книги из ГПНТБ / Яковлев, В. В. Стохастические вычислительные машины

довых умножителей формулы (2.43) и (2.44) дают одинаковые результаты до т ^ 3, а при использовании трехвходовых элемен­ тов — до ш 5, что согласуется с выводом (2.46).

Основываясь на проведенных исследованиях, выскажем в за­ ключение некоторые замечания, на основании которых будет по­ строен алгоритм схемной реализации устройства для возведения переменной в т-ю степень.

A. Из соображений экономии числа вентилей И общий ре­ гистр сдвига Рг (рис. 28) следует разделить на отдельные части

Опишем алгоритм синтеза устройства. Алгоритм состоит из ■последовательного выполнения пяти этапов.

1.Для заданных г и т п о формуле (2.44) определяется требу­ емое число вентилей 7V0.

2.Все вентили последовательно перенумеровываются. Пер­ вый номер получает вентиль, на вход которого подается независи­ мая переменная.

3.Применяя замечание В , расставляем у выходов каждого

5. Последний разряд каждого регистра Pr i соединяем с г-м входом i + 1-го вентиля, I — 1-й разряд соединяем с r-м входом этого элемента и т. д. Первый вход всегда подключается к выходу предыдущего z'-го вентиля.

Пример. Пусть m = .11, а г = 3, то есть используются трех­ входовые схемы И.

<60

У\ 'РiXiIх [-2’

vl — Уiy i -ъУi-6’

zl = Vpi-lVi-.2-

Pr 2

Рис. 30. Устройство для возведения стохастической переменной р (ж,-) в степень то= 11

9. Другие схемы е разветвлением входящей последовательности

Таким же способом, как и для стохастических умножителей, можно определить математическое ожидание и составляющие суммарной дисперсии D (к/п) на выходе логических схем, реализу­ ющих иные зависимости в соответствии е табл. 1. Здесь мы вновь рассмотрим случаи, когда имеется всего одна входящая последова­ тельность Бернулли с м. о., равным р , а входы логических эле­ ментов статистически развязаны (с помощью триггеров или линий задержки).

Заметим, что из шестнадцати различных функций двух аргу­ ментов x t и х 2, представленных в табл. 1, шесть являются функ­ циями одной переменной {43]. Среди них две функции повторения

61

функций две (z/4 и г/41) не являются самостоятельными, так как они отличаются от функций у 2 и у 13 лишь порядком расположения аргументов.

Кроме того, любая функция, взятая из верхней половины таб­ лицы (уо, у г, . . ., Ут) является отрицанием какой-нибудь функции,

nD (■Т ) = - Р)т 1 + 2 ^ А “ Р>* “ (2т - !) (1 - Р)п

При этом предполагаем, что включение цепочки дизъюнкторов проведено тем же способом как и включение конъюнкторов на рис. 28. При т = 2 (один включенный дизъюнктор)

и £ > ( А ) = р ( 1 - р ) 2(4 - З р ),

(2.47)

nD (zi) = p ( l —pf ( 2 ~ p ) .

62

Оти зависимости (рис. 31) симметричны относительно верти­ кали р = 0,5 с подобными зависимостями, вычисленными для конъюнктора, и имеют равные максимальные значения. Для логи­

Рис. 32. Последовательное соединение m элементов эквиваленции, в котором рассогласование Ap(zmi) = р (zmi) —

— 9 (zmi) убывает с ростом т; Рг — регистр сдвига

Поскольку входящая последовательность идеальна и ни одна из конъюнкций системы уравнений (2.48) не содержит тавтологий, вероятности функций z на выходе каждого элемента определим в виде следующего рекуррентного соотношения:

причем р (г1г) = 1 — 2р (1 — р).

Следовательно, для дисперсии результата на выходе получим:

Уравнение (2.49) определяет математическое ожидание про­ цесса на выходе т-го элемента в виде знакопеременного полинома от р, причем коэффициенты этого полинома представляют собой произведения биноминальных коэффициентов и членов геометри­ ческой прогрессии с основанием 2 в соответствии с формулой

Оба выражения (2.49) и (2.51) при возрастании т быстро схо­ дятся к результату 0,5 даже при значениях р сильно отличающихся от 0,5. Например, при р = 0,9 для т = 2 и т = 7 соответственно ползшим р (z2) = 0,76 и р (z7) = 0,57.

63

Это свойство элементов «эквиваленция» и «альтернатива», про­ являющееся в стабилизации выходной вероятности, является одной из причин их широкого применения в генераторах случайных и псевдослучайных процессов.

Запишем теперь значения выходной функции в последователь­ ные моменты времени для первого элемента цепочки на рис. 32:

zln — %tpn-1 V %rPn-1•

Как видно из уравнений, все соседние значения функции zx оказываются попарно коррелированными. Определим корреля­ ционный момент

Кг, (1) = Р (zuzli+1) —р (z1{)p (z li+1).

Сложное событие

Отсюда вероятность этого события

Р ( z l i z l i + l ) = р3 + (1 — Р)3,

а корреляционный момент

Кг, (1) = Р3 + (1 - Р)3+ (1 - 2 Р + 2р2)2= р (1 - р) (1 - 4р - 4 р2).

Применив теперь теорему о дисперсии суммы (2.36), получим дисперсию частоты появления единиц в последовательности zt

nD ( 1 ) = nD (zu) + 2 ( n - i ) K Zi (1) = 4p (1 - p) (1 - 3p + 3p2). (2.52)

Графики функций (2.50) и (2.52) представлены на рис. 31.

Как видно из рисунка суммарная дисперсия процесса на выходе логического элемента «эквиваленция» («альтернатива») больше, чем у процесса без последствия. Подобный же результат мы полу­ чили у дизъюнктора, однако в первом случае имеется седловая точка (рис. 31) с координатой р = 0,5, при которой изменений дисперсии не происходит.

Запрет: z = х хх 2.

Математическое ожидание и дисперсию последовательности на выходе цепочки из т последовательно соединенных элементов «запрет» получаем в виде

P(Z nd)=P(l— P)m*

D (Zmi) — Р (Zmt) И — Р (z m i) l

64

а суммарную дисперсию частоты появления единиц на т-м выходе соединения

Обратим внимание, что функция (2.55) дает в четыре раза мень­ шую дисперсию, чем определенную по (2.52) для элемента «эквиваленция».

Обе зависимости (2.54) и (2.55) в функции р представлены на рис. 31.

Вычитая из (2.55) (2.54) и записав результат

( n - l ) K Zi ( 1 ) = - р 2 ( 1 - р ) 2,

обнаружим, что в данном случае имеет место отрицательная кор­ реляция. По этой причине происходит уменьшение вариаций на выходе логического элемента «запрет» (или «импликация»). С ростом т это свойство проявляется сильнее, так как функция (2.53) в пределе

lira р (1 —р)т [1 —р (1 — р)т (1 + 2т )] = О

т-> со

для любых значений р.

10. Точность и скорость выполнения операций

Рассмотрим типичное соединение блоков СтВМ (рис. 33), пред­ назначенное для выполнения какой-либо математической операции над т машинными переменнымир (х^),р (х2), . . ,,р (хт). При этом, если истинные переменные Х 01, Х 02, . . ., Х 0т представлены в виде двоичных кодов, то используются т входных преобразователей

образователя Л П — дискретного устройства, являющегося ориен­ тированным т,1 полюсником без обратных связей. Блок Л П содержит логические элементы И, ИЛИ, Не и т. п., образующие однотактную схему, и линии задержки. К выходу этого блока под­ ключается интегратор для определения среднестатистического значения реализации выходной последовательности ЛП с матема­ тическим ожиданием р (z).

Можно отметить следующие основные факторы, влияющие на точность вычислений в структуре на рис. 33.

1. Неидеальность передаточной функции преобразователей П И В. Ранее уже отмечалось (стр. 18), что линейное преобразова­ ние реализуется лишь в том случае, если распределение состояний Х ;- регистра Рг2 преобразователя (рис. 6) равномерное.

Генерирование этих состояний обычно происходит так, что на

ния значения 1 , а у,- — как противоположное событие, то р (у,) =

Рис. 33. Последовательность соединения основ­ ных стохастических блоков

=q(yt) и плотности вероятностей этих случайных величин задаем

ввиде

/ (Уд = Р (Уд 6 (У1- 1 ) . / (уд = Р {уд s (уд ■

Таким образом, могут быть вычислены вероятности p f событий Ху, заключающихся в появлении конкретного состояния Ху

(табл. 5).

Продемонстрируем правила составления этой таблицы на примере последней строки.

Имеем X 2i = у гу2. . •*//• Плотность вероятности /независимых случайных величин равна произведению их одномерных плотно­

стей вероятности, т. е.

i

/ (Х 2/) = / (уг, у2, . . . . уд = П Р (Уд 6 (Vi — 1).

£=1

откуда вероятность сложного события р;- определяется как

Ео->-о £=1 1-е0

66

2. Наличие корреляции и автокорреляции в последовательно­ стях на выходе всех П К В .

Мы уже отмечали, что при условии взаимной независимости входных последовательностей математическое ожидание последова­ тельности на выходе произвольной комбинационной схемы опре­ деляется лишь математическими ожиданиями входных стохастиче­ ских процессов. Если это условие не выполняется, то на точность выполнения большинства операций влияет не только точность уста­ новки математических ожиданий, но и величина взаимной корре­ ляционной связи между входными последовательностями.

Мерой статистической зависимости между входными перемен­ ными Х[ и Xj может служит значение нормированной взаимной корреляционной функции

Р ( X j X j ) — p ( X j ) р ( X j )

Р ( * i ) Р (ж/) Р ( x j ) Р ( X j )

Тогда, предположив, что точность установки математических ожиданий значительно выше необходимой точности выполнения операции, можно поставить вопрос о допустимой величине значе­ ния корреляционной функции rt;-. Так, при выполнении операции умножения двух переменных, используя (2.7), запишем

a fa) = V p fa ) p fa), а (x}) = V p (x^ p (x;).

Поскольку необходимо выполнить условие

p(z) — p fa ) p (x^ = a (xt) a (x}) rlf (0) s? едоп>

Например, если истинные переменные представлены /-разряд­ ными двоичными кодами и соответствующие им стохастические переменные установлены с предельной абсолютной погрешностью, равной половине единицы младшего разряда* то

гц(0) 4 * 2 - «н> = 2-0-i).

Так что при I = 10 Гц (0) ^ 0,002.

68

Соотношение (2.57), таким образом, определяет допустимую степень статистической зависимости между разрядами регистров Рг2 преобразователей IIK B i и ПКВ-Г

Аналогично можно определить допустимую величину внутриразрядной корреляции (или нормированной автокорреляционной функции гхх%(т)). При возведении в квадрат переменной х резуль­

тат определяется выражением

Р (xxj = р2(X) + О2(;г) гхх^(т),

где х и хх —■события, заключающиеся в совместном появлении единиц в последовательности в моменты времени t и t -f- т. Эта зависимость практически не отличается от выражения (2.56), и, следовательно, повторяя подобные рассуждения, окончательно получим

Г^ ( т ) < 2- « - 1>.

3.Конечность времени интегрирования. Если интегрируется идеальный процесс без последействия (ЛП не содержит линий за­ держки), то для определения состоятельного объема выборки, при котором частота появлений события z отличается от его ве­ роятности менее чем на величину ех при заданной доверительной вероятности р л, может быть использована ранее полученная зави­ симость (1.25, а). Подставляя в эту формулу значение

находим

«оР(z) ч (z) ei

Эта функция максимальна, когда р (z) = q (z) — 0,5, следова­ тельно, необходимый объем выборки (или время интегрирования) должен быть

2

п ■

или в логарифмической форме

На рис. 34 представлены некоторые зависимости, рассчитанные по этой формуле для ряда значений доверительной вероятности рд. Из графиков, в частности, видно что для достижения точности 10% при доверии р л = 0,95 достаточна выборка длиной примерно 100 тактов, для точности 1 % уже требуется 10 000 тактов, а полу­ чить е! 0,1 % , можно, проведя приблизительно 1000000 испы­ таний.

69