книги из ГПНТБ / Клюев, А. С. Автоматическое регулирование

то, разделив оба полинома на действительную и мнимую части, получим:

Q (/c o ) = Я < з( со) + / / Q ( Cо) ;

P ( h ) =^P(«)+i^p(cü),

Величина В1(со) называется вещественной частотной характеристикой системы.

Величина У(со) называется мнимой частотной харак­ теристикой системы.

120

В связи с этим для оценки динамических свойств замкнутых систем используются их амплитудно-фазовые частотные характеристики (АФХ) в разомкнутом состоя­ нии.

Для инженерных расчетов особенно широко исполь­ зуются частотные характеристики, построенные в лога­ рифмическом масштабе в виде ломаных линий из прямо­ линейных отрезков.

Логарифмируя выражение (3-31) АФХ, получаем:

]gr(/co)=lg^(co)+/cp(M )lge.

Логарифмической единицей усиления или ослабления мощности сигнала при прохождении его через какое-ли­ бо устройство при выражении десятичным логарифмом величины отношения мощности на выходе РВых к мощнос­ ти на входе Рвх в технике принят бел (по имени амери­ канского изобретателя А. Бёлла).

Так как мощность сигнала пропорциональна квадра­ ту его амплитуды, то с учетом (3-32) получим:

Так как бел является достаточно крупной единицей усиления (ослабления) мощности (увеличение мощности в 10 раз равно 1 б), то в теории автоматического регу­

называется логарифмической амплитудно-частотной ха­

ср в градусах или радианах и lg со), называется логариф­ мической фазо-частотной характеристикой (ЛФЧХ).

За единицу измерения частоты используется лога­ рифмическая единица октаву иди более крупная — дека­

122

да. Октавой называется диапазон частот Между какойлибо величиной частоты и ее удвоенным значением.

В логарифмическом масштабе частот отрезок в одн> октаву имеет одну и ту же длину, не зависящую от ве­ личины со и равную

lg2co—lg со = lg 2+ lg со—lg со = lg 2.

Декадой называется интервал частот между какойлибо величиной частоты и ее десятикратным значением.

В логарифмическом масштабе частот отрезок в одну декаду, так же как и в одну октаву, не зависит от часто­ ты и имеет длину, равную

lg Юсо—lg со = lg 10= 1.

Так как с помощью частотных характеристик можно решать большое количество практических задач по ана­ лизу, синтезу и определению оптимальных параметров настроек АСР, то для этого важно знать частотные ха­ рактеристики типовых звеньев и их соединений, наибо­ лее широко применяемых для улучшения динамических свойств систем (см. § 3-4).

3-4. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТИПОВЫХ ЗВЕНЬЕВ

а) Частотные характеристики усилительного звена

Исходя из выражения (2-14), можно записать:

Рис. 3-7. Частотные характеристики усилительного звена.

Таким образом, АФХ усилительного звена представ­ ляет вектор, совпадающий с положительным направле­ нием оси абсцисс, модуль которого не зависит от часто­ ты и равен коэффициенту передачи звена.

123

Ёоздействия любой частотѣ, поступающие гіа вход этого звена, усиливаются в одинаковой степени без фа­ зового 'сдвига. Частотные характеристики усилительного звена представлены на рис. 3-7.

Логарифмическая АЧХ звена определяется выраже­ нием

ипредставляет собой прямую параллельную оси абсцисс

ипроходящую от нее на расстоянии 20 lg k. Логарифми­ ческая ФЧХ при всех частотах совпадает с осью абсцисс, так как фазовый сдвиг при всех частотах равен нулю [см. выражение (3-42)].

6] Частотные характеристики интегрирующего звена

по фазе от входных на угол 90° (рис. 3-8,в); в) АЧХ представляет собой гиперболу, т. е. чем мень­

ше частота входногосигнала, тем больше этот сигнал

124

Таким образом, ЛАЧХ представляет собой прямую линию, пересекающую при /е= 1 ось абсцисс в точке со= = 1 и имеющую наклон к оси абсцисс 20 дб/дек. При кФ, 1 ЛАЧХ перемещается параллельно оси ординат на величину 20lg k (рис. 3-9,а).

Рис. 3-8. Частотные характеристики интегрирующего звена.

Логарифмическая фазо-частотная характеристика не зависит от частоты и равна —л/2 (рис. 3-9,6). На рис. 3-9 на оси абсцисс для сравнения указаны значения как 'со, так и lg со, а также нанесена координатная сетка частот.

Рис. 3-9. Логарифмические частотные характеристики интегрирующего звена.

125

в) Частотные характеристики апериодического звена

Из передаточной функции звена ^ (р )= т / + Т [фор'

мула (2-22)] находим его АФХ:

Вещественная и мнимая частотные характеристики

Задаваясь различными значениями ю, можно по вы­ ражениям (3-47) построить АФХ звена. Однако в дан­ ном случае можно из этих же двух уравнений алгебраи­ чески получить на плоскости U, j V уравнение кривой W (ja) в явной форме как функцию.

Складывая выражения (3-48), получим:

. Возведя в квадрат левую и правую части равенства, найдем:

откуда

V2 (co) + £/2(co)—kU(a) =0.

Прибавляя к обеим частям этого равенства слагае­ мое (А/2)2, получаем:

Из полученного уравнения следует, что АФХ имеет вид окружности (рис. 3-10,а) с радиусом £/2, центр ко­ торой расположен на положительной вещественной по-

126

луоси в точке с координатами (£/2; 0). Окружность ка­ сается мнимой оси в начале координат. Изменениям со

На рис. 3-10,6 и в представлены также амплитудночастотная и фазо-частотная характеристики звена. Из графиков частотных характеристик видно, что усиление звена по амплитуде при увеличении частоты уменьшает­ ся. Это уменьшение тем резче, чем больше постоянная времени.

Рис. 3-10. Частотные характеристики апериоди­ ческого звена.

С ростом частоты увеличивается также фазовый сдвиг выходных колебаний по отношению к входным. Фазо-частотная характеристика звена отрицательна, сле­ довательно, выходные колебания по фазе отстают от входных. При одной и той же частоте фазовый сдвиг тем больше, чем больше постоянная времени звена. При небольших частотах (со~0) апериодическое звено ведет себя как усилительное звено с коэффициентом усиления k. При больших частотах выходная величина по модулю стремится к нулю, а ее фаза ср (со) — к значению —я/2.

При а —І/Т фаза ср(со)=—я/4, а W(a) =kß/r2І Логарифмируя выражение (3-49), найдем:

т

Из выражения (3-52) следует, что при изменении коэффициента усиления звена ЛАЧХ перемещается па­ раллельно оси ординат, не меняя своей формы. При из­ менении частоты от 0 до оо при со <d 1/7" ЛАЧХ можно аппроксимировать горизонтальной прямой L (со) =20 lg k,

ДА= —'20 lg 1ОсосТ'-Ь 20 lg со7^г= —20—20 lg coiA+ + 201gwi7' = —20 дб/дек.

Следовательно, ЛАЧХ может быть приближенно представлена двумя вышеуказанными прямыми (асимп­ тотами), сопрягающимися друг с другом частоте

Рис. 3-11. Логарифмические частотные характеристики апериодиче­ ского звена.

©і=1/Г. Эту частоту принято называть сопрягающей. При представлении фактической ЛАЧХ приближенной (рис. 3-11,а) максимальная ошибка будет на сопрягаю­ щей частоте

ДА (<!),)= —201g |/ 2 = — 3 дб.

Логарифмическая фазо-частотная характеристика, построенная в полулогарифмическом масштабе по выра­ жению (3-50), представляет собой кососимметричную линию (рис. 3-11,6). На интервале частот 0,1/Г<©<10/Г ЛФЧХ можно аппроксимировать прямой с наклоном — 45°/дек, проходящую через точку с координатами

128

[ср(со)=45°; <лТ—1 дб\. При этом следует отметить, что при такой аппроксимации ошибка является существен­ ной (до 6°), в связи с чем она не всегда допустима.

г) Частотные характеристики колебательного эвена

По формуле (2-25) передаточной функции звена W (р) =

На рис. 3-12 изображена АФХ звена. Она начинается на вещественной оси в точке с абсциссой, равной k. Вид АФХ определяется величиной отношения постоян­ ных времени 7УГ2. Чем больше это отношение, тем меньше колебательность звена. При Г1/7’2> 2 колебатель­ ное звено превращается в соединение из двух аперио­ дических звеньев.

При Г1/Г2= 0 степень затухания ф (2-39) будет равна нулю и возникшие в звене колебания будут незатухаю­ щими с собственной частотой колебаний, равной <во=1 /Т’2 .