книги из ГПНТБ / Яковлев, В. В. Стохастические вычислительные машины

Решение алгебраических уравнений. С помощью следящих стохастических интеграторов можно решать системы линейных алгебраических уравнений, подобно тому как это делается в АВМ.

о)

6)

Рис. 74. Решение системы т линейных алгебраиче­ ских уравнений при помощи устройства: а — с т + 1 суммирующими входами; б — с одним суммирующим

входом

Пусть задана система уравнешш:

пП^1 “1а12^2 + ••■"Г аУт^т“Ь Ь1= О,

a 2 1 ^ " l + а 2 2 ^ 2 ' Д • • ■ + а 2 т ^ т + ^2 = 0>

а / я 1 ^ 1 “Г а т2-^-2 ~Т~ • ' ‘ i ^ т т ^ -т 'О ^/п ~

Для решения этой системы уравнений преобразуем ее:

Х г = dn X 1 г d12X2~f-. . • г dlmXmJ[-e1,

160

пают на счетчик параллельно по т + 1 суммирующим входам. В результате быстродействие устройства понижается, так как возможно образование очереди при одновременном поступлении

чения на вход интегратора суммирующей ячейки п использова­

kidkl^ i+ •. ■+ kmdkmX m+ km+1ek.

Если к х = к 2= . . . ~ к т + 1 = к, то на входе + 1 СлСтИ имеем

к (dklX l + . . . -\-dkmXmф- ek).

Включим в цепь обратной связи интегратора конъюнктор, подав на его второй вход последовательность с математическим ожида­ нием, равным к. Тогда установившееся значение переменной на выходе интегратора будет

Z = Xk.

Следовательно, искомые переменные образуются на выходе следя­ щих интеграторов в исходном масштабе.

23. Реверсивный счетчик в режиме деления переменных при несимметричном кодировании

Итеративный характер алгоритма деления вызывает допол­ нительные трудности при выполнении этой операции с помощью стохастических схем. Особенно «неудобными», требующими суще­ ственного усложнения схемы, являются микрооперации запомина­ ния и оценки величины (знака) промежуточной разности в конце каждой итерации.

Известен лишь один способ оценки стохастической перемен­ ной: интегрирование представляющей ее случайной последова­ тельности с помощью счетчика. Как бы ни был громоздок этот способ, он обладает тем преимуществом, что наряду с оценкой позволяет осуществить и запоминание, хотя форма представления информации при этом меняется. Стохастическая переменная в счетчике представлена цифровым кодом, и, следовательно, для выполнения последующей итерации необходимо обратное преоб­ разование «код — вероятность».

Микрооперации, о которых идет речь, реализуются стохасти­ ческим интегратором, работающим в следящем режиме. Неболь­ шое дополнение к нему в виде логической схемы в цепи обратной связи, как мы уже могли убедиться, превращает интегратор в стохастическое делительное устройство. Это дополнение выз­ вано необходимостью реализации третьей микрооперации алго­ ритма деления — умножения.

Деление стохастических переменных с помощью следящего интегратора особенно удобно в том случае, когда оно выпол­ няется на заключительной стадии вычислений и его результат является окончательным. При этом цифровая форма представле­ ния результата облегчает его вывод из машины. Если же такой необходимости нет, можно отказаться от датчика случайных чисел и исключить из схемы компаратор. Упрощение схемы основано на том, что для выполнения алгоритма деления после каждой операции достаточно знать лишь знак промежуточной разности и не определять ее величину. Поэтому нет необходимости охваты­ вать обратной связью все разряды счетчика. Достаточно учиты­

функция

п — содержимое счетчика. Рассмотрим изменение состояния счетчика в двух последова­

тельных тактах t — 1 и г для случаев, когда в такте t в счетчике оказывается записанным число п 1, предполагая, что на входы схемы поступают некоррелированные и стационарные случайные последовательности, представляющие стохастические переменные М (х) и М (у). Это имеет место в следующих четырех случаях:

Переходя к вероятностям, получаем

Вустановившемся режиме

Р(п, t) = P(n, t — l) = P(n).

Тогда

Р (n) — q (z) P (У) P (n + 1 ) + [p (x) p{y)-{-q {x) q(y)]P {n) -f

+ p { x )q {y ) P { n — 1).

1 6 2

Предполагая емкость счетчика неограниченной, просуммируем правую и левую части последнего равенства по всем состояниям от п до оо;

Произведем в необходимых местах замену индексов суммиро­ вания:

00 со со

После приведения подобных членов остается

О = - q ( x ) p ( y ) P (в) + р (я) q (у) Р (п — 1).

Таким образом, для всех п ^ 1 справедливо следующее рекур­ рентное соотношение:

Вернемся к анализу состояний счетчика в двух последователь­ ных тактах для п (t) — 0. В этом случае возможные ситуации определяются следующими условиями:

5) n (t — 1) = - 1 ; я = 1; y = l

Тогда

Р (0) = q (х) р (у) Р (1) + \р (я) р (у) + q (я) q (у)} Р (0) +

+ [р (*) q (у) + р Ф) р (у)] р ( — !)•

Но р(у) + 9(у) = 1, а Р ( 1) = т Ш ы _ р ( 0)-

ина величину Ап = р (х), если п (t — 1) = —1. Усредним Ап по всем значениям п

М (Ап)*=р(х)Р (—\) + \p(x)q(y)—q(x)p(y)\ [1 —Р (—1)].

В установившемся режиме

М (An) —М [п (t)\ —M [п (г — 1)] = 0.

Поэтому

Подставляя последнюю формулу в (4.15) или (4.16), находим

Поскольку наборов входных переменных, приводящих] к п < —1, не существует, то в соответствии с (4.13)

М (г) = р (г) = Р (В & 0) = 1 - Р ( - 1 ) ~ ^ « - £ | г Г .

Таким образом, рассматриваемая схема в установившемся режиме выполняет операцию деления стохастических перемен­ ных, однако для обеспечения такого режима необходимо, чтобы математическое ожидание п было конечным.

По определению

СО

М (п) = ] £ п Р (п) = 2 пР (п)— Р ( — 1) =

(«)п=0

1.64

Слагаемые оставшейся суммы образуют геометрическую прогрес­ сию со знаменателем и первым членом, равным а, а сама сумма

,p W ; (у)

ч (х) р (у ) *

Следовательно, для конечности суммы необходимо выполнить условие

р ( « ) я (у )

ч (х) р (у ) ^

или

М (х) с М (у).

Стохастическая переменная М (z) = М (х)](М (у) не может принимать значений, превышающих единицу, и, следовательно, выполнение полученного условия обеспечивается соответствую­ щим масштабированием входных переменных. Тогда, используя

165

формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрес­ сии, получаем

Как видно из этой формулы, значение М (п) стремится к беско­ нечности при р (х) -*■ р (у) и при р (z) — р (x)Jp (у) = const тем больше, чем меньше р (у).

t

Рис. 76. Граф переходов схемы, изображенной на рис. 75

Практически важно знать вероятность переполнения счет­

Как можно видеть, эта вероятность быстро убывает с увеличе­ нием I даже при значениях р (z), близких к единице, и может быть уменьшена до пренебрежимо малой величины увеличением разрядности счетчика и масштабированием переменных.

Вторым важным фактором, определяющим точность стохасти­ ческих вычислений, является автокорреляционная функция вы­ ходной последовательности. Вывод аналитического выражения этой функции связан со значительными трудностями. Однако, если под рукой имеется даже не очень современная ЦВМ, неслож­ но получить численное решение задачи, используя жесткую вероятностную модель, представленную в виде графа на рис. 76.

166

Вершины этого графа соответствуют числам, накопленным в счет­ чике, а дугам придан вес, равный условным вероятностям пере­ хода из одного состояния в другое. С помощью этой модели можно для любого конечного числа тактов т рассчитать вероятности возможных состояний счетчика как вероятности использования соответствующих вершин графа, если задаться начальным состоя­ нием, т. е. распределением вероятностей использования вершин графа в такте t — т. Для расчета формулы (4.14), (4.15) и (4.16) приводятся к следующему виду:

Р ( — 1, t — k) = q(x) р (у) Р (0, t —k — l) + q ( x ) P { —l, t — k — 1),

Р ( 0, t — k) = q ( x ) p (y ) P ( l, t — k — l) + [p(x)p(y) +

+ q {x )q (y ))P { 0, t — k — l ) + p ( x ) P ( — l, t — k — 1),

в соответствии с (2.6) значения этой функции для прямой и инверс­

Таким образом, начальные условия для расчета автокорреля­ ционной функции с помощью модели имеют вид:

Р ( п = —1, t —т) = 1, Р(п + —1, *— т) = 0.

167

На рис. 77 показаны в полулогарифмическом масштабе кри­ вые К г (т) для некоторых конкретных значений р (у) и р (z). Числа у кривых указывают значение р (у). По рисунку можно судить, что автокорреляционная функция довольно быстро убы­ вает с увеличением т, а закон ее изменения при этом прибли­ жается к экспоненциальному. Корреляция максимальна при зна­ чениях р (z)i близких к 0,75, и возрастает с уменьшением р (у).

Рис. 77. Автокорреляционная функция выход­ ной последовательности в схеме, изображен­

Одно из возможных назначений схемы заключается в укруп­ нении масштаба переменной при несимметричном кодировании, например, в два раза (р (у) = 0,5). Тогда при р {£) = 0,75 авто­ корреляционная функция на интервале т = 60 составляет 0,0017 и в дальнейшем убывает на порядок при увеличении интервала примерно на каждые 70 тактов.

Наличие автокорреляции в выходной последовательности сви­ детельствует об инерционных свойствах схемы, т. е. о том, что значение выходной переменной с необходимой точностью устана­ вливается лишь спустя некоторое время, зависящее от первона­ чальной установки счетчика. Переходный режим можно воспро­ извести с помощью той же модели, что и расчет автокорреляцион­ ной функции, если принять t = т.

168

Пусть до начала отсчета времени решения р (z) = 0, что соот­ ветствует Р (п = —1, г ^ 0) = 1. Тогда значение выходной стохастической переменной как функции времени определяется вероятностью р (z, t) = Р (п ^ 0, t |п = —1, t = 0). При этом начальные условия для моделирования остаются такими же, как и в предыдущей задаче, так что моделирование можно вести в

один прием. Ap(zj Расчетная формула для

абсолютной ошибки представ­ ления выходной переменной имеет вид

Ap(z) = p ( z ) ~ p ( z , t) =

= p{z) — P(n>? 0,

t\n = —i, t = 0).

250тактов.

Взаключение отметим, что схема будет выполнять те же функ­ ции, если вместо инверсного использовать прямой выход знако­ вого разряда, а входы счетчика поменять местами, причем все формулы остаются справедливыми с заменой знака п на обратный.

24. Реверсивный счетчик в режиме деления переменных при однолинейном симметричном кодировании

Если в схеме, рассмотренной в предыдущем параграфе, заме­ нить конъюнктор в цепи обратной связи логическим элементом, реализующим функцию эквивалентности (рис. 79), то граф пере­ ходов схемы примет вид, показанный на рис. 80. По условным ве­ роятностям переходов граф можно разделить на две части. Для правой (п (t — к) 0) среднее изменение числа, накопленного в счетчике, в каждом такте составляет

An = n(t — к + 1) — n(t — k ) = p ( x ) q {у) — q(x) р(у).

169