книги из ГПНТБ / Яковлев, В. В. Стохастические вычислительные машины

Т а б л и ц а 2

М а те м а ти ч еск о е ож идание п о сл е д о ва те л ьн о сти н а вы х о д е л о ги ч еск и х эл ем ен тов

Воспользуемся формулами полных вероятностей:

р(х) = Р (ху) + Р (ху),

р(у) = Р (ху) + Р (ху).

Тогда

М (z) = р (я) + р (у) — 2Р (ху) = р(х) + р (у) — 2р (х) р (у) — 2К ху =

= М (х )+ М (у) - 2М (х) М (у) - 2К ху.

Автокорреляционную функцию выходного потока получим, выполнив следующие преобразования:

М (zzx) = Р ((ху V ху) (xzyz V луО] = Р (xxzyyz) + Р (xxzyyz) + + Р (xxzyy„) + Р (xxzyyz) = Р (xxzy) — Р (хххуух) + p (xxzy) —

— Р (xxzyyz) + Р (xxzyz) — Р (xxzyyz) + Р (хуух) — Р (хххуух) =

= Р (м д —Р (ххху) — Р (ххтут) + Р (хххуух) + Р (х.у) — Р (ххху) —

— Р (ЗДх) + р (xxzyyx) + Р (хух) — Р (хххух) — Р (хг/ут) + Р (ххтуут) + + Р (УУ.) ~ Р (xyyz) — Р (ххУУх) + Р (хххуух) = М (ххх) + М (хту) -J -

+М (хух) + М (уух) —2М (ххху) — 1М (хххух) — 2М (хуух) —

—2М (ххуух) + 4М (хххуух).

После подстановок в соответствии с (2.12) и (2.13) и приведения

X [Кх (ху)+Ку (т ,)] -4 А ^ + [1 - 2 М (х)]2 К у ( т ,Ж 1 - 2 М (у)\2 К х (tJ..

Для независимых входных последовательностей

M(z) = M (х) + М (у) - г м (х)М (у),

к ? (хг) = ^ кх (хх) к у (ту) + [1— г м (х)]2 Ку (Ху) + [1— г м (у)]2 к х (хх).

42

При отсутствии автокорреляции во входных последователь­ ностях

М (z) = М ( х ) М (у) - 2 М (х) М (у) - 2 К ху,

Аналогичные формулы для других наиболее употребительных булевых функций двух переменных (табл. 2, 3) легко получить, пользуясь свойством инвертора сохранять на выходе автокорре­ ляционную функцию входной последовательности. Анализируя эти формулы, заметим, что условие взаимной независимости вход­ ных последовательностей является достаточным для того, чтобы математическое ожидание последовательности на выходе любой комбинационной схемы определялось лишь математическими ожи­ даниями входных последовательностей и не зависело от моментов более высоких порядков. Если к тому же во входных последова­ тельностях автокорреляция отсутствует, то выходная последова­ тельность также оказывается некоррелированной.

7. Основные алгебраические операции

Конкретный набор решающих блоков СтВМ в основном опре­ деляется методом решения математических задач на таких маши­ нах: аналоговым или арифметическим. Как известно, аналоговый метод решения задач заключается в воспроизведении в машине процесса, который описывается уравнениями аналогичными ре­ шаемым. Результатами этого процесса и являются искомые реше­ ния. При этом переменные в машине связаны масштабными соот­ ношениями с соответствующими переменными исследуемой си­ стемы.

В машинах, реализующих арифметический метод, воспроиз­ водится определенная последовательность арифметических опера­ ций в соответствии с известным алгоритмом нахождения решения. И аналоговые и арифметические машины могут иметь непрерыв­ ное и дискретное представление информации. Непрерывное пред­ ставление реализуется путем замены переменных непрерывными физическими величинами (напряжениями, токами, длительностями импульсов и т. д.). Дискретное представление может быть образо­ вано путем кодирования чисел с помощью последовательности импульсов или комбинации состояний элементов машин.

Сейчас наиболее распространенными являются два класса вычислительных машин: непрерывные аналоговые и дискретные арифметические (универсальные и специализированные цифровые вычислительные машины дискретного действия). Что касается стохастических ВМ, то одни из них могут быть построены по

4 3

типу ЦВМ, другие могут напоминать разновидность ЦИМ (цифро­ вых интегрирующих машин), которые относятся к классу дискрет­ ных аналоговых машин [33].

Вопросы синтеза стохастических вычислительных устройств, построенных по типу ЦВМ, частично решаются в гл. III. В этом разделе рассмотрим второй тип СтВМ.

Процесс решения задач в этих машинах аналогичен процессу решения в моделирующих устройствах. Как и в моделирующих установках, в СтВМ содержатся отдельные блоки, выполняющие

ния величин на —1 при ОЛС кодировании достаточно включить в линию инвертор (рис. 18, а). Действительно, из известных соот­ ношений

р( * ) = - ± ± ^ .

сиспользованием уравнения (2.1) получим

Р (2) = 1 — Р (х) = 1~ Z ° ,

откуда

z 0= ~ x 0.

При ДЛС кодировании информации, как это видно из рис. 18, б, достаточно поменять местами линии передач положительных (+ Х)

иотрицательных (—X) значений машинной переменной. Умножение. При ОЛС кодировании информации для умноже­

ния двух стохастических переменных р (х) и р (у) используется

4 4

логическая схема рис. 19. Так как схема реализует операцию эквиваленции, то для выходной переменной можно записать

p { z ) = p (х) р(у) + Ц —р(х)][1 —р (у)].

откуда вытекает Z 0 = Хо^о» т- е- действительно вероятность появления импульса в выходной последовательности пропорцио­ нальна произведению входных пере­ менных.

Так как выходная последователь­ ность имеет также бернуллиевский характер, то дисперсия выходной переменной

—^Р te) Р (у) [1 + Р (х) р (у) — р (х) —р (у)],

инайдем экстремумы этой функции. Приравнивая нулю частные производные

dD (z)

[1 —2р(®)][1 — 2р (у)]2,

dp (х)

dD (z)

■■[1-2р{у)\[\-2р(х)\\

д р (У)

получим систему уравнений, имеющую решения р (х) = р (у) =

= —. Таким образом, среднеквадратическое отклонение выход-

&

ной переменной достигает максимального значения при нулевых

значениях переменных Х 0 и У 0 и равно ]/0,25.

Используя вентили И, можно осуществить умножение вели­ чин р (х) и р (у) при ДЛС кодирования исходной информации (рис. 20). Для математического ожидания на выходе схемы спра­ ведливо

P tei) = P tei)P Ш + P (*а) Р (Уг) — Р teAIWa).

(2.29)

Р tea) = Р tei)Р (У2)+ Р tea) Р Ы —Р tei^aZ/iZ/a)-

Так как каждая из переменных X и Y не может одновременно присутствовать на двух линиях, то из системы (2.29) получаем следующие четыре частных случая умножения:

1)(+ X )(- fF ),

После преобразований для каждой выходной линии соответственно получим:

для восстановления естественного интервала (—1, + 1) переменной достаточно, если принять кг 0,5. Для реализации уравнений (2.30), кроме введения постоянного множителя, необходимо исполь­ зовать суммирующие схемы.

Сложение и вычитание. Двухвходовой логический элемент ИЛИ в соответствии с формулой (2.28) выполняет операцию не­ полного сложения двух переменных р (х) и р (у).

Р (z) = Р (х) + Р (У) —Р (х) р (у)

4 6

или в случае п входных переменных

Р (z) = 1 — П [1 —Р (*/)J- t-i

Рассматриваемый случай соответствует общему правилу сло­ жения для событий, которые могут быть совместными.

Более полезной является реализация выходной вероятности вида

p(z) = p(x) + p(y),

однако, для этого необходимо обеспечить несовместность событий в последовательности X и Y. Такая операция может быть осуще­ ствлена различными способами.

В одном из них обе последовательности разделяются во вре­ мени. При этом результат на выходе схемы ИЛИ образуется со сжа­ тием во времени и для восстановления исходного временного ритма требуется введение запоминающих элементов.

Идея иного способа основывается на использовании формул полной вероятности. Если кг, к2, . . кг — полная группа попарно несовместимых событий, то для любого события х имеет место соотношение

р(х) = р (к 1)р (х \ к 1) + . . . + р (к г)р (х \ кг),

где р (xjkr) — условные вероятности х при осуществлении каж­ дого из событий Ах, к 2, . . ., кг.

В частности, для группы противоположных событий к г и к г справедлива формула

Р И = р (АД р(х\ к1) + р (к,) р (х |АД.

Для случая суммирования двух переменных имеем [70]:

р ( х )= р (к,) р(х\ кх) + р (АД р (г |АД,

р (у ) = р ( ¥ ) р (у \¥) + р ( ¥ ) р ( у \К).

Если положить р (х\АД = р (у|АД = 0, то окончательно [получим

Р (х) -г P (У) = Р (АДр (z| АД-|-р (АД р (у |АД.

т. е. выходная переменная представлена с масштабом 0,5. Сумми­ рующая ячейка на рис. 21 является основной для реализации

4 7

в уравнение (2.31), получаем

*о+^о

^0 =

Рассуждая аналогичным образом, для схемы рис. 22 определим

При ДЛС кодировании информации (рис. 23) используются две одинаковые суммирующие ячейки. Математическое ожидание последовательностей на каждой выходной линии схемы определим из соотношений:

P (zi) = | -p(zi)+yP(2/i),

Р(22) = уР(-Г2) Н у Р Ы -

4 8

Если каждая из переменных X и Y передается только по одному проводу, то получаем следующие четыре частных случая:

p (zi) = -|p (^i). р (22) = { р Ы ;

3)( - * ) + ( + У),

Р (zi) = \ р Ы » Р (ч) = \ р (®а)

4)( _ Z ) + ( - F ) ,

р(zi) = о, P (Z2) = ± M ± ^ M ..

Заметим, что в случаях 1 и 4 результат передается по одной линии. Следовательно, величина дисперсии полусуммы опреде­ ляется известным уже соотношением Бернулли (1.36). В двух оставшихся случаях результирующие последовательности при­ сутствуют одновременно на двух линиях, что приводит к возра­ станию ошибки. Покажем это на примере второго случая.

Используя теорему о дисперсии разности двух случайных величин [66], запишем

К га , = — j p (хО р (у2).

Подставляя в уравнение (2.32) выражения для дисперсий и корре­ ляционного момента, получим

Если бы результат суммирования еще подчинялся закону Бер­ нулли, то выражение для дисперсии имело бы вид

D" (z) = [р {z1) —p{z.l)] [1 - р (zj) + р (z2)]

или после подстановки выражений для р (zx) и р (za)

[ ( _ 2 ^ 1 ] + £ М . [ 1 _ £ М ] _

что конечно значительно ниже результата (2.33).