книги из ГПНТБ / Яковлев, В. В. Стохастические вычислительные машины

На рис. 65 приведена одна из практических схем стохастиче­ ского интегратора при ОЛС кодировании информации [32].

Сдвиговый регистр с обратной связью используется здесь в качестве ГСЧ. Приведем наиболее важные оценки, характеризу-

мощью СРОС случайной последовательности двоичных чисел равна

7 F minT I/ К х (г, 0 )

V

1+ 5,2^minT У 2s

где К х (i , 0) — автокорреляционная функция последовательности

Формирование входных и выходных приращений происходит по тем же правилам, что и у параллельных интеграторов, однако последние допускают работу на тактовых частотах в I раз больше, чем у последовательных схем.

Описанные здесь устройства интегрирования цогут быть ис­ пользованы в СтВМ для реализации многих линейных и нелиней­ ных зависимостей, а также для ввода и вывода информации из стохастических машин.

21. Следящие стохастические интеграторы

На рис. 66 приведена блок-схема следящего стохастического интегратора, отличающегося от рассмотренных выше схем нали­ чием цепи обратной связи. По этой цепи сигналы выходной после­ довательности р (z) поступают на реверсивный вход счетчика PC. В случае совпадения в среднем математических ожиданий случай­

1 5 0

ных последовательностей, действующих на входе и в цепи обрат­

Таким образом, наличие статистической связи между после­ довательностями, образующимися на различных выходах двоич­ ного счетчика, не влияет на установку величины выходной вероят­ ности схемы р (z). Поэтому для математических ожиданий содер­ жимого счетчика можно записать следующее рекуррентное соот­ ношение

несколько последовательных значений М ( С ч ) р .

М ( Сч ) 2 = р + р (1 — 4 " ) '

М ( С ч ) 3^ р + р ( Х - ± - ) т Р ( 1- 4 ) 2,

М ( С ч ) m = p ( i + a^ -a2 + . . . + ат'1),

151

где

Выражение в квадратных скобках представляет сумму геомет­ рической прогрессии, следовательно

М < Сч > т= пр (1 —ат).

Таким образом, если входной процесс стационарный, то про­ цесс изменения содержимого в реверсивном счетчике подчиняется

Рис. 67. Состав блока входной логики следящего инте­ гратора: а — при однополярном однолинейном кодирова­ нии информации; б — при ОЛС кодировании

экспоненциальному закону с постоянной 21. Рассматриваемый случай соответствует однолинейному однополярному способу кодирования информации. Состав блока входной логики для него представлен на рис. 67, а.

Четыре логических элемента в этой схеме не допускают одно­ временной подачи сигналов + 1 , —1 на входы реверсивного счет­ чика. Заметим, что форма кодирования информации на входе и выходе устройства остается одинаковой, т. е.

Для перехода от машинной переменной X к истинной пере­ менной Х 0 структура блока входной логики должна быть изме-

152

йена (рис. 67, б). При совпадении единичных приращений после­ довательностей р (х) и р (z) вырабатывается приращение —2, уменьшающее < Сч ) на две единицы. Так реализуется уже упо­ минавшееся нами преобразование вида 2Х ’ — 1 (стр. 31). При этом содержимое счетчика отражает действительное значение истинной переменной Х 0.

Для определения дисперсии выходной величины z следящего интегратора с входной логикой, соответствующей рис. 67, а,

Корреляционный момент K tj будем искать в виде

К ( x p iZ j) = Р (xiziz>) —p{x{) р (г,-) р (zj) =

= р (Xi) р (Zi/Xi) р (Zj/XiZi) —р (xt) р (Zi) р (Zj),

где р (z, |Xi) — условная вероятность равенства z-t = 1 при усло­

и z{ = 1 состояние реверсивного счетчика не изменяется, что обеспечивается включением логической схемы на рис. 67, а.

Итак, К (XiZiZj) = 0 и, следовательно,

D{z) = m p (z )[i—p(z)\.

Воспользовавшись соотношением (1.26), для точности в опреде­ лении результата ep ^ 2 _<1+i) получим

что определяет число тактов, необходимое для достижения задан­ ной точности в установившемся режиме. Для определения общего времени интегрирования с заданной точностью гр к величине т, получаемой по формуле (4.5), нужно добавить слагаемое

т 1 4- In ■ 1

1 — Р у ст

получаемое подстановкой относительной величины установив-

(рис. 66) возможно его переполнение. Это происходит в такой си­

153

события П, заключающегося в переполнении счетчика при подаче на его вход стохастической последовательности с р (1) = р (х), равна

Р {Щ = \РИ15 [1 —Р (^)]s = {Р (х) — \Р(я)]2}*-

Математическое ожидание количества переполнений за т так­ тов равно

Количество единиц (нулей), достаточных для опрокидывания счетчика в исходное состояние, составляет

s = 2 l [i —р(х)\.

Подставляя это значение в выражение (4.6) и разрешив урав­ нение относительно I, можем получить минимально необходимое количество разрядов Zmin, достаточное для исключения нежела­ тельных переполнений

ъ М Ж

Отклонение количества переполнений счетчика N (П ) от своего центра распределения для биномиального распределения можно найти, воспользовавшись интегральной теоремой Муавра — Лап­ ласа

P { \ N ( I I ) - M ( I I ) \ ^

s ; ос0 V т . [р (х) —2р2 (х) + 2р3(X) —pl (х)]2‘ [1_р W]} = Ф (а0).

Пример. Определим минимально допустимое количество раз­ рядов /тш при следующих исходных данных:

сокруглением в большую сторону. Точность оценки е определим из (4.8)8

8 = 1,96 | /2 20 ( - ^ - )25'° ’6 ^ 2 - 8 .

1 5 4

Таким образом, с надежностью 0,95 возможно переполнение счетчика 1 ± 2~8 раз, то есть практически не более одного раза за 220 тактов.

22. Выполнение вычислительных операций

Рассмотрим некоторые операции, наиболее эффективно и просто реализуемые при помощи следящих стохастических интег­ раторов (СлСтИ). При изображении схем таких интеграторов будем пользоваться обозначением (рис. 68), заимствованным у аналоговых вычислительных машин. Знак «-Т» с цифрой, стоящий в левой части схемы, обозначает суммирующий вход интегратора и вес приращений по этому входу. Соответственно знаком «—»

Если переменные Х х и Х 2 представлены в однолинейном несим­ метричном виде, то из (4.9) следует

Z = X 1 + X 2.

Это свойство интеграторов может быть с успехом использовано для вычисления сумм, рядов и т. п. Например, на рис. 69 пред­ ставлена схема, реализующая вычисление функции

Z --- sin X

при однолинейном однополярном несимметричном кодировании информации и представлении функции с помощью трех членов степенного ряда

155

Так как суммирование величин 1 — 1 2/6 и Х 4/120 происходит с коэффициентом х/2 (см. стр. 47), то для восстановления масштаба исходной функции входящая последовательность поступает на суммирующий вход СлСтИ с весом + 2 .

Деление. Деление Z — X /Y реализуется следящим стохасти­ ческим интегратором, если в цепи обратной связи интегратора включен конъюнктор по схеме на рис. 70.

Рис. 69. Вычисление Z — sin X при помощи следя­

щего стохастического интегратора

Если каждая из машинных переменных X и Y представлена стационарной последовательностью без последействия и обе эти последовательности статистически независимы, то

М ( Сч ) 2 = b2M0 + p 1 + bp1,

М ( Сч ) з = р х+ Ь3М 0+ Ьр± + Ъ2р г,

М ( С ч >m = P l [l + b + b* + b3 + . . .] + bnM 0,

где b = 1 — p 2jn.

Заменим выражение в квадратных скобках суммой, тогда

М ( Сч > m= IX п (1 - Ът) + ЬтМ 0.

156

При больших п выражение

т

{\~Ът) = 1 -

стремится к

1 —е

а потому

или при нулевых начальных условиях

Р <*) = • £ - ( 1 - е - ”' ^ )

В установившемся режиме получаем

(4.11)

или для рассматриваемого случая однолинейного однополярного кодирования информации

Заметим, что при введении некоторого начального условия (или начального значения Z) переходный процесс в соответствии с (4.10) закончится быстрее. Этот факт может быть положен в

основу ускорения процесса определения частного. Однако при этом устройство на рис. 70 должно быть дополнено специальными управляющими схемами для предварительной оценки Z. Как правило, объем дополнительного оборудования оказывается зна­ чительным.

Устройство для деления двух чисел в условиях ОЛС коди­ рования информации представлено на рис. 71. В отличие

157

от предыдущей схемы в цепь обратной связи включается элемент «эквивалентность».

Повторяя рассуждения, подобные случаю деления при одно­ линейном однополярном кодировании, получим уравнение уста­ новившегося режима, аналогичное (4.11).

*0 Zo Y0 '

На рис. 72 представлены результаты моделирования на ЦВМ работы СлСтИ в режиме деления переменных. Для значений

р, si?

Рис. 72. Переходный процесс на выходе делительного устройства:

1 — реализация реального процесса, 2 — идеальная зависимость

исходных данных р г = 9/80, р 2 = 0,9 при 1 = 9 и т = 5500 вычислялся эмпирический центральный момент первого порядка М (z), который представляет собой состоятельную и несмещен­ ную оценку величины Z = XJY .

158

Экспериментально было получено

в то время как точное значение Z = 0,125. Экспериментальная погрешность еэ равна

t a = \M(z) —Z\ = 0,001.

Погрешность, определяемая по формуле Муавра — Лапласа

8т = а0 )/ — - - ^-^ 0 ,0 0 8 7 ,

что удовлетворяется с надежностью рд = 0,95.

На рис. 72 представлены идеальная зависимость от числа испы­ таний, рассчитанная по формуле (4.10) при нулевых начальных

<>) в)

Рис. 73. Образование функции V X : а — при ОЛС

кодировании: б — при ОЛС кодировании

условиях, а также две реализации процесса, полученные при моделировании задачи на ЦВМ.

Извлечение квадратного корня. Схемы для извлечения квад­

откуда

Zq— К \^Х0.

159