далее очевидно, что Дф4= 0; Дф5= Д ф 6= Д ф 7 = я/2. Полное приращение фазы

?А (°°) = (Af.+Aft + А?, + Д<?4 + + А<РТ) = 4 - «•

Система неустойчива, так как

7 — .

2

20J

По годографу Михайлова и выражению (4-15) мож­ но определить, сколько корней характеристического уравнения расположено справа от мнимой оси:

семи корней ее характеристического уравнения два кор­ ня расположены справа от мнимой оси, вследствие чего система и является неустойчивой: ,

4-4. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА

Согласно формуле (2-74) знаменатель передаточной функции Ф(р) замкнутой автоматической системы регу­ лирования представляет собой функцию

Так как в реальных системах порядок оператора пра­ вой части дифференциального уравнения всегда меньше порядка оператора левой части дифференциального уравнения, т. е. степень многочлена Р(р) всегда больше степени многочлена Q(p), степени числителя и знамена­ теля F(p) одинаковы и определяются степенью Р(р), равной п.

Подставив в выражение (2-74) числитель и знамена­ тель из равенств (2-11) и (4-18), получим передаточную функцию замкнутой системы:

Многочлен А(р) знаменателя передаточной функции есть характеристический многочлен дифференциального

2 0 2

уравнения замкнутой системы, составляющий левую часть характеристического уравнения (2-29), корни ко-, торого позволяют найти по формуле (2-30) общее реше­ ние однородного дифференциального уравнения системы.

Следовательно, числитель функции F(p) являетсяхарактеристическим многочленом А (р) передаточной функции замкнутой системы, а знаменатель Р(р) со­ гласно формуле (2-11)— характеристическим многочле­ ном разомкнутой системы.

Заменим в формуле (4-17) р на /со, получим функ­ цию F(iсо), на единицу отличающуюся от АФХ разомкну­ той системы W(jсо):

зы функции F(/co) будет равно:

'PF ( ° ° ) = ‘Рд С^°) — 'Р р (°°)-

Для работоспособности системы необходимо, чтобы она в рабочем (замкнутом) состоянии была устойчивой. Это требование согласно критерию устойчивости Михай­ лова выражается условием

<рл (оо) = гаД-.

В разомкнутом состоянии в общем случае система может быть и неустойчивой, однако если в замкнутом рабочем состоянии она устойчива, то этого достаточно для ее нормальной работы.

203

Принимая в общем случае, что в разомкнутом со­ стоянии система неустойчива и ее характеристическое уравнение Р( р)=0 имеет т корней справа от мнимой оси, согласно формуле (4-15) запишем:

9Р(°о) = (« - 2т) -J- .

Таким образом

Так как выражение (4-22) обеспечивает отсутствие корней характеристического уравнения замкнутой систе­ мы справа от мнимой оси, то оно является необходимым и достаточным условием устойчивости системы и назы­ вается критерием устойчивости Найквиста.

чива. .

Критерий устойчивости Найквиста можно сформули­ ровать следующим образом:

Замкнутая линейная система устойчива, если при­ ращение д:азы функции F (ja) = 1-(- W (ja) при измене­

нии от 0 до оо будет равно 2m-^- = mit, где т — число

корней характеристического уравнения разомкнутой си­ стемы, лежащих на комплексной плоскости справа от мнимой оси.

Так как функция F(ja) отличается от АФХ W(ja) на единицу, то для определения приращения фазы нет не­ обходимости строить годограф F (/со), так как кривую W(ja) можно рассматривать как кривую F(jсо), если перенести начало координат по вещественной оси влево на единицу.

Такого переноса начала координат можно и не де­ лать: тогда приращение фазы F (/со) равно приращению

Таким образом, критерий устойчивости Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы авторегулирования по АФХ W(ja) разомкнутой си­ стемы.

204

Если разомкнутая система устойчива, то т —О и за­ мкнутая система будет устойчива, если приращение фа­ зы функции F(jш) при изменении и от'О до оо будет равно нулю. Это возможно в случае, когда начало век­ тора F(jсо), т. е. точка (—1, /0), лежит вне годографа

W(jto).

Таким образом, если разомкнутая-система устойчива, то для обеспечения ее устойчивости в замкнутом состоя­ нии необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы не охватывала точку (—1, /0).

Рис. 4-4. Амплитудно-фазовые '-частотные характеристики

Если АФХ устойчивой разомкнутой системы охваты­ вает точку (—1, /0), то система в замкнутом состоянии

F (/ю) обходит АФХ разомкнутой системы при изменении со от 0 до о о , суммарное, приращение его фазы равно нулю, что соответствует выражению (4-22) при пг—0. Амплитудно-фазовая характеристика не охватывает точ­ ку (—1, /0).

Приращение фазы вектора - F(/co) для разомкнутой

= —2л<2/?г-^- =0 и АФХ охватывает точку (—1, /0).

205

Рис. 4-5, Амплитудно-фазовые частотные характеристики неустойчи­ вых разомкнутых систем.

а , в —устойчивые в замкнутом состоянии; б , г — неустойчивые в замкнутом состоянии.

На рис. 4-5 показаны АФХ неустойчивых разомкну­ тых систем: системы по рис. 4-5,а и б имеют по одному положительному корню (т = 1 ), а системы по рис. 4-5,в и г — по два положительных корня (т —2). ^

Согласно критерию Найквиста в замкнутом состоя­ нии система рис. 4-5;а становится устойчивой, так как для нее

(oo)=ic = 2m-£- = 2 -1

Система же по рис. 4-6,6 и в замкнутом состоянии будет неустойчивой, так как для нее

Вектор і7 (/со) разомкнутой системы по рис. 4-5,в де­ лает полный оборот против часовой стрелки вокруг точ­ ки (—1, /0) и, следовательно, ф^(°°)=2я.

Система в замкнутом состоянии будет устойчивой, так как

2т ~ = 2%= f F(оо).

206

Система рис. 4-5,г остается неустойчивой и в замкну­ том состоянии, так как для нее

<Рр (оо) = 0 < 2т = 2тс.

Если система автоматического регулирования содер­ жит последовательные интегрирующие звенья, то каж­ дое такое звено согласно формуле (3-44) уменьшает фазу системы на к/2.

Однако эти уменьшения фазы не должны учитывать­ ся при анализе устойчивости системы, так как на нее влияют только отрицательные фазы корней, лежащих на комплексной плоскости справа от мнимой оси.

Кроме того, при наличии в системе интегрирующих звеньев амплитуда функции W (ja) стремится к беско­ нечности при (о, стремящейся к нулю.

Чтобы при подсчете фазы с р ^ (о о ) для разомкнутой системы исключить влияние г последовательно включен­ ных в систему интегрирующих звеньев, дополняют годо­

против часовой стрелки. Это относится в равной степени к системам как устойчивым, так и неустойчивым в ра­ зомкнутом состоянии.

На рис. 4-6 представлены АФХ разомкнутых неустой­ чивых систем, имеющих по одному интегрирующему звену. Системы на рис. 4-6,а и б имеют по одному по­ ложительному корню; система па рис. 4-6,б имеет два положительных корня.

Так как системы имеют по одному интегрирующему звену, то прежде чем приступить к определению прира­ щения фазы cpjr(oo), необходимо при со, стремящейся к нулю, дополнить W (ja) в положительном направлении

Рис. 4-6. Амплитудно-фазовые частотные характеристики неустойчи­ вых разомкнутых систем, имеющих по одному интегрирующему звену.

а , о —устойчивые в замкнутом состоянии; б — неустойчивые в замкнутом со­ стоянии.

207

при дополнении ее дугой л/2 бесконечно большого ра­ диуса, направленной против часовой стрелки, начало дуги будет находиться на отрицательной вещественной полуоси. Соответственно, фаза системы на рис. 4-6,в при со = 0 равна ■—л/2, и, следовательно, начало дополняю­ щей дуги будет лежать иа положительной вещественной полуоси.

Рис. 4-7. Амплитудно-фазовые частотные ха­ рактеристики устойчивых разомкнутых систем, имеющих два (а, б) и три (в, г) последова­ тельных интегрирующих звена, устойчивых (б, а) и неустойчивых (а, г) в замкнутом со­ стоянии.

Обобщая, можно сформулировать, что при четном т и т = 0 начало дуги будет расположено всегда на поло­ жительной, а при нечетном т — на отрицательной ве­ щественной полуоси. Приращения фазы cpjr(oo) систем, изображенных на рис. 4-6,о, б и в, соответственно будут равны л, —л и 2л. Согласно формуле (4-22) в замкну­ том состоянии системы на рис. 4-6,а и в будут устойчи­ выми, а система на рис. 4-6,6 остается неустойчивой.

На рис. 4-7 приведены устойчивые в разомкнутом со­ стоянии системы, имеющие два и три последовательных

208

охвате точки (—1, /0) АФХ разомкнутой системы объяс­ няется следующими обстоятельствами.

Любой сигнал, воздействующий па систему, можно представить по закону Фурье как спектр гармонических составляющих с частотами от 0 до оо. В этом спектре будут и гармоники с частотами о>2 (см. рис. 4-4,6). Как следует из АФХ при прохождении этих гармоник через

мыкании системы и подаче ее выхода с обратным зна­ ком (отрицательная обратная связь) на вход мы тем самым подаем на вход выходную величину в противофа­ зе, т. е. повернутую еще на 180°.

Таким образом, усиленная гармоника с частотой сог будет додана на вход системы, повернутая в общей сложности на 360°, т. е. она будет в фазе с гармоникой юг, поступающей с сигналом. В итоге на вход системы будёт подаваться гармоника ш? с увеличенной амплиту­ дой, которая, проходя через систему, вновь будет уси­ ливаться и снова, еще более увеличенная, будет посту­ пать в фазе на вход системы. Такое нарастание состав­ ляющей с частотой сог на выходе системы будет теоретически беспредельным, и, следовательно, система будет неустойчивой.

Если АФХ разомкнутой системы не охватывает точ­ ку (—1, /0), то нетрудно убедиться в том, что система будет устойчивой (см. рис. 4-4,а). В этом случае в на­ чальный момент времени после замыкания системы хотя и будет иметь место увеличение гармонической состав­ ляющей с частотой сог, но только до вполне определен­ ной величины.

Допустим, например, что при поступлении на вход разомкнутой системы гармоники с частотой ыг и ампли­ тудой, равной 1, на выходе системы ее амплитуда будет равна 0,5 (т. е. коэффициент передачи системы равен 0,5); при замыкании системы амплитуда выходной со­ ставляющей с частотой о) 2 в этом случае возрастает до 1, т. е. только в 2 раза, и на выходе системы будут устой-