книги из ГПНТБ / Яковлев, В. В. Стохастические вычислительные машины

Р

(zi) =

2' 4 ((кЧъШэ, +

+ 3qiqiPaQi + 4 qlq3paPi +

+ 5gip2g3g4 +

6giP2g3p4 + 1qiPiThqi + 4iPzPzPi + 9p1g2g3g4 +

+ 10л?гдз^4 +

+ 12p1g2p3p4 + ib p ^ p M i +

+ 14PlP2?3P4 + 15PiP2p3qi + IQPiPzPsPi),

где Pi

= p

(at),

qt = 1 — p,-.

+Pi?2 (9 + Р 4 + 2р3) + Р 1Р 2 (13 + Р 4 + 2р3)].

Суммируем еще раз

Р (zi)= 2”4 [?i (1 + р 4 + 2р3 + 4р2) + Pi (9 + р4 + 2р3

4р2)].

Окончательно

Р (zi) = j Pi + jA s + -§■ Рз +-^6 Р4 + J q ■

По индукции для произвольного I найдем

Р (zi)= Y Pi - f \ pz + •••+ -£г Pi + -£г

или

i

p(z1) = 2"/+ S 2 - V

(3.42)

/г- 1

гичное

(3.11)

для

ЛПКВ.

2. Пусть

р (xj)

= pj,

р (a,j) = <0*1

и zx = 1,

когда

А > Х ,

j = 1,

2,. . .,

I. Пусть

I =

4.

Тогда,

используя

(3.13),

получим

р Ы = of!? !+ < ^ 2я

&

+ c^Wiftgs+

+

+ & iq Т a (p i — ?i) g2

з (pi — gi) ?2?з+

1^°4 (Pi

+ £^3#4?1?2 (Ps -

?a) ?4 + c ^ W * » (?1 — Qi) (Рз — ?a) Яз +

+ ofi+V+4 (Pi — Я1) (ft — ?2) дз?4 + ^ V * ? 4

(Pi — Яд Яз (Рз -

— Яз) Pi +

(Рз — Яз) (Рз — Яз) Яь +

+ +1+2+зс+4 (Pi — яд (Рз — ?a) (Рз — Яз) Яь

Это выражение иллюстрирует способ записи р ( z f

для любого I

i

i

i-i

р (zd = 2 Я1Я2 • • •Я1&1 +

2 2 Я1Я2 • • • Я]-1 (ру— яд х

1=1

I

1-1 1-1

1=2/=1

х д/+1 •••

+ 2 2 2 ?1 •••Як- 1

(Рк — Як) Я ш ••' ?/-1 X

(=3/=2А=1

х

(ру — gy) g;-+i • • •д г + А + у + г Н---------- h (p i — дО х

X (Р з - Я з )• ' '{Р1-1 — Я 1-дЯ 1^1^ з‘ •-+ V

(3.43)

Общее

число

слагаемых

этого

уравнения составляет

(Д- C f J --------- |-Cf =

2, - 1 .

3.

Пусть р (яД =

р (з2)

= . . .= р

(хг)

= р ,

р

(ах) = р (а2) =

. . , —р

(ад = од,

д =

1 — р,

(? = 1 — од ,

I =

5.

Подставляя

эти величины в

уравнение (3.43), получим

p(%) = ^ ( g + g 2 + g3+ g 4+ g5) + ^ 2(p— g)(g + 2g2 +

+ 3g3 + 4g4) -f <fdz (p — q f

(g + 3g2 +

6g3) +

# >4(p — g)3 (g +

+ 4g2) +

одь (p — g)4 g.

Для

произвольного

l

p (zi) = e^g (l +

g +

• .. +

я1 4) +

S *2(p

g) g (C l +

c 2g + •••+

+ C U q1-') + ^

( p - q f q (Cl + C | g

+ . . . + C

^ 3) +

+ .

(p — g)z_1g.

(3.44)

Запишем последнее

уравнение

иначе

Р (z 0 = e P g S i + a f 2g (p — g)

+ c f 3g (p — g )2 S 3 +

При этом

+

. . . +

^ д ( р - д Г 1£, + . . .

(3.45)

О

__

^1Г)

г __ 4

О

7

°7-+1 — г I

* 7 — J-1

■ч *»

т. е. каждая г +

1 сумма в выражении (3.45) может быть опреде­

лена через r-ю производную от суммы

геометрической про­

грессии

C i = l + g + g2+ g3+ . . . =

^

0 0 >

ф г~

ф

ф 2

&

р Ы = ~ g [ i + — (р ~ д) + -— (р - д)2+

ор

’

1 -----у ( р

— я)

или окончательно

Р (zj) =

&q+Qp '

(3.46)

Погрешность

формулы (3.46)

при

ограничении

I определим

в виде: Ар (zx) =

Р р^° р (гх),

где

Р р^

— вероятность совпадения

мации не превышает 0,005

при следующем выборе масштаба:

Р (zl) L^°-0,2 4 =

Ф (ао) | а « = -1 ,3 4 0,09.

2 = V a № . .. а р х № . .. х?1.

(3.47)

тогда

Р (■z) = 2' 4 {?1929з \К (1 —Р*) + M il + (Р (РР3[*а (1 ~ P i)

гМ 'з] +

+

[*4 (1 —Pt) + Pih\ + QiPiPs [k6(1 —Pd + М Д +

+ Pi929a A (1 — P<) + P A 1 + P i72Ps [*io (1 ~ P i ) + P A i l +

+ P iP 2?s [* j 2 (1 — Pi) + Р А з 1 + P 1P 2P 3 [* u (1 — P J +

p A 5]}-

+Рх?2IPsPi (^8—Л9

Л10+ Л44) г Рз (Лю — Л8) + р4(Л9—Р8) 4 Л8] +

+ Р1Р2 [РзРх (кХ2— к13

к14 -j- к 1Ь) + Рз (А14— Ли) 4~ Рх (Л*з —Л12) + Л12]}.

+ Р2Р3(Л0~Л2—к4+ к6) + р2р3р 4(*!—* 0 + к2—к3+ к4—кь- ке + Л,) +

+ Рз (Л4

Л0) -|-рз (к2—/с0) + р4(/с4—40) -f- Л0] +

+ Рх \PzPi (Л8

&9—Л10+ /£44) + р 2р 4 (ks— кд—к12

+ к13) +

+ РгРз (Л8—Л10

к12

+ к14) + Р2Р3Р4(*з + Л9+ Л10— Л44

+ Л12—Л43—

Л14+ Л15) + р2

(Р12—Л8) + Рз (Лю — Л8) + /J4(Л9— Л8) + Л8]}.

Произведя

суммирование последний раз и группируя члены,

окончательно

получим

Р (z) = 2-4 [р4 (к8— к0) + р 2 (к4—к0) + р 3(к2 —к0) + р 4 (кх—к0) +

-f PiPsPi (Лх + Л2 4- л8

4- ЛХ1 ~ к 0 —к3 —

кд —к10)

+ р хр 2р ар 4(Л0 4- Л3 4-

4- Л6 4- Лв 4- Л9 4- к

104~кХ24- Л16 —к4

—к2

—к

4—Л7 — к3—кхх—

— Л13 к14) 4-Л0].

(3.51)

Тогда

Р (z) = 2“4 [4 (х*1—г0) р — 6 (2гх— г0—г2)

р2 + 4 (Зг7 —г0— Зг2 4- г3) р3—

— ( 4 / - 1 — г 0 — 6 г 2 4 - 4г3

— /-4) р 4 + г0].

(3.53)

по формуле (3.54) и суммы степенного ряда

ф (X) = с0-f- с4Х + с2Х 2-f- . . . -\-спХп+ . . . -\-CiX1,

(3.55)

сп = 4 - =

С?[ 1 - (1 - г)"- r0] (—l)n+1 (/г = 1, 2, . . ., I),

ьп

где с'п — числитель,

а с"п — знаменатель сп — re-го члена

степен­

ного ряда (3.55). При этом функция ф (X) моделируется с

мас­

штабом 2“

Однако

условия

(3.56) не являются достаточными,

так

как

1

е

~

1 !

2 !

‘

3 1

4 ! *

Система уравнений

(3.56)

в

данном

случае

имеет вид

го = со>

4 (О — г 0) =

C i,

—6 (2/*i

г0

г2) =

с2,

(3.57)

4 (3rt —r0 —3r2+ r3) = Rc3,

— (i r i —r0~

6r2+ 4r3 —r4) = Дс4,

где i? — наименьшее общее кратное числовых

коэффициентов сп

и С? (п = 1, 2,. . ., Z).

При решении системы получаем:

г0 — 7?с0,

ri =

|-(4с0 +

с1))

г2 =

R

Зс4 + с2)I

(3.58)

-g- (6с0 +

г3 =

— (4с0 -|-3сг + 2с2 + с3),

r i — R ( С0 + С1 + С2 + С3 + С4 )-

В нашем случае 7? =

24, после чего, подставляя в

уравнения

системы

(3.58) значения

коэффициентов: с0

=

0,

Л

с%=

=

1

1

1

определяем

г0 =

0, гг — 6,

= — 2~р * Сз==“зТ ’

с4 —— 41—

г2 = 10,

гз = 13, г4

~ 15.

Таким образом, четырехвходовой вероятностный преобразо­

ватель реализует на

выходе зависимость вида

и (1 — е”г ),

где

х = 1,5.

Заметим, что система (3.58)

может быть

записана

более

ком­

пактно:

г0 = 7?с0,

П

rn = - £ n '2 iC tk ,

П = 1,2,

3 , 4

1 = 0

или для

произвольного

I:

r0= RCqi

П

(3.59)

rn = - § fC ^ c i~ici,

п = 1, 2, . .

I.

1

1=0

Функ­

1

г 0

ГI

Гг

Гг

Г4

Го

Гг

S

УС

ция

2

0

1

0

0,5

3

0

1

2

0

0,5

4

0

2

4

5

0

0,75

s in X

5

0

6

12

17

20

1

0,75

6

0

24

48

70

88

101

2

0,9375

7

0

120

240

354

456

541

606

4

0,703

8

0

720

1440

2136

2784

3362

3852

4241

6

0,615

2

1

2

1

0,25

3

2

3

5

1

0,25

4

6

8

11

16

2

0,1875

е *

5

24

30

38

49

65

3

0,1875

6

120

144

174

212

261

326

4

0,2343

7

720

840

984

1158

1370

1631

1957

5

0,3515

8

5040

5760

6600

7584

8742

10112

11743

13700

7

0,3076

2

1

2

1

0,25

3

2

3

6

1

0,25

4

3

4

6

12

1

0,1875

( I - * ) ' 1

5

12

15

20

30

60

2

0,1875

6

10

12

15

20

30

60

1

0,1562

7

60

70

84

105

140

210

420

3

0,1171

8

105

120

140

168

210

280

420

840

3

0,1025

2

0

1

0

0,5

3

0

1

1

0

0,5

1 - е - *

4

0

2

3

4

0

0,75

5

0

6

10

13

15

0

1,5

6

0

24

42

56

67

76

2

0,9375

7

0

120

216

294

358

411

455

3

1,38

используем

первые пять членов

разложения

функции

1 — е~А.

Тогда

с0 =

0,

с1 =

1

1

„

1

„

‘

1

1!

2 !

3!

Сл— -

4 !

1

и,

следовательно,

R

120.

5!

Подставляя эти величины в уравнения (3.59) при I— 5, полу­

чим г 0 =

0,

rj = 24, г2 = 42,

г3 =

56,

г4 =

67,

г5

=

76.

Четыре

последних коэффициента пре­

а ,

а2

0}

"«j

вышают

по величине

предел

в 25,

установленный

соотно­

Такты

Л П

P(Z)

шением (3.50), что противо­

Л

*

речит условию существования

требуемой ДСНФ логической

г ,

Г 2

Л;

*5

функции ЛП .

Рис.

59-

ФПВВ,

воспроизводящий за-

Проблема может быть ре­

р

, .

=

120 ..

Х\

шена за счет введения допол­

впснмость вида

12о(1 — е

)

нительных

s входов в систе­

ме входов {х г,

х 2, . . ., xt}

(рис. 58),

что позволит изменить усло­

вие (3.50) на

иное

о

:k i

рг+s

J-

0,

1, 2, . . ., 2f — 1.

(3.60)

Соответственно

изменится

вид

зависимости (3.54)

Р (Л =

2'-d+s)

1^1

СГ[1 - ( 1 - г ) " - r0] ( - l ) ”+1pn+

r0

,

s

=0,

1 , 2 , . . . ,

(3.61)

9 В. В. Яковлев

129