книги из ГПНТБ / Клюев, А. С. Автоматическое регулирование

личина входного воздействия, тем больше установившая­ ся ошибка.

На рис. 5-2 приведена зависимость регулируемой ве­ личины в установившихся режимах от величины посто­ янного возмущающего воздействия в приращениях от за­

возмущающем воздействии /0 (рис. 5-2) будет тем боль-

Рис. 5-2. Зависимость установившейся ошибки регулирования от возму­ щающих воздействий в статической системе.

ше, чем больше тангенс угла наклона статической ха­ рактеристики системы:

е/0 =/otga.

Относительная величина установившейся ошибки S = = eo/go или Sf — Sfjfo называется коэффициентом статизма системы по соответствующему каналу.

С учетом выражений (5-2) и (5-3) коэффициент статизма системы относительно задающего воздействия оп­ ределяется выражением

процесса. Однако для построения этого графика необхо­ димо или решить дифференциальное уравнение системы, или экспериментально получить график переходного про­ цесса. Численное решение дифференциального уравнения является трудоемкой задачей, а проведение эксперимеи-

240

та, связанное с трудностями, по условиям технологии не всегда возможно и требует наличия специальной аппа­ ратуры.

В связи с этим, кроме определения показателей ка­ чества регулирования по кривой переходного процесса, в инженерной практике находят широкое применение кос­ венные оценки качества.

Рис. 5-3. Переходные процессы По каналу возмущающего воздействия в статической (а и б) и астатической (в и г) системах с различной степенью колебательности.

Косвенными оценками-называются некоторые вели­ чины в той или иной мере характеризующие отдель­ ные особенности переходного процесса. Эти величины можно определить сравнительно просто без выполнения трудоемкой работы по построению графика переходного процесса.

Рассмотрим некоторые косвенные методы оценки ка­ чества регулирования системы. -

5-2. МЕТОД ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ПРОЦЕССА ПО РАСПРЕДЕЛЕНИЮ КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ СЙСТЕМЫ. СТЕПЕНЬ УСТОЙЧИВОСТИ И СТЕПЕНЬ КОЛЕБАТЕЛЬНОСТИ

Из выражения (2-30) следует, что чем дальше корни характеристического уравнения системы находятся слева от мнимой оси, тем быстрее заканчиваются переходные процессы в системе. При приближении системы к грани­ це устойчивости корни характеристического уравнения системы перемещаются на комплексной плоскости по на­ правлению к мнимой оси. На границе устойчивости один

вещественный или два сопряженных комплексных корня выходят на мнимую ось, а при дальнейшем переходе системы в неустойчивое состояние они перемещаются в правую комплексную полуплоскость.

Одним из косвенных показателей качества устойчи­ вых автоматических систем регулирования является сте­ пень удаленности корней характеристического уравнения

коэффициентом затухания колебаний или степенью ко­ лебательности.

Согласно формуле (2-40) сопряженные комплексные корни, имеющие максимальный угол <р, дадут составляю­ щую колебательного переходного процесса, имеющую наименьшее затухание, и, следовательно, колебатель­ ность системы будет определяться этой составляющей, так как остальные составляющие имеют большее зату­ хание.

Степень затухания составляющей с -наименьшим за­

2 4 2

Если. на комплексной плоскости корней (рис. 5-4) провести в левой полуплоскости прямую, параллельную мнимой оси, на расстоянии а от нее и два луча из нача­ ла координат под углами ±cp= arcctgm к отрицательной полуоси, получим в левой полуплоскости шесть обла­ стей: области / и II, соответствующие составляющим переходного процесса системы со степенью устойчиво­ сти, меньшей а, и коэффициентом затухания колебаний, меньшим т; область III со степенью устойчивости, мень­ шей а, и коэффициентом затухания колебаний, большим т; области IV и V со степенью устойчивости, большей а, и коэффициентом затухания колебаний, меньшим т, и область VI со степенью устойчивости, большей а, и ко­ эффициентом затухания, большим т.

Следовательно, если требуется, чтобы система авто­ матического регулирования имела степень устойчивости больше а и коэффициент затухания колебательности больше т, необходимо, чтобы все корни характеристи­ ческого уравнения этой системы располагались внутри области. VI.

С помощью метода D-разбиения на плоскости двух переменных параметров ѵ и г| можно определить об­ ласти, в которых обеспечиваются заданная степень устойчивости а и коэффициент затухания т.

Как показано в § 4-6, подставив в характеристиче­ ское уравнение системы величину (/со) вместо операто­ ра р, выделив из коэффициентов полученного уравнения переменные параметры т) и ѵ и приравняв нулю вещест­ венную и мнимую составляющие левой части уравнения, мы получим уравнения (4-27) и (4-28) координат кри­ вой D-разбиения, которая является отображением мни­ мой оси комплексной плоскости (оси /со) на плоскости параметров ѵ и гр

Если же в характеристическом уравнении системы заменить символ р не величиной (/со), а велгічипой (—а + у'со), где а — заданная степень устойчивости систе­ мы, а затем повторить построение кривой D-разбиения, то полученная кривая отобразит на плоскости параме­ тров не мнимую ось, а прямую, параллельную ей и сдви­ нутую от нее влево на расстоянии а. Эта кривая огра­ ничивает область корней, вещественная часть которых меньше величины (—а), т. е. область, в которой степень устойчивости системы выше заданной.

Удаленность от мнимой оси корня, расположенного

.D-разбиения получим еще одну кривую, ограничивающую область, в которой коэффициент затухания колебаний

данной и степенью колебательности меньше заданной (на рис. 5-4 система имеет корни в области III в ком­ плексной плоскости корней);

I V — область со степенью устойчивости больше за­ данной и степенью колебательности больше заданной (на рис. 5-4 система имеет корни в областях IV и V в комплексной плоскости корней);

V — область со степенью устойчивости больше за­ данной и степенью колебательности меньше заданной (все корни характеристического уравнения находятся внутри области VI в комплексной плоскости корней).

244

При заданных степенях устойчивости а и колебатель­ ности системы пг предъявленным требованиям' соответ­ ствуют только системы, в которых параметры ѵ и і] из- -меняются в пределах области V на рис. 5-5.

5-3. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПРОЦЕССА ПО АЧХ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ. ПОКАЗАТЕЛЬ КОЛЕБАТЕЛЬНОСТИ

Амплитудно-частотная характеристика Ф(со) замкну­ той системы определяется выражением (3-123). Из это­ го выражения следует (см. рис. 3-38), что чем ближе АФХ разомкнутой системы W(jm) подходит к точке В (—1, /0), тем меньше отрезок ВАк и тгем больше будет максимум Ф(со). Если она про­

максимум АЧХ замкнутой системы, тем больше колеба­ тельность системы. Так, АФХ (см. рис. 3-14) апериоди­ ческого звена второго порядка, определяемая выраже­ нием (3-53), при уменьшении отношения Ті/Т2 прибли­ жается к точке (—1, /0), а максимум АЧХ (рис. 3-13) ■увеличивается; в то же время увеличивается колебатель­ ность звена. При Ті/Т2>2 переходный процесс звена является неколебательным, как это видно из выражения

(2-34). При Г1/7’2< 2 звено превращается в колебатель­ ное. Колебательность увеличивается с уменьшением от­ ношения Ті/Ть а при Гі/Г2=0 колебания становятся не­ затухающими, что видно из выражения (2-41).

245

Для суждения о показателе М замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой си­ стемы W (/со) полезно нанести на плоскость W(ja) ли­ нии А1= const.

Из рис. 3-38 следует, что

оА К ) + ѵгК );

ВАк = Y[\ — U (u)fe)]2-j- Ѵ~ (со*).

Следовательно,

д л а __ В 2(coh) -f- V'2(со,,)

— [ I _ £/ (со*)]* + P* (a,fc)

Прибавив к обеим частям полученного уравнения слагаемое М1/(М2—I)2, получим окончательно:

A T 2 — 1

Полученное равенство при М = const является урав­ нением окружности, лежащей в комплексной плоскости [U(a), / V(to)]- Радиус этой окружности

а ее центр расположен на вещественной отрицательной полуоси на расстоянии от начала координат

246

скости [ІУ(со), j V( со)], является границей области, при вхождении в которую ЛФХ разомкнутой системы пока­ затель колебательности замкнутой системы будет боль­ ше заданного. Если упомянутая характеристика коснет­ ся этой окружности, то показатель М замкнутой системы будет равен заданному. Так, на рис. 5-7 кривая W(j со)

Рис. 5-7. Оценка качества процесса регулирования по круговой диаграмме равных показателей колебательности системы и АФХ разомкнутой системы.

касается окружности, построенной для М= 1,4; поэтому для замкнутой системы М= 1,4. Таким образом, для того чтобы показатель колебательности замкнутой системы был не больше заданного, необходимо и достаточно, что­ бы ЛФХ разомкнутой системы не пересекала окружность М —const, построенную для заданного коэффициента ко­ лебательности.

Практически считается, что система обладает необхо­ димым запасом устойчивости при М = 1,2-г-1,5.

5-4. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПРОЦЕССА ПО АМПЛИТУДНО­ ФАЗОВОЙ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ

а) Запас устойчивости системы по модулю и фазе

Оценка качества процесса регулирования может быть сделана также по АФХ устойчивой разомкнутой систе­ мы. Так как при приближении точки сог АФХ (см.

247

рис. 4-5,д) справа к точке с координатами (—1, j0) устойчивая система приближается к границе устойчиво­ сти, то степень устойчивости замкнутой системы нахо­ дится в прямой зависимости от степени удаленности точ­ ки пересечения АФХ разомкнутой системы с отрица­ тельной вещественной полуосью—£/(со) отточки (—1,/0).

Угол у, образованный вещественной отрицательной полуосью, и лучом, проведенным из начала координат через точку пересечения АФХ с окружностью единичного радиуса, имеющей центр

'в .начале координат (рис. 5-8), называется запасом устойчивости системы по фазе.

Запас устойчивости по модулю с показывает, на­ сколько должен измениться модуль АФХ системы при неизменных фазовых соот­

ношениях ее для выхода си­

представляет собой запас по коэффициенту передачи k разомкнутой системы по отношению к его критическо­ му, в части устойчивости, значению.

В связи с этим возмущающие воздействия на систе­ му, приводящие к увеличению ее коэффициента усиле­ ния без изменения фазового сдвига регулируемой вели-

. чины, будем называть возмущающими воздействиями по модулю.

Запас устойчивости по фазе у показывает, на сколько^ должно возрасти запаздывание по фазе в системе на' частоте среза «с при неизменном коэффициенте усиле­ ния на этой частоте, чтобы система оказалась на грани­ це устойчивости.

Всвязи с этим воздействия на систему, приводящие

кувеличению запаздывания в ней без изменения коэф-

248

б) Амплитудно-фазовые критерии запаса устойчивости по модулю и фазе

Для обеспечения заданного запаса устойчивости зам­ кнутой системы по модулю с АФХ разомкнутой систе­ мы W(/co) должна пересекать вещественную отрицатель­ ную полуось на расстоянии с от точки В (—1, /0) справа от нее. Этому условию удовлетворяет характеристика WiOu) на рис. 5-8.

Таким образом, точка D\(c—1, /0) характеризует степень устойчивости системы по модулю. Если W(ia) пересекает вещественную отрицательную полуось спра­ ва от точки Di(c—1, /0) [характеристика W2(ja) на рис. 5-8], то система имеет запас устойчивости по модулю больше заданного, а если пересечение расположено' сле­ ва от этой точки, то система имеет запас устойчивости по модулю меньше заданного.

Следовательно, условие обеспечения необходимого за­ паса устойчивости системы по модулю с запишется так:

249