книги из ГПНТБ / Клюев, А. С. Автоматическое регулирование

Рассмотрим, каким требованиям должен отвечать спо­ соб описания работы любой АСР независимо от принци­ па ее действия и назначения.

При работе на систему оказывают влияние задающие и возмущающие воздействия, в результате которых регулируемая величина может изменяться. При этом си­ стема при поступлении на нее нового задающего воз­ действия должна соответственно заданию обеспечить с заданной степенью точности новое значение регулируе­ мой величины в установившемся режиме. При этом за установившийся принимается такой режим, при котором расхождение между истинным значением регулируемой величины и ее заданным значением будет постоянным во времени.

При возмущающих воздействиях система должна обеспечить с заданной степенью точности значение регу­ лируемой величины, соответствующее прежнему устано­ вившемуся режиму, т. е. ее заданному значению.

Переход системы от одного установившегося режима

стабилизации), изменяться по определенному заданному закону (программные системы) или изменяться по зара­ нее неизвестному закону в соответствии с изменением ведущей величины (следящие системы). В связи с этим установившийся режим в теории автоматического регу­ лирования называется невозмущенным движением систе­ мы. Переходный процесс в системе определяет возму­ щенное движение системы, которое характеризует откло­ нение координат системы и их производных от устано­ вившихся значений при невозмущенном движении системы.

Следовательно, возмущенное и невозмущенное дви­ жения системы в полной мере определяют процесс ре­ гулирования.

Известно, что любое движение, процессы передачи, обмена и преобразования энергии или вещества матема­ тически описываются дифференциальными уравнениями. Любое изменение в АСР также принято описывать диф­ ференциальными уравнениями, которые определяют сущ­ ность происходящих процессов в системе независимо от принципов ее действия, назначения и конструкции. Ре­

20

шив диффернциалыюе уравнение системы, можно най­ ти характер изменения регулируемой переменной в пе­ реходных и установившихся режимах при определенных задающих и возмущающих воздействиях на систему.

Кроме того, при универсальном едином способе опи­ сания работы автоматических систем с помощью диф­ ференциальных уравнений представляется возможность разработать общие методы количественной и качествен­ ной оценок процесса . регулирования различных систем.

б] Структурная схема системы и ее дифференциальные уравнения

Для упрощения задачи нахождения дифференциаль­ ного уравнения, описывающего работу АСР в целом, систему разбивают на ее отдельные элементы, переход­ ные процессы в которых описываются достаточно про­ стыми дифференциальными уравнениями.

Для этого необходимо полностью разобраться в прин­ ципе действия системы, отдельных ее узлов, элементов, определить функциональные связи .между ними и пред­ ставить систему в виде структурной схемы.

Так как дифференциальные уравнения описывают ргботу системы независимо от физической сущности протекающих в ней процессов, то при разбивке системы на элементы нет необходимости учитывать их физиче­ скую целостность, а также учитывать элементы и связи, которые не оказывают влияния на функционирование системы при принятом способе описания ее работы.

Для каждого элемента структурной схемы необходи­ мо составить дифференциальное уравнение, определяю­ щее зависимость изменения выходной величины от входной.

Так как выходная величина предыдущего элемента является входной величиной последующего элемента, то, определив дифференциальные уравнения отдельных эле­ ментов путем последовательного исключения промежу­ точных переменных, можно найти дифференциальное уравнение системы, определяющее характер изменения регулируемой величины от входной воздействующей ве­ личины.

Однако такой метод нахождения дифференциального уравнения системы применим только в частных случаях. Дело в том, что в большинстве случаев в реальных эле­

21

ментах системы снизь между 'входными и выходными величинами является нелинейной и часто задается в графической форме. При этом даже если и будет по­ лучено дифференциальное уравнение системы, то оно будет нелинейным. Аналитическое же решение нелиней­ ных дифференциальных уравнений возможно только в редких частных случаях.

Рис. 2-1. Принципиальная схема аптоматпческого ре­ гулирования температуры нагревательной печи.

Однако если в переходном процессе при изменении входной величины изменение выходной величины звена является непрерывной функцией времени, то, учитывая, что в процессе регулирования отклонения всех изменя­ ющихся величин от их установившихся значений .малы, в ряде случаев можно допустить линеаризацию нелиней­ ных зависимостей. В этом случае замена исходных нели­ нейных уравнений приближенными линейными не вносит существенных погрешностей в результаты исследований и в то же время позволяет применять достаточно про­ стые инженерные методы расчета.

В результате линеаризации нелинейностей и состав­ ления уравнений в отклонениях от состояния равновесия дифференциальное уравнение, характеризующее работу системы при нулевых начальных условиях, является од­ нородным линейным уравнением, прямые и косвенные методы решения которого разработаны в достаточной степени.

Разберем физическую сущность метода линеаризации нелинейностей на примере АСР температуры нагрева­ тельной печи (рис. 2-1).

22

При отклонении регулируемой температуры от задан­ ного значения (например, в результате .повышения теп­ лоотдачи печи во время ее загрузки деталями, подлежа­ щими нагреву) регулятор воздействует на регулирую­ щий клапан, который изменяет количество Q газа, по­ даваемого в печь, восстанавливая заданное значение температуры.

Рис. 2-2. К вопросу линеаризации нелинейных характеристик.

а — линеаризация нелинейной характеристики клапана в точке пэчиовесмого состояния; б— пример нелинейной функции, не поддающейся линеаризации в окрестностях точек Х\— лг4.

является нелинейной (рис. 2-2,а).

В равновесном состоянии заданное значение темпера­ туры обеспечивается подачей в печь газа в количестве Qо при степени открытия клапана So. При появлении возмущающих воздействий заданное значение темпера­

к этой кривой в точке О*. При этой замене получаем линейную зависимость между ходом клапана и расходом около равновесного состояния:

23

Путем переноса начала координат в точку равновес­ ного состояния О* получим еще более простую линей­ ную зависимость между дополнительным перемещением клапана AS и изменением подачи газа в печь AQ:

Следует отметить, что величина К имеет постоянное значение только вблизи точки равновесного состояния О*. При удалении от точки О* погрешность возрастает тем быстрее, чем больше кривизна нелинейной зави­ симости.

При большой кривизне в случае перенастройки си­ стемы на новый режим работы, значительно отличаю­ щийся от расчетного, необходимо выполнить линеариза­ цию нелинейной зависимости Q = f(S ) для области но­ вого равновесного состояния.

Аналитически линеаризация нелинейной зависимости в общем случае выполняется путем разложения функ­ ции f(x) в ряд Тейлора для точки равновесного состоя­ ния системы

и исключения из ряда членов высших порядков мало­ сти, т. е. содержащих отклонения величины Ах в сте­ пенях выше первой. При этом выражение (2-3) прини­ мает вид:

или, переходя к отклонениям,

где *

f(A x )= f(x )—f(xo).

Выражение (2-5) и представляет собой линеаризован­ ную функцию f(x), представленную в отклонениях от равновесного состояния. • Производная f'(x0) этой функ­ ции в точке равновесного состояния равна тангенсу ут-

24

коэффициенты, определяемые особенностями и парамет­ рами настройки элемента.

Если в уравнение (2-6) вместо ■функций времени

Явых(0 н *вх(0 ввести функции Авых(Р) и Авх(р) ком­ плексного переменного р, поставив условием, что эти функции связаны зависимостями

то оказывается, что дифференциальное уравнение, со­ держащее функции *вых(7) и xBX(t) при нулевых на­ чальных условиях1, равносильно линейному алгебраиче­

к однозначно соответствующему ему алгебраическому уравнению называется преобразованием Лапласа. Интег­ рал (2-7) называется интегралом Лапласа.

Функция Х(р) называется изображением функции x(t), функция x(t) называется оригиналом функции Х(р).

Операция перехода от искомой функции х(і) к ее изображению Х(р) (нахождение изображения от ориги­ нала) называется прямым преобразованием Лапласа. Математически прямое преобразование Лапласа запи­

ния п-го порядка характеризуются тем, что для ^=0 значения самой

26

называется обратным преобразованием Лапласа. Мате­ матически обратное преобразование Лапласа записыва­

ется условно с помощью символа ££-1 как

Z -'[ X (p )] = x (t).

Практически переход от дифференциального уравне­ ния к алгебраическому уравнению относительно изобра­ жения решения исходного дифференциального уравне­

ференциального уравнения к алгебраическому относи­ тельно изображения при нулевых начальных условиях, обычных для большинства АСР, получается путем за­ мены символов дифференцирования оригиналов функций dnldtn, dnildln~1,.. .,d/dt соответственно на рп, рп-і,.. .,р

и функций x(t) — их изображениями Х~(р). С комплекс­ ной переменной р, как и с другими членами алгебраиче­ ского уравнения, можно производить различные дейст­ вия: умножение, деление, вынесение за скобки и т. д.

Так как возможность однозначного перехода от диф­ ференциального уравнения к алгебраическому значитель­ но упрощает все расчеты АСР (это является математи­ ческой основой инженерных расчетов АСР), то очень важно психологически убедиться в правомерности такого перехода.

Согласно правилу интегрирования по частям

V (р) = [X (0 e-v'] I “+ Jре-р*X (t) dt =

О

оо

=рj x{t)e~^dt —х(0).

о

При нулевых начальных условиях х(0) = 0 и с учетом (2-7) получим:

Г(Р) = 2 р д -]= р Х (р ).

27

Таким образом, мы убедились в правомерности пере­ хода от дифференциальной формы записи производной к ее записи в операторной форме путем формальной замены символа дифференцирования cljclt на комплекс­ ную переменную р (при нулевых начальных условиях). Так как

Таким образом, операция дифференцирования ориги­ нала соответствует операции умножения изображения этого оригинала на комплексное число р.

Это является одним из важнейших свойств преобра­ зования Лапласа.

Аналогично можно доказать, что операции интегри­ рования оригинала соответствует операция деления изображения этого оригинала на комплексное число р.

Так, при нулевых начальных условиях

&X (Р)

р

Так как интеграл суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов от отдельных выражений, а по­ стоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то преобразование Лапласа обладает свойствами линей­ ности, а именно

££[ax{t)] = a3l[x(t)\ = aX(p), а = const.

Каждый элемент АСР в общем случае описывается дифференциальным уравнением вида (2-6). Следователь­ но, при выводе дифференциального уравнения системы в целом необходимо совместно решить несколько диф­ ференциальных уравнений высших порядков.

Преобразование дифференциальных уравнений по Лапласу позволяет свести эту задачу к решению системы алгебраических уравнений. Определив из алгебраиче­ ских уравнений изображение Х(р) искомой функции x(t), определяющей переходный процесс в системе, на­ ходят эту функцию, польуясь таблицами оригиналов и их изображений (см. Приложение 1) или по известным формулам обратного преобразования Лапласа.

28

Кроме того, .преобразование дифференциальных урав­ нений по Лапласу дает возможность ввести чрезвычай­ но удобное понятие передаточной функции, характери­ зующей динамические свойства любого элемента систе­ мы. С помощью передаточных функций расчет АСР еще более упрощается и становится доступным широкому кругу инженерно-технических работников, не требуя применения сложного математического аппарата.

Вынеся в уравнении (2-8) Хвых(р) и Хвх(р) за скобки, получим:

[апрп+ апір п~1+ ■■. + <2і/? + 0о)ЙТВых(/?) =

=='{bmPm-\-bm-ipm~i + .. .+ bip + bo)Xsx(p). (2-9)

Определим из уравнения (2-9) отношение изображе­ ния выходной величины к изображению входной:

Отношение изображения выходной величины эле­ мента системы к изображению его входной величины при нулевых начальных условиях называется передаточ­ ной функцией элемента системы.

Соответственно отношение изображения выходной ве­ личины звена к изображению его входной величины называется передаточной функцией звена.

Передаточная функция W(p) является дробно-рацио­ нальной функцией комплексной переменной р:

где

Р (р) = йпрп ап—ірп~1+ . . . + аір + ао

— полином степени п, а

Q(р) = bmpm+ bm-lPm' i +. . .+ bip+ bo

— полином степени ш.

Из уравнения (2-10) следует, что передаточная функ­ ция элемента системы W(p) и изображение его входной величины определяют изображение выходной величины:

Так как передаточная функция системы полностью определяет ее динамические свойства, то первоначальная задача расчета АСРсводится к определению ее переда-

29