книги из ГПНТБ / Клюев, А. С. Автоматическое регулирование

Суточных точек экспериментальной переходной функций (іь і = 0,1) [или (ti, £=0,2)] и (/7, / = 0,7), в которых ап­ проксимирующая кривая должна точно совпадать с экс­

периментальной.

После нахождения по графикам на рис. 3-36 (или рис. 3-37) величины Т*і и Т*2 определяются действитель­ ные значения постоянных времени:

Рис. 3-36. График для определения относительных значений по­ стоянных времени передаточной функции вида (3-103) по относи­ тельному времени і *«•

В том случае, когда аппроксимирующая кривая долж­ на пройти через две промежуточные точки и распола­ гаться на предельно близком расстоянии от третьей про­ межуточной точки, расчет следует производить с исполь­ зованием графиков на рис. 3-36 и 3-37 T*li2=f(t*n) и T*i,2=f(t*z?). Графики, приведенные на рис.’3-36 и 3-37, позволяют определить п, Ті и Т2 при условии, что ап­ проксимирующая кривая совпадает с экспериментальной в двух точках с ординатами h(t) = 0,2 и h(t)= 0,7 [или h{t) =0,1 и h(t)= 0,7] и будет, проходить на предельно

170

близком расстоянии от точки с ординатой h (i)—0,1 (или

h ( t ) = 0 , 2 ) .

Определение 7*і и Т*% производится в этом случае как функции от t*n и t*2 7 по обоим рисункам для не­ скольких значений. Окончательно выбирается то значе­

Рис. 3-37. График для определения относительных значений постоян­ ных времени передаточной функции вида (3-103) по относительному времени t*ц.

Если объект (звено) имеет коэффициент передачи k и время запаздыванңя to, то после определения постоян­ ных времени получаем передаточную функцию объекта в виде

ke~T°p

W ( p ) = ( T i p + 1) ( Т гр + 1)п ( 3 - 1 2 1 )

По найденной передаточной функции объекта (соеди­ нения, звена) в виде (3-118) или (3-121)путем замены комплексной переменной р на /и получим АФХ, из кото­ рой можно получить любую требующуюся для расчета частотную характеристику.

171

3-8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ АФХ РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ

а] Определение АЧХ замкнутой системы

Амплитудно-частотная характеристика замкнутой си­ стемы определяется выражением (3-81). Знаменатель

этого выражения равен модулю |ОЛ;(| вектора АФХ

разомкнутой системы (рис. 3-38) при некоторой часто­ те COfc,

Рис. 3-38. Определение АЧХ замкну­ том системы по АФХ разомкнутом системы.

Так как на рис. 3-38 вектор BAh = BO + OAh, то мо­

Таким образом, АЧХ замкнутой системы можно полу­ чить в виде графика или таблицы по графическому изо­ бражению АФХ разомкнутой системы, определяя отно­ шения (3-123) для различных значений частоты.

6] Определение вещественной частотной характеристики замкнутой системы

Некоторые способы оценкикачества АСР (см. гл. 5) основаны на использовании их вещественной частотной характеристики в замкнутом состоянии.

172

В связи с этим большой интерес представляют метоцы построения вещественных частотных характеристик замкнутых систем по их АФХ, полученным эксперимен­ тально.

Ниже кратко описаны некоторые из этих методов. 1. По известной АФХ разомкнутой системы 1У(/со)

(см. рис. 3-38), используя отношение (3-123). легко най­ ти АЧХ замкнутой системы Ф(со). Фазо-частотная ха­ рактеристика разомкнутой системы, т. е. фаза вектора W (/со) равна ср(сол). Угол ß(со*) является фазой вектора l+W'C/w). При делении векторов результирующая фаза равна разности фаз векторов числителя и знаменателя, т. е. ФЧХ ф(со/,) замкнутой системы равна:

Соответственно формулам (3-39) и (3-40) между ча­ стотными характеристиками замкнутой системы имеются зависимости

Таким образом, определив по рис. 3-38 и формулам (3-123) и (3-126) величины Ф (со) и ф(со) для. ряда частот сой, можно по формуле (3-128) найти значения ординат вещественной частотной характеристики замкнутой си­ стемы для тех же частот.

2. Амплитудно-фазовая характеристика замкнутой си­ стемы

Ф.(/со) = Нф(со)+/Уф(со) связана с АФХ разомкнутой системы

W (/со) = U(со) + jV (со)

соотношением

173

Подставив приведенные выше значения Ф(/со) и W(ja) в формулу (3-129), получим:

Умножая числитель и знаменатель на сопряженный множитель и приравнивая вещественные части левой и правой частей полученного уравнения, находим:

пл,л . иң<о) + 1Ңа) + У*(и)

Таким образом, на комплексной плоскости АФХ ра­ зомкнутой системы геометрическое место точек, имею­ щих заданную величину вещественной частотной харак­ теристики замкнутой системы, равную Нф(со) = Нфі= = const, представляет собой окружность с радиусом

центр которой лежит на вещественной оси в точке Oj, находящейся на расстоянии

от начала координат.

Так как D—R = —1, то все окружности, построенные для различных значений t/ф(со), проходят через точку (•—1, /0), лежащую на отрицательной вещественной по­ луоси.

174

Рис. 3-39. Круговая диаграмма равных значении веще­ ственной частотной характеристики замкнутой системы на плоскости АФХ разомкнутой системы.

Рис. 3-40. Определение вещественной частотной ха ­ рактеристики замкнутой системы по круговой диа­ грамме на рис. 3-39 и АФХ разомкнутой системы.

Задаваясь различными значениями Uф(со), опреде­ ляем по формулам (3-131) и (3-132) для каждого из них радиус и центр окружности; построив эти окружности (рис. .3-39), получим круговую диаграмму. Нанося на эту диаграмму АФХ разомкнутой системы, можно найти ординаты вещественной частотной характеристики зам­ кнутой системы для ряда значений со. Если АФ.Х разом­ кнутой системы пересекает какую-либо окружность кру­ говой диаграммы с определенным І/фи и точка пересе­ чения соответствует частоте co/t, то ордината веществен­

системы.

Если точку пересечения А АФХ №'з(/со) с какой-либо окружностью соединить с точкой В (—1, /0) и восстано­ вить в середине отрезка AB (точка С) перпендику­ ляр (рис. 3-40), то он пе­ ресечет вещественную ось в точке 0 1, которая яв­ ляется центром этой окружности, и, следова­ тельно, отрезок ВОі ра­ вен радиусу этой окруж­

ности.

Имея это в виду, мож­ но по АФХ разомкнутой системы найти веществен­ ную частотную характе­ ристику замкнутой систе­ мы следующим образом (рис. 3-41).

Соединяем в общем случае для частоты сол точку Ай АФХ разомкну­ той системы W (jсо) с точ­ кой В(— 1, /0) и в се­

176

редине отрезка BAk восстановим перпендикуляр до пересечения с вещественной осью в точке СД. Отрезок BOk является радиусом окружности круговой диаграм­ мы, пересекающей характеристику W (jсо) в точке Аи, соответствующей частоте со*. По выражению (3-131) на­ ходим значение Uф(м) при со = со/,:

Выполнив аналогичные построения для других зна­ чений частоты, можно построить график вещественной частотной характеристики замкнутой системы.

3-9. ПРИМЕРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ОБЪЕКТОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ

Пример 3-1. О п р е д е л и т ь А Ф Х н а г р е в а т е л ь н о й п е ч и

к р ы т и и р е г у л и р у ю щ е г о о р г а н а п а в е л и ч и н у хо вх= = 8 % е г о п о л н о г о х о д а .

Д о начала возмущения температура в печи Ѳ ц=134°С . Устано­ вившееся значение температуры после окончания переходного про­ цесса Ѳ ц=152°С . Так как величина запаздывания заранее неиз­ вестна, будем искать передаточную функцию объекта в виде (3-118) •при совпадении аппроксимирующей характеристики с переходной

=2,355.

4.По (3-110) находим запаздывание:

То=7127(В 27т2—т7) =0,738(2,355 • 15— 23) = 9,1 сек.

5. По (3-113) находим постоянную времени:

Г = Т* 7 (т7 — то) = 0,277 (23— 9,1) = 3,85 сек.

6 . Искомая передаточная функция нагревательной печи в соот­

ветствии с (3-118) имеет вид:

о б ъ е к т а п о п е р е х о д н о й ф у н к ц и и п р и м е р а 3-1 с ті =

н а п р е д е л ь н о б л и з к о м р а с с т о я н и и о т т о ч к и с к о ­

178